拓?fù)浼ぐl(fā)驅(qū)動的熱力學(xué)相變及其張量網(wǎng)絡(luò)研究方法

宋峰峰 張廣銘

(清華大學(xué)物理系,北京 100084)

1 引言

道生一,一生二,二生三,三生萬物.大千世界,紛繁復(fù)雜,流轉(zhuǎn)變化,永無止息.對物質(zhì)世界的感知和認(rèn)識的不斷深入貫穿了整個科學(xué)和哲學(xué)的發(fā)展歷史.不同的物質(zhì)形態(tài)稱為物相,它是物質(zhì)的宏觀特性,在一定參數(shù)區(qū)間內(nèi)保持穩(wěn)定.對于一杯冰水來說,冰塊、水、水面上的水蒸氣連同盛水的玻璃杯各自歸屬不同的物相.從凝聚態(tài)物理和演生論思想[1,2]的角度看,不同的物性由其內(nèi)部微觀組織形式所決定,這種組織形式也叫作序.物相之間的轉(zhuǎn)變即為相變,相變的發(fā)生伴隨著組織結(jié)構(gòu)的變化.比如,冰融化為水對應(yīng)著大量分子規(guī)則排列結(jié)構(gòu)的消失.組織結(jié)構(gòu)的變化是一種集體效應(yīng),組成系統(tǒng)的所有個體相互關(guān)聯(lián)共同參與,強烈的漲落會造成宏觀物理量出現(xiàn)不連續(xù)性.相變發(fā)生時還可以觀察到奇異的臨界現(xiàn)象,比如臨界乳光效應(yīng)便是因為密度漲落導(dǎo)致散射加強,使得原本澄清的液體顯出渾濁的乳白色.

除了常見的固、液、氣三態(tài),人們還發(fā)現(xiàn)了鐵磁、反鐵磁、超導(dǎo)、超流、等離子體、液晶等多種物態(tài).亂花漸欲迷人眼,面對如此豐富的物態(tài),人們一直想找到一個普適性的理論來刻畫不同的物相和相變.在凝聚態(tài)物理的歷史發(fā)展中,演生論思想逐漸成為共識,幫助人們開不二之法門,觀大千之世界.在演生論的觀點下,物性是由其組成單元的組織形式?jīng)Q定的,不同的組織層級具有不同的規(guī)律,這一規(guī)律獨立于構(gòu)成單個粒子的物理性質(zhì).秉持這一思想,20 世紀(jì)30年代開始,朗道和金茲堡提出了描述相和相變的一般性理論[3,4],即自發(fā)對稱性破缺的相變范式.從高溫到低溫,經(jīng)歷一系列相變,系統(tǒng)的對稱性逐步破缺,相應(yīng)的各種有序逐步建立.比如水蒸氣凝結(jié)成水再凝固成冰,便伴隨著平移對稱性的逐步破缺和位置有序的形成.利用對稱性自發(fā)破缺的概念,朗道的理論成功解釋了相變?nèi)绾卧诓煌瑢ΨQ性之間發(fā)生,以及相應(yīng)的低能激發(fā)如何影響系統(tǒng)的性質(zhì).朗道的相變范式對于人們理解物質(zhì)世界影響深遠(yuǎn),成為凝聚態(tài)物理學(xué)大廈的重要基石.

然而,大自然總是比我們想象中的更加豐富奇妙.就在人們心滿意足地徜徉于朗道相變范式的美妙,以為所有相變規(guī)律都已經(jīng)掌握時,低維物理系統(tǒng)中的實驗發(fā)現(xiàn)向?qū)ΨQ性破缺的鐵律提出了挑戰(zhàn).低維系統(tǒng)中的熱漲落非常強,足以阻止連續(xù)對稱性在低溫下的自發(fā)破缺的出現(xiàn)[5].但實驗上卻探測到了相變,理論和實驗之間產(chǎn)生了明顯的分歧,讓人們困惑不已.20 世紀(jì)70年代初,英國物理學(xué)家科斯特利茨(Kosterlitz J M)和索利斯(Thouless D)[6,7],蘇聯(lián)物理學(xué)家別列津斯基(Berezinskii V)[8]分別提出在具有U(1)旋轉(zhuǎn)對稱性的低維系統(tǒng)中存在拓?fù)錅u旋激發(fā).利用拓?fù)錅u旋激發(fā)的概念,人們終于使這個問題柳暗花明.相變的產(chǎn)生不是因為對稱性發(fā)生改變,而是由于成對的拓?fù)錅u旋解開耦合.與從高溫到低溫的對稱性破缺思路不同,拓?fù)浼ぐl(fā)得從低溫往高溫看,隨著溫度升高大量產(chǎn)生的拓?fù)浼ぐl(fā)驅(qū)使系統(tǒng)發(fā)生相變.這一發(fā)現(xiàn)猶如愛麗絲掉進(jìn)兔子洞,一個由拓?fù)湮锵嗝枥L的全新廣闊世界在人們眼前展開.

回顧經(jīng)典體系中相變理論的發(fā)展歷史,尤其是朗道相變范式和拓?fù)浼ぐl(fā)驅(qū)動的相變理論.從這些樸素而深刻的精神出發(fā),我們將看到,離散自由度和連續(xù)自由度互相影響,密不可分,對稱性和拓?fù)浼ぐl(fā)概念相輔相成,缺一不可,經(jīng)典統(tǒng)計模型也可以如萬花筒般復(fù)雜多姿,蘊含深邃的相變之道.

2 朗道相變范式

朗道相變理論是朗道為描述連續(xù)(二階)相變而提出的普適理論.其形式簡單,物理圖像清晰,為平均場理論之集大成者.其核心思想是,物相的序由其對稱性刻畫,相變的發(fā)生伴隨著系統(tǒng)對稱性的自發(fā)破缺.它可以適用于外場下的系統(tǒng),也能定量描述一階相變.這一變革性的理論,可以給不同領(lǐng)域的物理現(xiàn)象提供統(tǒng)一的解釋,深刻影響了理論物理的發(fā)展.

相變來自于兩種因素的相互競爭,組成粒子間的相互作用傾向于形成能量最低的有序結(jié)構(gòu),而粒子熱運動傾向于破壞微觀粒子間的秩序增大混亂度.這兩種競爭可以用自由能來概括,它是各種熱力學(xué)參量的函數(shù).如此一來,相變的類型便可以通過自由能最低階導(dǎo)數(shù)的奇異性來區(qū)分.在現(xiàn)代相變分類方案中,相變被分為兩大類: 一級相變和連續(xù)相變.

一級相變指的是涉及有潛熱的相變.一級相變表現(xiàn)為自由能本身連續(xù),但相對于某些熱力學(xué)參量的一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù).在這樣的相變過程中,系統(tǒng)要么吸收要么釋放固定的熱量,但系統(tǒng)的溫度不隨熱量吸收或放出而改變.此時系統(tǒng)處于混合狀態(tài),系統(tǒng)的某些部分已經(jīng)完成了相變,而其他部分還沒有.常見的例子如水的沸騰,在沸騰時水不會立即全部變成蒸氣,而是形成液態(tài)水和蒸氣泡的混合物.

