一類Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson方程的非平凡解

胡 仙，藍(lán)永藝

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

近幾年來，Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)

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也開始引起了大家的關(guān)注。文獻(xiàn)[9]基于一些條件和對(duì)L(x)∈L2(R3)的假設(shè)條件，證明了其解的存在性與不存在性。當(dāng)4

本文在文獻(xiàn)[11]研究基礎(chǔ)上，考慮Kirchhoff-Schr?dinger-Poisson方程

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非平凡解的存在性，其中，a>0，λ>0，b≥0，4

定理1 設(shè)條件(A1)、(A2)成立且40，問題(3)至少有一個(gè)正解。

1 預(yù)備知識(shí)

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將式(4)代入式(3)的第一個(gè)方程可得

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2 定理的證明

分3步來證明定理1。

第一步，(PS)條件。先證任意的(PS)c序列在H1(R3)中都是有界的，再證I滿足(PS)c條件，即任意的(PS)c序列都有收斂子列。

設(shè)H1(R3)中序列{un}滿足：I(un)有界，且I′(un)收斂于0，即I(un)→c，I′(un)→0。從而對(duì)任意的ψ∈H1(R3)，都有〈I′(un)，ψ〉→0，n→∞。

下面證明{un}在H1(R3)中有界。反證法，假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，tn=‖un‖→∞。令vn=un/tn，那么vn∈H1(R3)且‖vn‖=1。從而存在v∈H1(R3)，使得在任意有界區(qū)域Ω∈R3上，有

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接下來證v(x)=0在R3。令un=tnvn，

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接著證x包含在Ω+和Ω-中。假設(shè)條件(A1)和(A2)，暗示Ω+≠?和Ω-≠?。首先考慮x∈Ω+的情況。因?yàn)閍(x)∈C(R3)，這里存在δ>0，有

a(y)>0，任意的y∈Bδ(x)。

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令〈I′(un)，ψ〉→0中ψ=vn，并對(duì)式(10)兩邊分別除以tn=vn，可得

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現(xiàn)在證明{un}有收斂子列，依然記為{un}。假設(shè)存在u∈H1(R3)，使得

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首先令ψ=u，當(dāng)n足夠大時(shí)，有

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當(dāng)n足夠大時(shí)，可得

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接下來，不失一般性，假設(shè)a∞<-1。由條件(A1)可知，存在R0>0，使得a(x)<-1，|x|>R0。又因?yàn)閍(x)∈C(R3)和4

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因?yàn)镮(u)=I(|u|)在H1(R3)中，所以可得u≥0在R3，它為問題(3)的解且滿足I(u)>0。由強(qiáng)極大值原理可得，u>0在R3中。