這樣的勻強電場可能存在嗎？

摘" 要：本文通過對2022屆高三T8聯(lián)考第15題的理論分析與數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，在題目中的勻強電場中，兩個粒子的動能關(guān)系和位移關(guān)系不能同時滿足，所以原題中的物理情境是不能實現(xiàn)的.

關(guān)鍵詞：勻強電場；可行性；數(shù)值模擬

中圖分類號：G632""" 文獻標識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）16-0107-03

收稿日期：2024-03-05

作者簡介：韓燦（1993.4—），男，湖北省武漢人，本科，中學一級教師，從事高中物理教學研究；

周家本（1979.11—），男，浙江省青田人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究；

姜付錦（1978.9—），男，湖北省武漢人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.

基金項目：

2021年武漢市教育科學規(guī)劃重點課題“基于新課程標準的高中情境化命題實踐研究”（課題編號：2021A051）.

勻強電場是高中物理一個非常重要的模型，在各種高考題和調(diào)考試題中時常出現(xiàn).在命制這類試題時一定要對其中的物理情境進行深入細致地理論和數(shù)值模擬，否則就可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)不自洽的問題［1-2］.

1" 題目

如圖1所示，在x軸上方有垂直于xOy平面向外的勻強磁場.y軸正半軸上距原點L處的a點有一個離子源，可以向各方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量為q的負離子，所有離子初速度大小均為v0.在這些離子穿過x軸的位置中，b點（未畫出）離O點最遠，已知磁感應(yīng)強度大小為B=2mv0Lq.

（1）求b點的坐標；

（2）x軸下方的c、d、f三個點構(gòu)成一個直角三角形，且c、d在y軸上，cd與cf長度之比為1∶2.在x軸下方加上平行于xOy平面的勻強電場后，從磁場中穿過x軸進入電場的離子中，有一個離子經(jīng)過c、f點的動能分別為Ek和3Ek，另一個離子經(jīng)過d、f點的動能分別為1.5Ek和4.5Ek（Ek為未知），求勻強電場的方向.

解" （1）帶電粒子在磁場中做圓周運動，洛倫茲力提供向心力：Bv0q=mv20r1

由于B=2mv0Lq得：r1=2L2

由幾何關(guān)系可得，ab為圓的直徑時，b距離O點最遠，有：Ob=（2r）2-L2

得Ob=L

由于b在O點的左側(cè)，故b點坐標為（-L，0）.

（2）設(shè)場強沿x、y軸正方向的分量分別為Ex、Ey.

對于先后經(jīng)過c、f點的離子，由動能定理可得：

-qExcf=3Ek-Ek

對于先后經(jīng)過d、f點的離子，由動能定理可得：

-qExcf-qEycd=4.5Ek-1.5Ek

由于cd∶cf=1∶2，可得：Ey∶Ex=1∶1，且Exlt;0，Eylt;0.故電場強度方向與x軸夾角為45°，指向左下方.

可能會有老師問：若滿足了第二問中電場方向的條件，到達c，d兩點粒子的運動方向如何？從磁場中射出的粒子在電場中運動到y(tǒng)軸時偏轉(zhuǎn)角度能滿足這樣的條件嗎？以下是筆者的一點粗淺分析，不一定對，以期拋磚引玉！

2" 筆者的分析

如圖2所示，設(shè)從c點進入電場的粒子的速度大小為v0，與水平方向的夾角為θ，cf=2l ， cd=l，粒子在電場中兩個方向上的分加速度大小相等，設(shè)為ax=ay=a0，從d點進入電場的粒子的速度大小為32v0，與水平方向的夾角為α.設(shè)從c點進入的粒子到達f點時間為t1，則由運動學公式可得