二級相變也被稱為連續(xù)相變.在含有氣液共存態(tài)的系統(tǒng)中,一級氣液相變線的末端存在一種特殊的相變點,稱為臨界點.在這個臨界點上,液態(tài)和氣態(tài)之間的相變是一個二級相變.在臨界點附近,液體被充分加熱,液態(tài)和氣態(tài)之間的區(qū)別幾乎不存在了.二級相變發(fā)生時自由能的一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的,但二階導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)出不連續(xù)性.二級相變的特點是系統(tǒng)的熱力學(xué)量表現(xiàn)出奇異性,臨界點附近關(guān)聯(lián)函數(shù)的冪律衰減.

以單軸各向異性鐵磁體中的相變?yōu)槔?其中每個自旋只能相對某個特定軸同向或反向排列,該體系可以用Ising 模型來描述:

其中si=+1 或–1 代表自旋朝向;Jij=J>0 是最近鄰鐵磁耦合;h是外磁場;〈i,j〉歷遍所有最近鄰自旋對.圖1(a)展示了一種可能的自旋構(gòu)型.先考慮沒有外磁場的情況.在低溫下,每對自旋之間的相互作用促使它們兩兩同向排列以減小能量,整體會出現(xiàn)平行排列的傾向.如圖1(b)所示,當(dāng)溫度低于某個閾值Tc時,集體有序的效應(yīng)占主導(dǎo),系統(tǒng)具有不為零的凈磁化強度M≠0,稱為鐵磁相.當(dāng)溫度T>Tc,自旋熱漲落會破壞集體有序,推動系統(tǒng)進(jìn)入順磁相,凈磁化強度M=0.在臨界溫度Tc處發(fā)生的順磁-鐵磁相變是二級相變,其序參量是自由能的一階導(dǎo)數(shù):

圖1 (a)正方晶格上的Ising 自旋模型,所有自旋只能取上下兩個方向;(b)二維Ising 自旋模型的序參量隨溫度的變化,Tc 為二級相變臨界點.從圖(b)可以看到,實驗中觀測到的磁化強度方向在Tc 之下只能取上下兩者之一,就像拋出一枚硬幣,盡管正反面的概率是一樣的,但是每次只是得到其中一種結(jié)果.如果給系統(tǒng)施加一個外磁場h,磁化強度方向便會完全被外場方向確定Fig.1.(a)Example of the classical Ising spin model on a two-dimensional (2D)square lattice,where all discrete spins can be in one of two states (+1 or-1)corresponding to the upper and lower directions;(b)temperature dependence of the order parameter (magnetization)with Tc denoting the critical temperature of the second-order phase transition.From Fig.(b),we can see that the magnetization direction observed in experiments can only take one of the upper and lower directions below Tc .Just like tossing a coin,although the probability of heads and tails are the same,we just get one of the results each time.If an external magnetic field h is applied to the system,the direction of the magnetization is then completely determined.

在相變點連續(xù)變化,但磁化率作為自由能的二階導(dǎo)數(shù)會出現(xiàn)奇異性.

20 世紀(jì)30年代,人們對氣液之間的一級相變已經(jīng)有了一定的理解,但是對臨界點處的二級相變充滿困惑.人們無法理解,在氣液相變或晶體相變時系統(tǒng)的微觀粒子對稱性發(fā)生了變化,而對稱性不會折中,只能是有或沒有,那相變怎么可能會是連續(xù)的呢? 朗道最早注意到,要描述晶體對稱性的變化就要允許晶格原子位置發(fā)生改變,用密度函數(shù)ρ(x,y,z)來表示晶體中原子的分布.這個密度函數(shù)必須具有和晶格一樣的對稱性,在晶格的對稱群操作下不變.對于各向同性的氣體或液體,ρ 為常數(shù).如此一來,就可以將連續(xù)變化和離散變化聯(lián)系起來,密度函數(shù)ρ 的微小變化足以引起晶格對稱性的跳變,ρ 的某些峰值稍有減小,晶格平移周期立刻增大.

晶體的熱力學(xué)勢可以視為ρ 的函數(shù),發(fā)生相變時ρ 的對稱性發(fā)生的改變會體現(xiàn)在熱力學(xué)函數(shù)上.反映系統(tǒng)在相變時發(fā)生對稱性破缺的物理量,叫作序參量.序參量是度量對稱性變化的物理量,通常在某個臨界溫度以上為零(高對稱性),在臨界溫度以下非零(對稱性破缺).不同類型的相變可以選取不同的序參量,對于氣液相變,可以用兩相密度差作為序參量.臨界點之上氣液兩相不可區(qū)分,密度差為零,低于臨界溫度時兩相密度明顯不同.對于二維Ising 模型所描述的順磁-鐵磁相變,序參量可選為磁化強度,它在臨界溫度以下會自發(fā)地變成非零,標(biāo)志著Z2對稱性的破缺.

在朗道理論中,自由能函數(shù)是序參量的解析函數(shù),此時的序參量是粗粒化的平均場近似.在許多具有某些對稱性(如反演對稱性)的系統(tǒng)中,自由能只能是序參量的偶數(shù)次方的函數(shù).對于這些系統(tǒng),朗道自由能可以表示為級數(shù)展開:

這里的展開系數(shù)是唯象參數(shù),可以從實驗測量中得到.一般來說,自由能中存在高階項,但只要序參量較小,展開到四階項就足夠.具體的階次可以根據(jù)物理情況做調(diào)整,比如討論一級相變時需要添加六階項.為了使系統(tǒng)在熱力學(xué)上保持穩(wěn)定,序參量的最高偶數(shù)次階的系數(shù)必須為正.但是,系數(shù)a(T)在臨界溫度上下要變號,以確保相變的發(fā)生,同樣可以做近似a(T)≈a0(T–Tc).在這些參數(shù)假設(shè)下,可以通過自由能的極小值點定出序參量的值,如圖2 所示.

圖2 (a)朗道自由能在臨界溫度之上只有一個最小值點,出現(xiàn)在序參量為零的地方;(b)朗道自由能在臨界溫度之下出現(xiàn)雙井構(gòu)型,對稱性發(fā)生自發(fā)破缺,序參量選擇兩個極小值位置中的一點Fig.2.(a)The Landau free energy has only one minimum point above the critical temperature,occurring where the order parameter is zero;(b)the Landau free energy shows a double-well configuration below the critical temperature,where the symmetry is spontaneously broken and the order parameter chooses one of the two minima positions.

