具變系數(shù)和弱阻尼的非局部高階波方程的長時間動力學行為

呂鵬輝，余莎莎，林國廣

(1.蘇州大學應用技術學院，江蘇 蘇州 215325；2.蘇州工業(yè)園區(qū)星洋學校，江蘇 蘇州 215127；3.云南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昆明 650500)

0 引言

設Ω?RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域，本文主要研究Ω上具有變系數(shù)和弱阻尼非局部高階波方程的漸近行為，即

(1)

波動方程通常描述弦的振動規(guī)律或者波的運動規(guī)律，弦的振動和波的運動通常伴隨著阻尼和外力，阻尼通常來自于物體內(nèi)摩擦或者介質(zhì)摩擦。梁方程作為一類特殊的波動方程，主要描述梁的偏轉和實用負載關系，該方程與基礎建設如房屋、橋梁、公路、鐵路等息息相關。Woinowsky-Krieger[1]于1950年研究了一維問題下梁的振動問題，建立了模型

(2)

式(2)中的非線性部分表示梁的延伸效應。在Ω?RN下，式(2)的一般形式為

(3)

近年來，人們致力于式(3)的可展梁或板方程的研究，也得到了該類問題的許多重要結果。Lin等[2]研究了具阻尼項的廣義非線性Kirchhoff-Boussinesq方程的整體動力學，得到了該類方程的整體吸引子和指數(shù)吸引子；Feng等[3]研究了一類具強阻尼非線性非自治可延伸板方程解的長時間動力學，在初始條件、非線性項和外力項的適當條件下，證明了問題整體解的存在性，并且得到了一致吸引子的存在。更多有關梁板方程的研究可見文獻[4-6]。

變系數(shù)a(x)表示空間坐標x處的波速，它出現(xiàn)在海洋聲學、數(shù)學物理等許多領域的波動現(xiàn)象中，因此，研究具變系數(shù)的波方程的相關性質(zhì)具有重要的現(xiàn)實意義。許多學者也研究了具變系數(shù)的波動方程的長時間動力學行為，如：Limaco等[7]研究了具有變系數(shù)Kirchhoff方程在非線性內(nèi)阻尼作用下初邊值問題強解的整體唯一性及總能量的指數(shù)衰減性；Karachalios等[8]研究了半線性雙曲方程utt+δut-φ(x)Δu+λf(u)=η(x)的柯西問題，它克服了無界域中算子非緊性帶來的困難，并且得到了解的局部存在性和整體吸引子的存在性。更多有關具變系數(shù)的波方程研究可見文獻[9-11]。

隨著研究的深入，學者開始研究高階波動方程的長時間動力學行為。Messaoudia等[12]研究了具有Dirichlet邊界條件的多維高階Kirchhoff方程，估計了正初始能量下解爆破。林國廣等[13]研究了一類非線性非局部且具強阻尼項的高階Kirchhoff方程的初邊值問題，得到了該類高階方程的整體解的存在唯一性。更多關于高階Kirchhoff方程的相關研究可見文獻[14-16]。

目前，對于具變系數(shù)的高階波方程的漸近行為研究較少，主要遇到的困難是在求解問題時，變系數(shù)的處理方式不同。當a(x)是正常數(shù)時，作為ut的阻尼系數(shù)，此時在做內(nèi)積過程時，可直接提到內(nèi)積外面；當a(x)是變系數(shù)函數(shù)時，a(x)ut與(-Δ)kv(k=1，2，…，2m)做內(nèi)積，將不能直接把a(x)提出，此時如何處理變系數(shù)將成為得到漸近緊的關鍵。本文運用合理的假設和萊布尼茲公式，靈活處理了變系數(shù)帶來的耗散估計問題，克服了變系數(shù)帶來的困難，進而得到有界吸收集和漸近緊性，最后得到問題的整體吸引子族。

1 預備知識

本節(jié)主要給出動力系統(tǒng)和整體吸引子(族)的相關理論。

定義1[13]設X是完備度量空間，S(t)：X→X(t∈R+)是連續(xù)算子族，若對任意s，t∈R+，S(t)滿足S(0)=I、S(t+s)=S(t)S(s)，則稱{S(t)}t≥0是X上的算子半群，(S(t)，X)構成連續(xù)動力系統(tǒng)，X稱為該動力系統(tǒng)的相空間。

2 整體解的存在性

(4)

ug(x，u)-β2G(x，u)≥Φ2(x)，Φ2∈L1(Ω)，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

設ε>0足夠小，且滿足

(10)

引理3 設條件(H)成立，M滿足條件(M)，f∈H，式(4)～式(8)成立，(u，u1)∈X0，由問題(1)確定的(u，v)滿足

證明將v與方程組(1)在L2(Ω)中作內(nèi)積，得

(11)

分別處理式(11)中各項得

ε(a(x)u，v)=ε(a(x)u，ut+εu)=(ε/2)d(a(x)u，u)/dt+ε2(a(x)u，u)，

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(12)～式(17)代入式(11)中，得到

(18)

根據(jù)假設(H)、(M)和式(5)，得

(19)

(20)

(21)

由式(10)及式(19)～式(21)，取σ1=min{7a00/4-2ε，ε，2εβ2}，則式(18)化為

(22)

證明將(-Δ)kv(k=1，2，…，2m)與方程組(1)在L2(Ω)中做內(nèi)積，得

(23)

分別處理式(23)各項得

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

結合式(23)～式(32)得到

(33)

引理5(整體解的存在唯一性) 在引理3、引理4假設條件下，(u，u1)∈Xk，k=0，1，…，2m，則初邊值問題(1)存在唯一的整體解(u，v)∈L∞([0，+∞)；Xk)。

證明1)解的存在性。利用Galerkin方法證明整體解的存在性。

(34)

確定，滿足初始條件un(0)=un0，unt(0)=un1。當n→+∞時，在Xk中(un0，un1)→(u0，u1)，由常微分方程的基本理論可知，近似解un(t)在(0，tn)存在。

第三步，極限過程。在Xk(k=0，1，…，2m)空間中，從序列un中選取子列，任用un表示，則

(un，vn)→(u，v)

(35)

(36)

類似于引理3、引理4處理方法，得

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

其中，ξ2=θu1+(1-θ)u2，θ∈(0，1)。

(42)

(43)

3 整體吸引子族的存在性