t1=2v0sinθa0 ①

粒子的水平位移為2l=v0t1cosθ+12a0t21②

由粒子的末動能得：

（v0sinθ）2+（v0cosθ+a0t1）2=3v20③

聯(lián)立①③兩式得8sin4θ-8sin2θ=1

④

求解④式得sinθ=2±24⑤

即θ=π8或θ=3π8" ⑥

聯(lián)立①②兩式得

a0=v20l（sin2θ+sinθcosθ）⑦

從d點入射的粒子到達f點時間為t2，則由運動學公式得

水平位移為

2l=32v0t2cosα+12a0t22⑧

豎直位移為l=-32v0t2sinα+12a0t22⑨

由從d點入射的粒子達到f點時動能得

（-32v0sinα+a0t2）2+（32v0cosα+a0t2）2=4.5v20⑩

聯(lián)立⑧⑨兩式得

t2=l32v0（sinα+cosα）B11

聯(lián)立⑦B10B11三式得

4（sin2θ+sinθcosθ）23（sinα+cosα）2+2sin2θ+sinθcosθ2（sinα+cosα）2（cosα-sinα）=3B12

聯(lián)立⑥B12兩式可以發(fā)現(xiàn)，B12式是一個超越方程，沒有解析解.

如圖3所示，設(shè)粒子從粒子源出來速度方向與在x軸上有最遠交點時的速度方向夾角為θ.粒子在磁場中勻速圓周運動半徑為R，粒子射出磁場時與x軸夾角為β，則有幾何關(guān)系得

L=2RB13

Rcos（π4-θ）+Rcosβ=LB14

聯(lián)立B13B14兩式得

cosβ=2-cos （π4-θ）B15

由B15式可知當θ=π4時，β有最大值約為

arccos（2-1）=1.144B16

如圖4所示，設(shè)粒子在電場中運動時間t后與y軸交點為P，速度方向與水平方向的夾角為α，則由運動學公式得：

Rsin（π4-θ）+Rsinβ=v0cosβt+12a0t2B17

聯(lián)立B15B17兩式得

t=-v0［2-cos（π4-θ）］+

（v0［2-cos（π4-θ）］）2+2a0R［（sin（π4-θ）+1-（2-cos（π4-θ））2］/a0B18

則粒子達到y(tǒng)軸時P點時豎直位移為y，則有

y=v0sinβt-12a0t2B19

到達y軸時與水平方向夾角為α，則有

tanα=v0sinβ-a0tv0cosβ+a0tB20

3" 數(shù)值模擬

聯(lián)立⑥B12兩式求得：

當θ=38π時，α≈0.199 7 rad;當θ=18π時，α≈-0.34rad

arccos（2-1）-π4是粒子在磁場運動時間最長時與粒子出磁場到達x軸最遠端時，兩種情況下粒子進入磁場速度方向夾角（即原文分析圖甲中①②軌跡入射方向的夾角）； 可以發(fā)現(xiàn)進入電場的速度方向夾角有最大值，此時速度方向水平向左，進入電場時夾角最大值約為1.144，小于3π8； 粒子若以這個入射角進入電場中，則水平速度增大，豎直向下的分速度會減小，達到y(tǒng)軸時偏轉(zhuǎn)角會減小，達到y(tǒng)軸時速度方向與x軸正方向夾角會小于1.144，故3π8舍去；若取π8，則粒子到達y軸時α=-0.340 79，按照題目中情境豎直方向上位移應(yīng)該大于C點時的豎直位移，若同時滿足c處的速度方向與x軸正方向夾角為π8（右下），d處的速度方向與x軸正方向夾角為α=-0.340 79（右上），且d處豎直位移大于c處豎直位移，則原題第二問理論上可行.

4" 結(jié)束語

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)：若滿足了兩個點速度方向關(guān)系，則豎直位移關(guān)系就不能滿足，故c處速度方向與x軸正方向夾角為π8（右下），d處的速度方向與x軸正方向夾角為α=-0.340 79（右上），且d處豎直位移大于c處豎直位移，這個假設(shè)不能成立，原題第二問情境在理論上不能成立.故在命制此類問題時，一定要進行科學的理論分析，再結(jié)合數(shù)值模擬與計算，從而最大限度減少錯誤情境的出現(xiàn)，這也是寫作本文的最重要價值所在.

參考文獻：［1］ 張黎，何崇榮.場強方向判斷容易出現(xiàn)的一個隱藏性錯誤［J］.物理通報，2021（6）：63-65.

［2］ 廉志斌.一道聯(lián)考題解析結(jié)果物理真實性的討論 ［J］.物理教師，2020（6）：53-54.

［責任編輯：李" 璟］