由于忽略了漲落和長程關(guān)聯(lián),朗道理論得到的一些臨界指數(shù)與真實值不符合,后來的金茲堡判據(jù)指出朗道平均場論只有在空間維度大于4 維時才有效[4].朗道相變理論成功地解釋了二級相變的形成,指出了氣液相變和順磁-鐵磁相變屬于同一普適類.朗道提出的自發(fā)對稱性破缺思想很有啟發(fā)性,臨界點的非解析性行為是由于自由能的極小值點發(fā)生分化,使得序參量的平衡值以非連續(xù)的方式變化.相變導(dǎo)致系統(tǒng)落到一個對稱性小于其哈密頓量對稱性的簡并基態(tài)之一.自發(fā)對稱性破缺不僅在凝聚態(tài)物理的發(fā)展中影響深遠(yuǎn),它在整個物理學(xué)中都發(fā)揮了重要作用.

此后的幾十年里,朗道理論的框架被不斷完善.20 世紀(jì)70年代初,Wilson 和Kogut[9]發(fā)展了重正化群理論,進(jìn)一步論證了臨界現(xiàn)象的標(biāo)度率,計算出準(zhǔn)確的臨界指數(shù),并給出了普適性的自然解釋.由于發(fā)生相變時系統(tǒng)關(guān)聯(lián)長度無窮大,系統(tǒng)在標(biāo)度變換下具有自相似性.重正化群方法就是抓住了系統(tǒng)在臨界點的特性,不斷進(jìn)行粗?；?實空間)或短波部分積分(動量空間)處理,得到耦合參數(shù)的重正化群變換方程.如此,便可以通過系統(tǒng)參數(shù)隨尺度變化構(gòu)成的重正化流圖清晰地展示出整個相圖結(jié)構(gòu).相變點對應(yīng)流圖上的不穩(wěn)定不動點,處于同一不動點臨界面的哈密頓量自然屬于同一個普適類,構(gòu)成了相變的一般性理論框架——朗道-金茲堡-威爾遜(Landau-Ginzburg-Wilson)理論體系,也被稱為LGW 范式,成為人類探索自然偉大航線上的一座燈塔,閃耀著對稱性的光輝.

3 拓?fù)浼ぐl(fā)與相變

朗道范式以其深刻的物理洞察將相變納入對稱性破缺的框架中,逐漸成為放之四海而皆準(zhǔn)的大道.然而,相變理論并沒有因此畫上句號,新的關(guān)于拓?fù)湮锢淼钠抡诖蜷_.人們在對一些二維物理系統(tǒng)進(jìn)行實驗研究中發(fā)現(xiàn),即使對稱性不發(fā)生破缺,系統(tǒng)也會經(jīng)歷相變.自發(fā)對稱性破缺的范式,首先在具有連續(xù)對稱性的低維系統(tǒng)中遇到了困境.20 世紀(jì)70年代,科斯特利茨(Kosterlitz)和索利斯(Thouless)[6,7]通過對拓?fù)浼ぐl(fā)的研究,成功解決了二維經(jīng)典XY模型中的相變問題,一舉突破了朗道相變理論的框架.橫看成嶺側(cè)成峰,如果說朗道范式是從高溫到低溫逐級破缺對稱性導(dǎo)致各種相變的發(fā)生,那么拓?fù)浼ぐl(fā)則是從低溫到高溫不斷產(chǎn)生從而驅(qū)動物態(tài)發(fā)生改變.拓?fù)浼ぐl(fā)的類型蘊含了系統(tǒng)對稱性的信息,推動了在朗道相變范式的基礎(chǔ)上對對稱性破缺理論的超越.

前面通過朗道自由能分析離散對稱性的自發(fā)破缺時,系統(tǒng)會自發(fā)選擇其中一個低對稱性的基態(tài),從而發(fā)生相變.其實,對稱性自發(fā)破缺是受空間維度約束的.對于具有連續(xù)對稱性的系統(tǒng),只有在空間維度d>2 時才能發(fā)生自發(fā)對稱性破缺.

考慮一個具有連續(xù)O(n)對稱性的自旋模型,根據(jù)朗道自由能函數(shù)得知,當(dāng)T>Tc時,自由能只有一個極小值出現(xiàn)在序參量為零的地方,系統(tǒng)處于高溫對稱態(tài).當(dāng)T

可是在二維超導(dǎo)或超流等實驗中的確觀察到了熱力學(xué)相變的發(fā)生,既然相變普適類由序參量和空間維度完全確定,這些系統(tǒng)應(yīng)當(dāng)和二維平面自旋模型一樣不會發(fā)生相變.實驗結(jié)果和朗道對稱性自發(fā)破缺理論產(chǎn)生了巨大的矛盾.這里,可以從拓?fù)浼ぐl(fā)的角度再次理解空間維度與相變的關(guān)系.通過考察拓?fù)浼ぐl(fā)對自由能的影響,也可以推斷出自發(fā)對稱性破缺能否發(fā)生.

如圖3(a)所示,對于一維Ising 模型,從基態(tài)出發(fā)翻轉(zhuǎn)一個自旋會產(chǎn)生兩個疇壁,能量變化為ΔE=4 J,熱力學(xué)熵為 ΔS=kBln(N–1),其中N是總的自旋數(shù)目.于是疇壁的激發(fā)對自由能的貢獻(xiàn)為: ΔF=ΔE–TΔS=4 J–kBTln(N– 1).當(dāng)N足夠大時,有限溫度下的ΔF總是負(fù)值,意味著疇壁總是可以激發(fā)出來以減小自由能.因此,一維Ising 模型在有限溫度下沒有相變.

圖3 (a)一維Ising 模型中翻轉(zhuǎn)自旋會產(chǎn)生兩個疇壁;(b)二維Ising 模型中一種可能的局部疇壁構(gòu)型,在周期性邊界條件下疇壁閉合成環(huán)路;(c)不考慮渦旋類的點狀激發(fā)時,d 維連續(xù)自旋模型中線度為L 的疇壁切面,相鄰自旋角度緩慢變化Fig.3.(a)Two domain walls are created by flipping the spin in the one-dimensional (1D)classical Ising model;(b)a possible local domain wall configuration in the two-dimensional Ising model.The domain walls should close into loops under periodic boundary conditions;(c)a domain wall cross-section of size L in the d-dimensional continuous spin model with slowly varying angles between neighboring spins when vortex-like excitations are not taken into consideration.

然而,二維Ising 模型在有限溫度下存在相變,因為拓?fù)浼ぐl(fā)的性質(zhì)不同.如圖3(b)所示,當(dāng)系統(tǒng)中激發(fā)出一條長度為L的疇壁時,帶來的能量變化為 ΔE～L.粗略來看,疇壁上的每一個點都有4 個方向可能性,長度為L的疇壁狀態(tài)數(shù)約等于L4.由于每段疇壁之間還有約束,這里實際上高估了狀態(tài)數(shù),但是不影響結(jié)論.這樣疇壁的熱力學(xué)熵為 ΔS～kBL,對自由能總的貢獻(xiàn)為

其中α 是個比例系數(shù).可見低溫下ΔF>0 會抑制疇壁激發(fā),使得大部分自旋取向一致,從而有非零的磁化強度,即對稱性發(fā)生自發(fā)破缺.這也是皮爾斯(Peierls R)[12]當(dāng)年對二維Ising 模型存在相變的證明方式.

