不等式恒成立 參數(shù)取值范圍

摘" 要：含參函數(shù)對應(yīng)的不等式恒成立問題是高考中創(chuàng)新設(shè)置的綜合應(yīng)用問題.破解此類問題，可以從函數(shù)視角切入，也可以從不等式視角切入，結(jié)合不同的思維視角來轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的解決，總結(jié)解題規(guī)律，歸納技巧策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；不等式；恒成立；同構(gòu)；導(dǎo)數(shù)

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0028-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：何晨霞（1981.10—），女，河北省鹽山縣人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

含參函數(shù)對應(yīng)的不等式恒成立的綜合應(yīng)用問題，是函數(shù)與不等式知識交匯與融合的一個重要知識.借助不等式的合理轉(zhuǎn)化與恒等變形，借助不等式的基本性質(zhì)或函數(shù)的基本性質(zhì)等來合理轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，或利用不等式思維，或利用函數(shù)思維，或利用導(dǎo)數(shù)思維等來分析與解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.1" 問題呈現(xiàn)

問題" （2022年11月中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性數(shù)學(xué)測試卷）已知函數(shù)f（x）=ex+n，g（x）=ln（x-n），若對x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，則實數(shù)n的取值范圍為.

2" 問題剖析

本題是以兩個含參函數(shù)為載體，借助含參函數(shù)的不等式恒成立創(chuàng)新設(shè)置，進(jìn)而確定對應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題.

此類問題常用以下策略與方法來分析與求解：（1）參變分離，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值，有時還涉及隱零點的相關(guān)問題；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)重要不等式ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立），lnx≤x-1（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）進(jìn)行合理放縮，進(jìn)而求解最值；（3）利用同構(gòu)，結(jié)合含參函數(shù)的不等式恒成立的恒等變形與轉(zhuǎn)化，通過同構(gòu)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性并求解最值.

當(dāng)然還可以借助反函數(shù)思維等來分析與處理該問題，主要是反函數(shù)思維在新教材中已經(jīng)有所淡化，只是作為部分學(xué)生提升與課外閱讀的材料.

3" 問題破解

3.1" 導(dǎo)數(shù)思維

解法1" 對x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立.

則有對x∈（n，+∞），都有f（x）-g（x）=

ex+n-ln（x-n）gt;0恒成立.

構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex+n-ln（x-n），x∈

（n，+∞），

求導(dǎo)有h′（x）=ex-1x-n.

顯然函數(shù)h′（x）在（n，+∞）上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x→n時，h′（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時，

h′（x）→+∞.

所以

Symbold@@ x0∈（n，+∞），使得h′（x0）=0，且當(dāng)x∈（n，x0），h′（x）lt;0，此時函數(shù)h（x）在（n，x0）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞），h′（x）gt;0，此時函數(shù)h（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以利用基本不等式，可得

h（x）≥h（x0）=ex0+n-ln（x0-n）=1x0-n+n+

x0=1x0-n+（x0-n）+2n≥21x0-n×（x0-n）+2n=2+2ngt;0.

則知ngt;-1.

即實數(shù)n的取值范圍為（-1，+∞）［1］.

3.2" 放縮思維

解法2" 對

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有f（x）gt;g（x）恒成立，則有對

Symbolb@@ x∈（n，+∞），都有h（x）=f（x）-g（x）gt;0恒成立.

結(jié)合重要不等式，可知

h（x）=f（x）-g（x）=ex+n-ln（x-n）≥x+

1+n-（x-n）+1=2n+2gt;0，

當(dāng)且僅當(dāng)x=0且x-n=1時等號成立.

則知ngt;-1.

即實數(shù)n的取值范圍為（-1，+∞）.

3.3" 函數(shù)同構(gòu)思維

解法3" 由f（x）gt;g（x）

Symbol解法4" 由f（x）gt;g（x）

Symbol3.4" 反函數(shù)思維

解法5" 令y=f（x）=ex+n，則ex=y-n.

即x=ln（y-n）.

則知函數(shù)f（x）與g（x）互為反函數(shù).