對于連續(xù)自旋模型,其哈密頓量為

其中J>0,〈i,j〉表示對d維晶格中所有近鄰格點對的求和.考慮其中的低能激發(fā),與Ising 模型不同,相鄰自旋之間的夾角可以緩慢變化,形成一定厚度的疇壁.圖3(c)展示了一個線度為L的疇壁截面,每層之間錯開一個很小的夾角θ/L,則總共的內(nèi)能增量為

當(dāng)d≤ 2 時,能量不會隨著L發(fā)散,但熱力學(xué)熵卻會隨L而增加,總的自由能會隨L而減小,因此自旋波的激發(fā)不足以導(dǎo)致具有連續(xù)對稱性的二維系統(tǒng)發(fā)生相變.

拓?fù)浼ぐl(fā)的類型與系統(tǒng)哈密頓量的對稱性、相應(yīng)的參數(shù)空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)密切相關(guān),也是預(yù)測和理解系統(tǒng)的行為的基礎(chǔ).如圖4 所示,當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)拓?fù)浼ぐl(fā),如疇壁、漩渦、或單極子時,由其引發(fā)的相變被稱為拓?fù)浼ぐl(fā)驅(qū)動的相變.在這種情況下,系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)會發(fā)生變化,例如能量密度或磁化強度.

圖4 不同系統(tǒng)中可能存在的拓?fù)浼ぐl(fā) (a)二維Ising 模型中的疇壁激發(fā);(b)二維XY 模型中渦旋的激發(fā);(c)二維磁性材料中Néel 型斯格明子的激發(fā)可以投影到三維刺球上,南北極分別與中心和邊緣對應(yīng)Fig.4.Possible topological excitations in different systems: (a)Excitations of domain walls in the 2D Ising model;(b)excitations of vortices in the 2D XY model;(c)excitations of Néel-type skyrmions in 2D magnetic materials can be projected onto a 3D hairy sphere,with the south and north poles corresponding to the center and edge,respectively.

在單軸各向異性鐵磁體中,序參量是磁化強度,系統(tǒng)的Z2對稱性只允許疇壁一種拓?fù)浼ぐl(fā).疇壁是磁化方向不同的區(qū)域之間的界面,如圖4(a)所示.疇壁的激發(fā)會影響材料的磁性,如其矯頑力場或磁感應(yīng)強度.這種拓?fù)浼ぐl(fā)引起的相變屬于二維Ising 普適類,對二維Ising 的嚴(yán)格解是相變理論發(fā)展的一個里程碑[13].

在復(fù)函數(shù)作為序參量的超導(dǎo)體中,序參量是庫珀對的波函數(shù)可以用具有U(1)對稱性的二維XY模型描述.除了自旋波,其空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)還允許漩渦的形成.如圖4(b)所示,漩渦是一種拓?fù)淙毕?由于哈密頓量在局域變換θi→ θi+2π 下保持不變,其局部序參量繞著一個點旋轉(zhuǎn)會有2π 整數(shù)倍的變化:

當(dāng)溫度達(dá)到臨界溫度時,漩渦對的打開導(dǎo)致超導(dǎo)相向正常相轉(zhuǎn)變,后者的導(dǎo)電性遠(yuǎn)低于前者.漩渦攜帶磁通量,渦旋對的解耦合會破壞相位相干性,導(dǎo)致超導(dǎo)性的喪失[6–8].

磁性系統(tǒng)中系統(tǒng)可以產(chǎn)生類似單極子的拓?fù)浼ぐl(fā),如圖4(c)所示,例如斯格明子的產(chǎn)生就和其參數(shù)空間的非平凡拓?fù)溆嘘P(guān)[14].當(dāng)序參量空間有一個非平凡的第二同倫群時,就會出現(xiàn)斯格明子.比如磁性材料中的斯格明子的拓?fù)鋽?shù)可以用纏繞數(shù)來刻畫.這個纏繞數(shù)描述磁單極子的行為,表現(xiàn)為磁通的源或匯:

其中M為二維磁性薄膜局域磁感應(yīng)強度的方向矢量.

在20 世紀(jì)70年代初,人們還深陷朗道范式無法解決XY模型中的相變問題這一困境,但拓?fù)浼ぐl(fā)的概念已經(jīng)開始進(jìn)入凝聚態(tài)物理學(xué)的領(lǐng)域.這既是妙手偶得,也是必然,因為索利斯當(dāng)時已經(jīng)認(rèn)識到以1/r2 相互作用的一維Ising 自旋鏈中的拓?fù)浼ぐl(fā)——疇壁之間以lnr的形式相互作用,會導(dǎo)致相變的發(fā)生.科斯特利茲和索利斯[6]意識到,低能自旋波激發(fā)僅僅能摧毀長程序,卻不足以導(dǎo)致相變.要產(chǎn)生相變必須引入更加高能量的激發(fā),以產(chǎn)生類似二維電子氣的相互作用,于是拓?fù)浼ぐl(fā)(渦旋)的概念應(yīng)運而生.當(dāng)時他們所考慮的拓?fù)涫怯蓭缀谓Y(jié)構(gòu)及相應(yīng)的能量決定的,相變被認(rèn)為是在不同拓?fù)洳蛔兞克硎镜耐負(fù)鋮^(qū)之間的變化.這里的拓?fù)洳蛔兞款愃朴谔鹛鹑烷僮拥谋砻?對應(yīng)的拓?fù)洳蛔兞?孔洞的數(shù)量)是1 和0.拓?fù)洳蛔兞烤哂蟹€(wěn)定性,改變它需要付出巨大的能量代價.

新的開創(chuàng)性思想超越了傳統(tǒng)朗道對稱性破缺理論框架,拓?fù)浼ぐl(fā)可以在沒有自發(fā)破缺對稱性的情況下推動熱力學(xué)相變的發(fā)生,順利解決了實驗與嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定理的標(biāo)準(zhǔn)解釋之間的嚴(yán)重矛盾.在超流體、超導(dǎo)體和液晶等二維薄膜中,拓?fù)淙毕蒡?qū)動的相變使得人們深刻地認(rèn)識到這些物理系統(tǒng)中拓?fù)湎啻嬖诘臋C制,這種全新的由拓?fù)浼ぐl(fā)驅(qū)動的BKT (Berezinskii–Kosterlitz–Thouless)相變理論為拓?fù)湮飸B(tài)研究之濫觴[15,16].

由此發(fā)端,從拓?fù)浣嵌确诸惛鞣N新奇物態(tài)的精神蔚然成風(fēng),理論和實驗的發(fā)展日新月異.在過去五十年里,拓?fù)湎嗟陌l(fā)現(xiàn)不僅推動了凝聚態(tài)物理學(xué)的發(fā)展,也促進(jìn)了量子信息、量子材料、甚至高能物理和弦理論研究.由拓?fù)淙毕莸臐q落驅(qū)動的相變產(chǎn)生的無序態(tài)沒有拓?fù)湫?對應(yīng)于非拓?fù)湎嘧?相反,往往是沒有拓?fù)淙毕莸臐q落驅(qū)動的相變會產(chǎn)生具有非平庸拓?fù)湫虻臒o序態(tài),對應(yīng)于通常意義上的拓?fù)湎嘧?

4 BKT 相變及其張量網(wǎng)絡(luò)研究方法

4.1 二維經(jīng)典 XY 模型

二維經(jīng)典XY模型由單位長度的平面轉(zhuǎn)子s=(cosθi,sinθi)組成,排列在如圖5(a)所示的一個二維的正方格子上,該系統(tǒng)的哈密頓量由以下公式給出:

圖5 (a)正方格子上經(jīng)典二維XY 模型的示意,每個XY 自旋都是單位長度的平面轉(zhuǎn)子;(b)正負(fù)渦旋配對,繞單個正負(fù)渦旋一周自旋相角改變2π.紅色表示正渦旋,藍(lán)色表示反渦旋Fig.5.(a)Schematic representation of the classical 2D XY model on a square lattice,where each XY spin is denoted as a planar rotor of unit length;(b)a rough plot of a vortexantivortex pair embedded in a quasi-long-range ordered system,where the nearby spins were originally pointing upwards.The vortices are point-like singularities around which spin directions rotate through an angle π on a circumnavigation.The red and blue circles denote the vortex and antivortex respectively.

其中J>0,〈i,j〉表示對晶格中所有近鄰格點對的求和;θi表示i點上的轉(zhuǎn)子相對于二維矢量空間中某個參考軸的轉(zhuǎn)角.當(dāng)溫度比較低的時候,相鄰自旋傾向于平行排列,可以假定平面轉(zhuǎn)子的方向在相鄰格點之間平滑變化.通過將相鄰格點之間的角度差表示為偏導(dǎo),得到連續(xù)哈密頓量:

E0=–2JN是N個自旋平行排列時的基態(tài)能量.

把對θ(r)的積分拆成兩部分[6]: 對局部極小值點θvor的求和,以及在極小值附近的擾動項θsw,

其中極小值點是根據(jù)

所確定.該方程除了常數(shù)解之外,還有一個渦旋構(gòu)型的解.在周期性條件

的要求下,此解需滿足:

其中n是閉合路徑C所包含的渦旋數(shù).得到的有渦旋存在時相位的表達(dá)式為

這里

渦旋位于對偶晶格上R=(X,Y)處.從而,系統(tǒng)配分函數(shù)可以寫成自旋波部分和庫侖氣體的乘積,而庫侖氣體部分是

其中包含了q=+1 和q=–1 的拓?fù)浜筛饔衝個,渦旋被視為尺度為a的硬核,即彼此之間的最小距離是a.

利用重正化的標(biāo)準(zhǔn)做法是對短波部分進(jìn)行積分,研究系統(tǒng)在更大的尺度上的表現(xiàn).在威爾遜(Wilson)重正化的方案中,人們直接在傅里葉空間中重正化哈密頓量,過濾掉對應(yīng)于大動量或短波長的模式.在卡丹諾夫(Kadanoff)的實空間方法中,人們通過連續(xù)消除團(tuán)塊中的自旋來不斷擴大尺寸.而科斯特利茨(Kosterlitz)的做法是[7],逐漸增加積分下限a→ela,研究自旋剛度如何變化.增加a對應(yīng)于消除短距離的漲落,因為隨著最小間隔的不斷增大,間隔小的渦旋構(gòu)型便不斷被排除,從而得到與尺度l依賴的有效相互作用K(l)和有效渦旋逸度y(l)滿足重正化方程:

重正化流圖見圖6.由圖6 可見,相區(qū)I 對應(yīng)低溫準(zhǔn)長程序相,而區(qū)域II 和III 是無序相,y=0 是一條不動點構(gòu)成的線.

圖6 (a)二維XY 模型的整體流圖;(b)在臨界點附近的流圖.箭頭代表隨著l 增大時重正化流的方向Fig.6.(a)The renormalization group (RG)flow diagrams of the 2D XY model,where the flow is indicated as l is increased to infinity;(b)flows from the linearized RG equations in the vicinity of the critical point.

繼Kosterlitz-Thouless 在20 世紀(jì)70年代開創(chuàng)性的工作之后[6,7],經(jīng)典XY模型中的新奇物理受到廣泛關(guān)注.但是,由于系統(tǒng)在相變附近有指數(shù)發(fā)散的關(guān)聯(lián)長度和對數(shù)形式的有限尺寸修正,精準(zhǔn)確定相變溫度和臨界指數(shù)一直是研究中的難點.在BKT 的理論工作之后不久,蒙特卡羅模擬為理論的正確性提供了很多證據(jù)[17,18],并對相變溫度進(jìn)行了粗略估計.這些估計值隨后得到了較大的改善[19–21],得到的數(shù)值TBKT～0.8929 J,與高溫展開的結(jié)果[22]一致.然而,這些結(jié)果在很大程度上依賴有限尺寸對數(shù)修正,不同的外推法得到的相變溫度估值會有所不同[23].經(jīng)典蒙特卡羅模擬的優(yōu)點是易于實現(xiàn)和理解,能夠處理包括多體相互作用的復(fù)雜系統(tǒng),其計算復(fù)雜度主要取決于采樣數(shù)目和計算的精度.一般情況下,隨著采樣數(shù)目的增加,其計算精度和計算時間都會增加.

4.2 配分函數(shù)的張量網(wǎng)絡(luò)表示

有別于傳統(tǒng)的基于抽樣的蒙特卡羅方法,近年發(fā)展起來的張量網(wǎng)絡(luò)方法[24,25]為從理論和數(shù)值方面研究經(jīng)典XY模型提供了一個新框架.張量網(wǎng)絡(luò)可以將一個給定系統(tǒng)的所有物理特性編碼為局部張量,幫助人們更加清晰地了解局部自由度的物理對稱性和系統(tǒng)的整體特性之間的關(guān)系.盡管張量網(wǎng)絡(luò)最初是為捕捉強關(guān)聯(lián)量子晶格系統(tǒng)中的糾纏而提出的,它正被越來越多地應(yīng)用于統(tǒng)計力學(xué)問題的研究中.最近,人們基于張量重正化群[26]和變分優(yōu)化方法[27]對XY模型有所研究,分別從磁化率和自旋剛度等熱力學(xué)量確定相變溫度.這里也從張量網(wǎng)絡(luò)出發(fā),從轉(zhuǎn)移矩陣的最大本征矢中解碼熱力學(xué)相變信息[28–30].這是因為轉(zhuǎn)移矩陣的對數(shù)可以被視為一個一維量子系統(tǒng)的哈密頓量,其最大本征矢可以看作量子系統(tǒng)的基態(tài)波函數(shù),從波函數(shù)中可以找到刻畫量子相變的一個普適判據(jù)——糾纏熵,從而有效地確定對應(yīng)經(jīng)典模型的相變溫度.