結(jié)合互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，

所以當(dāng)ex+ngt;x恒成立時，都有f（x）gt;g（x）恒成立.

結(jié)合重要不等式，可知ex≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立），則有

ngt;（x-ex）max=x-（x+1）=-1.

則知ngt;-1.

即實數(shù)n的取值范圍為（-1，+∞）.

4" 變式拓展

根據(jù)以上問題的“一題多解”，進(jìn)一步加以發(fā)散思維，開拓方法，鞏固相關(guān)的基礎(chǔ)知識與基本方法，進(jìn)行“一題多變”.

變式1" 已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x2+ax-32.對任意x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）都恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析" 對x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）可化為2xlnx≥-x2+ax-3.

故a≤2lnx+x+3x.

構(gòu)建函數(shù)F（x）=2lnx+x+3x，求導(dǎo)有

F′（x）=x2+2x-3x2=（x+3）（x-1）x2.

故F（x）=2lnx+x+3x在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

故F（x）≥F（1）=1+3=4.

故對x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立可化為a≤4.

即實數(shù)a的取值范圍為a≤4.

變式2" 已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=axex，a∈R.若對任意的x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.

解析" 對任意x∈［0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立

Symbol構(gòu)建函數(shù)F（x）=ln（x+1）-axex（x≥0），求導(dǎo)有

F′（x）=1x+1-a（x+1）ex=1-a（x+1）2exx+1.

①當(dāng)a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0，故F（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.

又F（0）=0，故當(dāng)x≥0時，F(xiàn)（x）≥0，不符合題意.

②當(dāng)a＞0時，

（1）當(dāng)a≥1時，由于x≥0，可得a（x+1）2ex≥1.

則F′（x）=1-a（x+1）2exx+1≤0.

故F（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x≥0時，F(xiàn)（x）≤F（0）=0，符合題意.

（2）當(dāng)0＜a＜1時，構(gòu)建函數(shù)

φ（x）=1-a（x+1）2ex（x≥0），

求導(dǎo)有φ′（x）=-a（x+1）（x+3）ex.

顯然φ′（x）＜0，φ（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減.

又φ（0）=1-a＞0，φ（1a-1）=1-e1a-1＜0，

故存在唯一的x0∈（0，1a-1），使得φ（x0）=0.

故當(dāng)0≤x＜x0時，φ（x）＞φ（x0）=0，則

F′（x）=1-a（x+1）2exx+1＞0.

故F（x）在［0，x0）上單調(diào)遞增.

則當(dāng)0≤x＜x0時，F(xiàn)（x）≥F（0）=0，不符合題意.

綜上分析，可得a≥1.

即實數(shù)a的取值范圍是［1，+∞）.

5" 結(jié)束語

解決此類涉及含參函數(shù)的不等式恒成立的綜合應(yīng)用問題，可以從不同的思維視角切入，或構(gòu)建函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)思維來處理，或同構(gòu)函數(shù)利用函數(shù)性質(zhì)來處理，或合理放縮利用不等式思維來處理等，進(jìn)而合理巧妙轉(zhuǎn)化，得以確定代數(shù)式或參數(shù)的大小關(guān)系、代數(shù)式的最值、參數(shù)的取值范圍等應(yīng)用問題［2］.

在破解數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用問題時，必須合理構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，借助我們的慧眼去識別相關(guān)問題中結(jié)構(gòu)的同型或共性.通過不斷感知、抽象、認(rèn)同、同構(gòu)、建模等過程，合理鏈接熟知事物與相關(guān)數(shù)學(xué)知識的密切聯(lián)系，正確數(shù)學(xué)建模.應(yīng)用共性解題，增強創(chuàng)新意識、同構(gòu)意識與創(chuàng)新應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識交匯，數(shù)學(xué)思維飛躍，形成數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］

侯有岐.絕對值不等式中求參數(shù)范圍問題常見題型分類解析［J］.高中數(shù)理化，2023（05）：1-4.

［2］ 胡定躍.對數(shù)函數(shù)中的參數(shù)問題變式探究［J］.高中數(shù)理化，2023（15）：23-24.

［責(zé)任編輯：李" 璟］