從經(jīng)典XY模型的哈密頓量出發(fā),其配分函數(shù)為

這里β=1/T,為簡化起見,將其單位定為J/kB.如圖7(a)所示,玻爾茲曼因子被表示成M(θi,θj)的乘積,其指標(biāo)為連續(xù)的θ 變量.

圖7 (a)配分函數(shù)的玻爾茲曼因子被表示成相互作用矩陣的張量網(wǎng)絡(luò)乘積;(b)通過對偶變換將連續(xù)自由度積掉之后的張量網(wǎng)絡(luò)表示;(c)相互作用矩陣的分解,對連續(xù)角度變量的積分以及均勻局域張量的構(gòu)造;(d)通過局域張量O 表示的均勻二維張量網(wǎng)絡(luò),其行轉(zhuǎn)移矩陣T(β)由虛線框出Fig.7.(a)The Boltzmann weights of the partition function are represented as a tensor network product of the interaction matrices M;(b)the tensor network representation of the partition function after the continuous degrees of freedom are integrated out through a duality transformation;(c)the decompositions of the interaction matrix,the integration over continuous variables,and the construction of a uniform local tensor;(d)the 2D uniform tensor network representation composed of local O tensors,where the row-to-row transfer matrix T (β)is circled by dashed lines.

為了能夠?qū)⑦B續(xù)自由度轉(zhuǎn)換到離散指標(biāo),將位于晶格連線上的矩陣M做展開:

這里In(θ)是第一類修正貝塞爾函數(shù).如圖7 所示,用箭頭規(guī)定了角度差,保證(19)式中指數(shù)中最近鄰的一對自旋角總是上面的相位角減去下面的,右邊的減去左邊的,相應(yīng)的矩陣為:

通過積掉格點上的角度自由度就可以得到局域的F張量:

新的網(wǎng)絡(luò)形態(tài)如圖7(b)所示,只要將對角的矩陣Λ開根號平分到F張量上就可以得到圖7(d)所示的均勻張量網(wǎng)絡(luò):

這里“tTr”表示對指標(biāo)的收縮,其中每個局部張量

從圖7(d)可以看到,行轉(zhuǎn)移矩陣保留了系統(tǒng)的U(1)不變性.作為U(1)對稱性的生成元,它可以數(shù)出張量指標(biāo)對應(yīng)的電荷數(shù).可以把轉(zhuǎn)移矩陣看成一個映射,電荷數(shù)守恒相當(dāng)于要求輸入的態(tài)(連接進(jìn)去的箭頭)和輸出的態(tài)(連接出去的箭頭)有同樣的電荷數(shù)(進(jìn)出箭頭的指標(biāo)數(shù)加起來一樣).利用U(1)對稱性,可以把矩陣乘積態(tài)的空間分成電荷數(shù)不同的子空間討論,從而減少數(shù)據(jù)存儲量.

盡管局域張量O的指標(biāo)n應(yīng)當(dāng)取遍所有整數(shù),但在實際計算中可以進(jìn)行有效的截斷.這是因為貝塞爾函數(shù) In(β)隨著n增大會快速衰減,如圖8 所示,發(fā)現(xiàn)張量O的每條腿的維度達(dá)到25 便已經(jīng)足夠精確.

圖8 第一類修正貝塞爾函數(shù)In(β)在不同溫度下隨著n 增大的衰減行為,插圖中展示了其指數(shù)級的衰減速度Fig.8.Decay of the modified Bessel function of the first kind dependent on n at different temperatures on the linear and logarithmic (the inset)scales.

4.3 物理量的計算

在熱力學(xué)極限下,配分函數(shù)的值取決于轉(zhuǎn)移矩陣最大本征值:

此方程可以用標(biāo)準(zhǔn)的變分均勻矩陣乘積態(tài)(VUMPS)算法求解[31].如圖9(a)所示,|Ψ(A)〉 是由同一種張量A構(gòu)成的均勻MPS,用以近似最大本征值對應(yīng)的本征矢.單位格點上的最大本征值λ=Λmax1/L,其中L→∞表示行轉(zhuǎn)移矩陣的格點數(shù).這符合對平移不變的無限大系統(tǒng)的假設(shè),此近似的精確程度由局域張量A的虛擬維度D來控制.

圖9 (a)VUMPS 算法的核心思想是通過均勻MPS 近似轉(zhuǎn)移矩陣最大本征矢;(b)通過對 MPS 的右半邊求跡得到的約化密度矩陣,其中 AL,AR和C 分別是MPS 所對應(yīng)的左正則、右正則和中心張量;(c)局域可觀測量的期待值被化簡為收縮單個雜質(zhì)張量M.虛線框出了通道 算符,FL和FR 為其左右不動點;(d)兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)被表示 為收縮一串通道算符Fig.9.(a)The key point of the VUMPS algorithm is to approximate the maximum eigenvector of the transfer matrix by a uniform MPS;(b)the reduced density matrix is obtained by tracing out the right half of the MPS,where AL,AR,and C are the left canonical,right canonical,and center tensors,respectively;(c)the calculation of the expectation value of a local observable is reduced to the contraction of a single impurity tensor M sandwiched by the leading eigenvectors of the channel operators.The dashed line circles the channel operator,with FL and FR as its left and right fixed points;(d)the two-point correlation function is represented as a contraction of a train of channel operators.

借助VUMPS 算法,精確求得最大本征矢|Ψ(A)〉,隨后各種物理量可以基于MPS 準(zhǔn)確計算.通過將轉(zhuǎn)移矩陣對應(yīng)到一維量子系統(tǒng)可以得到糾纏信息,它可以幫助我們確定系統(tǒng)中的相變性質(zhì).糾纏熵作為相應(yīng)量子多體問題中糾纏的測度[32],可通過對最大本征矢做施密特分解得到.如圖9(b)所示,在正則形式下將系統(tǒng)分成左右兩部分,然后利用右正則形式對右半邊求跡,得到約化密度矩陣,其本征譜只依賴于中心矩陣:

由此可以得到糾纏熵[33,34]:

其中Sα是張量C的奇異值.

此外,自由能密度可以通過最大本征值直接獲得

局域可觀測量的期待值可以通過在張量網(wǎng)絡(luò)中插入相應(yīng)的雜質(zhì)張量得到.如圖9(c)所示,借助不動點MPS,二維網(wǎng)絡(luò)被壓縮成一條含雜質(zhì)張量的長鏈,然后進(jìn)一步從兩頭壓縮.類似地,如圖9(d)所示,借助 MPS 的正則形式,兩點關(guān)聯(lián)函數(shù)G(r)可以表示為收縮帶有兩個雜質(zhì)張量的長鏈.以單位格點的內(nèi)能為例,它可以表示為近鄰兩點函數(shù)的期待值:

而比熱可以從內(nèi)能得到:

由于張量網(wǎng)絡(luò)方法是在熱力學(xué)極限下計算的,因此可以得到不受有限尺寸效應(yīng)干擾的熱力學(xué)量.圖10(a)和圖10(b)展示了系統(tǒng)內(nèi)能和比熱隨溫度的變化.隨著溫度的增加,內(nèi)能和比熱都是平滑地變化,并且在有限溫度下沒有顯示任何奇異點,這說明系統(tǒng)中的相變是高階的.但內(nèi)能在T約1.0 附近有較大的增量,對應(yīng)的比熱在那里產(chǎn)生了一個圓滑的鼓包.這些熱力學(xué)特征都和BKT 相變的特點相符合.

圖10 (a)內(nèi)能隨溫度的變化;(b)比熱隨溫度的變化Fig.10.(a)The internal energy as a function of temperature;(b)the specific heat as a function of temperature.

雖然通過內(nèi)能和比熱等熱力學(xué)量無法準(zhǔn)確判斷相變點的位置,但張量網(wǎng)絡(luò)方法通過將二維經(jīng)典統(tǒng)計模型和一維量子模型對應(yīng),提供了刻畫相變的量子判據(jù)——糾纏熵.從圖11(a)可以看到,等效一維量子系統(tǒng)的糾纏熵在有限溫下出現(xiàn)奇異值點,且隨著MPS 鍵維度的增長,逐漸向左移動.通過對不同鍵維度下的相變溫度做外插同樣可以得到非常準(zhǔn)確的相變溫度.

圖11 (a)不同MPS 鍵維度下等效一維量子系統(tǒng)的糾纏熵隨溫度的變化,奇異值點反映了系統(tǒng)中的BKT 相變的發(fā)生;(b)不同MPS鍵維度下自旋剛度隨溫度的變化.與紫線的交叉處是理論給出的普適躍變點,而虛線是相變附近自旋剛度行為的擬合Fig.11.(a)The entanglement entropy of the 1D quantum correspondence as a function of temperature under different MPS bond dimensions where the singularities indicate the occurrence of the BKT transition;(b)the spin stiffness as a function of temperature for a set of different MPS bond dimensions.The straight line 2T/π is known to intersect the curve for the critical temperature and the dashed line is a fit to the behavior of the spin stiffness near the BKT transition.

因為系統(tǒng)的U(1)對稱性不會在有限溫發(fā)生破缺,局域序參量無法刻畫相變的發(fā)生,但自旋剛度的躍變可以反映系統(tǒng)中相變.自旋剛度刻畫了系統(tǒng)自由能對一個微弱扭轉(zhuǎn)場的響應(yīng):

其中fv是單位格點上的自由能,而扭轉(zhuǎn)場v的作用是增大相鄰自旋之間的夾角.圖10(b)展示了不同MPS 鍵維度下自旋剛度隨溫度的變化,可以看到自旋剛度在相變溫度TBKT之上會跳降到0,而且跳變點符合理論預(yù)期[35]:

虛線擬合了重正化理論預(yù)言的自旋剛度表現(xiàn)行為,

也符合得很好,這充分表明我們研究方法的可靠性.

還可以從自旋-自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)

在相變點兩側(cè)的不同表現(xiàn)行為看出渦旋配對情況.如圖12(a)所示,自旋-自旋關(guān)聯(lián)函數(shù)G1(r)在TBKT之下的T=0.8 處隨距離呈冪律衰減.而在TBKT之上的T=1.0 處,關(guān)聯(lián)函數(shù)G2(r)隨距離指數(shù)衰減,如圖12(b)所示.這一結(jié)果清晰地反映了渦旋-反渦旋在相變溫度之下是束縛在一起的,整個相位場具有準(zhǔn)長程序.在相變溫度之上束縛對打開,大量獨立渦旋的存在擾亂了相位場,使得系統(tǒng)進(jìn)入無序狀態(tài).

圖12 (a)關(guān)聯(lián)函數(shù)在T=0.8 處隨距離的衰減行為,插圖采用雙對數(shù)坐標(biāo),線性體現(xiàn)冪律衰減,對應(yīng)準(zhǔn)長程有序態(tài);(b)關(guān)聯(lián)函數(shù)在T=1.0 處隨距離的衰減行為,插圖縱軸采用對數(shù)坐標(biāo),線性體現(xiàn)指數(shù)衰減,對應(yīng)無序態(tài)Fig.12.(a)The spin–spin correlation function displays power-law behavior at T=0.8 below Tc corresponding to the quasi-longrange ordered phase;(b)the spin–spin correlation function decays exponentially at T=1.0 above Tc corresponding to the disordered phase.The y-axes of the insets are plotted in logarithmic scales.

BKT 相變的標(biāo)志之一是從高溫側(cè)接近臨界點時關(guān)聯(lián)長度的指數(shù)發(fā)散.由于高溫側(cè)對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣是有帶隙的,原則上可以通過提高M(jìn)PS 的鍵維度將精度不斷提高,相應(yīng)的關(guān)聯(lián)長度也會隨之增大.因為理論上帶隙會隨著MPS 鍵維度增大而減小,可以利用這一特性外插出無窮大MPS 鍵維度下的關(guān)聯(lián)長度[36,37].這里利用轉(zhuǎn)移矩陣的次級帶隙

其中λ1,λ2分別是轉(zhuǎn)移矩陣的最大和次大本征值,而

是關(guān)聯(lián)長度的倒數(shù).利用線性外插假設(shè)[36],可以得到外插后的關(guān)聯(lián)長度.

圖13(a)展示了T=0.955 處對ε 的外插結(jié)果,呈很好的線性行為.外插后的關(guān)聯(lián)長度畫在圖13(b)中,發(fā)現(xiàn)其對BKT 擬合公式

圖13 (a)在T=0.955 處對關(guān)聯(lián)長度的外插擬合,這里的數(shù)據(jù)點對應(yīng)MPS 鍵維D=30,50,70,90,120,150;(b)外插后的相變溫度之上的關(guān)聯(lián)函數(shù)隨溫度的變化,藍(lán)線是利用理論公式對相變溫度的擬合Fig.13.(a)The extrapolation procedure of the correlation length at T=0.955,where the data points correspond to the MPS bond dimensions D=30,50,70,90,120,150;(b)the extrapolated correlation length as a function of temperature yields a value for the critical temperature TBKT ～ 0.8930 when fitted to the BKT form (blue line).

符合得很好,這里的TBKT～0.8930,與此前的研究結(jié)果相符合[27].通過對不同MPS 鍵維度下糾纏熵和關(guān)聯(lián)長度的擬合,還可以提取出系統(tǒng)對應(yīng)共形場論的中心荷:

圖14 展示了在T=0.865 處對中心荷的擬合,擬合值c=1.0004 完全符合超流相共形場理論預(yù)言.

圖14 在T=0.865 處通過關(guān)聯(lián)長度與糾纏熵的線性關(guān)系擬合出中心荷c=1.0004.數(shù)據(jù)點對應(yīng)MPS 鍵的尺寸為D=30,50,70,90,120,150Fig.14.Center charge c=1.0004 extracted from the linear relationship between the correlation length and the entanglement entropy at T=0.865 under MPS bond dimensions D=30,50,70,90,120,150.

由此,通過各方面的計算結(jié)果表明,張量網(wǎng)絡(luò)方法是描述經(jīng)典XY模型及其相變的理想框架.除了準(zhǔn)確計算各種熱力學(xué)量,還能從糾纏和關(guān)聯(lián)方面之間反映不同物相及相變特征.

5 展 望

路漫漫其修遠(yuǎn)兮,數(shù)百年來人們對物理學(xué)中的大統(tǒng)之道孜孜以求.從二維Ising 模型的嚴(yán)格解到二維XY模型中的BKT 相變理論,從朗道范式到拓?fù)浼ぐl(fā),每一次的認(rèn)知提高都來自對基本物理模型的理解.如果說朗道對稱性自發(fā)破缺理論描述了粒子組織結(jié)構(gòu)的靜態(tài)模式,那么拓?fù)浼ぐl(fā)則是由靜生動,描述了組成粒子集體的舞動模式.在集體漲落中看到千姿百態(tài)的元激發(fā)和光怪陸離的相變,下至費米弧上至宇宙弦都可以由類似的拓?fù)淙毕輥砻枋?演生論思想提供了人們對物質(zhì)世界的一種統(tǒng)一認(rèn)知.參差多態(tài)構(gòu)成世界,不同類型拓?fù)浼ぐl(fā)行為各異,它們之間的相互作用會變得非常復(fù)雜.這種復(fù)雜性既能帶來豐富的物理,也給研究帶來很大的挑戰(zhàn).大道至簡,從最基本的離散Zn自由度和連續(xù)U(1)自由度出發(fā),由于很強的漲落效應(yīng),在連續(xù)對稱性二維系統(tǒng)中拓?fù)浼ぐl(fā)交織出新奇熱力學(xué)相變.

從最簡單的思路就是基于XY模型進(jìn)行拓展,還可以加入與2π 周期相競爭的作用量,對應(yīng)拓展的XY模型.不同自由度的競爭會產(chǎn)生自旋波、整數(shù)渦旋、拓?fù)湎液桶胝麛?shù)渦旋等各種激發(fā).此拓展的XY系統(tǒng)中不僅會經(jīng)歷拓?fù)浼ぐl(fā)解耦合導(dǎo)致的BKT 相變,還會演生出拓?fù)湎壹ぐl(fā)導(dǎo)致的Ising 相變.針對整數(shù)渦旋和半整數(shù)渦旋這兩種拓?fù)浼ぐl(fā)之間的相互作用,對相變進(jìn)行了精確測定和臨界點的性質(zhì)的澄清[38].我們的研究可以回答了如下問題:整數(shù)渦旋配對相和半整數(shù)渦旋配對相之間的相變的性質(zhì)是什么? 相變線的結(jié)構(gòu)是如何變化的? 在高溫相中是否存在一個解束縛相變?

耦合系統(tǒng)也是一個研究不同拓?fù)浼ぐl(fā)相互作用的重要平臺.前面已經(jīng)看到離散系統(tǒng)的耦合會帶來豐富的物理,連續(xù)系統(tǒng)亦然.還重點研究了耦合XY系統(tǒng)[39],它可以描述超流體、超導(dǎo)體、冷原子凝聚體和二維晶格的融化等很多物理現(xiàn)象.以超導(dǎo)體為例,其中庫珀對可以用宏觀波函數(shù)描述,發(fā)生耦合的時候會演生出新的相位差表示的自由度,體現(xiàn)為約瑟夫森效應(yīng).很多新奇的超導(dǎo)現(xiàn)象來自于特殊的層間耦合形式,但是耦合也帶來新的復(fù)雜度,因為不同的拓?fù)浼ぐl(fā)會同時產(chǎn)生[40].雖然經(jīng)歷了一系列理論發(fā)展,但仍舊不能完全解釋實驗現(xiàn)象,其中的難點也是源于多自由度耦合帶來的拓?fù)浼ぐl(fā)間復(fù)雜的相互作用.

除了引入耦合,阻挫也可以自然誘發(fā)拓?fù)浼ぐl(fā)的產(chǎn)生,因為阻挫傾向于破壞局部穩(wěn)定性,加劇系統(tǒng)中的漲落.在強阻挫的離散模型中,即使在零溫系統(tǒng)也會完全混亂無序.在連續(xù)模型中引入阻挫,會導(dǎo)致分?jǐn)?shù)化的渦旋激發(fā),因其與磁性材料和超導(dǎo)體系密切相關(guān)被大量研究.但由于拓?fù)浼ぐl(fā)之間聯(lián)系緊密,激發(fā)次序難以區(qū)分,使相變細(xì)節(jié)一直充滿爭議.相比正方晶格和三角晶格[41],籠目晶格中的阻挫效應(yīng)更強[42],也是當(dāng)前研究的熱點材料.人們對籠目晶格上的反鐵磁XY模型提出了種種猜想,有人認(rèn)為無序會帶來有序,亦或產(chǎn)生多步相變.也有人認(rèn)為阻挫會完全破壞整數(shù)渦旋配對,莫衷一是.由于極高的簡并度和復(fù)雜的演生相互作用,阻挫系統(tǒng)在理論和數(shù)值研究中一直困難重重.

我們的研究工作,步步為營,逐漸深入,借助一套高效的張量網(wǎng)絡(luò)方法,對XY模型相關(guān)的物理展開了系統(tǒng)深入的研究,從拓?fù)浼ぐl(fā)的角度解釋了一系列新奇的物相和相變.通過對偶變換技巧,找到了耦合和阻挫XY系統(tǒng)的恰當(dāng)張量網(wǎng)絡(luò)表示.將配分函數(shù)的轉(zhuǎn)移矩陣與一維量子模型對應(yīng),得以從糾纏角度解碼不同類型的拓?fù)浼ぐl(fā).我們的工作不僅給出在熱力學(xué)極限下研究經(jīng)典模型中拓?fù)浼ぐl(fā)的一套有效方案[38–42],也為今后對各種演生現(xiàn)象的研究指出了一條可行的路線.