融合動態(tài)權(quán)重系數(shù)與Levy飛行的黏菌優(yōu)化算法

摘 要：為了克服黏菌算法在后期收斂速度緩慢、容易陷入局部極值的缺點，提出一種融合動態(tài)權(quán)重系數(shù)與Levy飛行的黏菌優(yōu)化算法.首先利用Bernoulli混沌映射對黏菌種群進(jìn)行初始化，可大幅度提高種群多樣性；提出動態(tài)權(quán)重系數(shù)策略，即在位置更新公式中引入一個非線性變化的權(quán)重系數(shù)ω，動態(tài)調(diào)整搜索步長，均衡算法的全局搜索能力；借助Levy飛行策略，增強(qiáng)算法后期局部探索能力，加快收斂速度.文中選用10個通用測試函數(shù)對改進(jìn)黏菌算法與其他五種算法進(jìn)行比較，實驗結(jié)果顯示，改進(jìn)后的黏菌算法在單峰函數(shù)和多峰函數(shù)上的尋優(yōu)效率更高，尋優(yōu)效果理想，全局搜索和局部開發(fā)能力更平衡.

關(guān)鍵詞：黏菌算法； Bernoulli混沌映射； 動態(tài)權(quán)重系數(shù)； Levy飛行策略

中圖分類號：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

An optimized slime mould algorithm combining dynamic weight coefficient and Levy flight

TENG Zhi-jun1，2， FU Yu-shan2， GU Liang-cen2， CUI Yao-yao2， WANG Ji-hong1，2

（1.Key Laboratory of Modern Power System Simulation and Control amp; Renewable Energy Technology， Ministry of Education， Northeast Electric Power University， Jilin 132012， China； 2.School of Electrical Engineering， Northeast Electric Power University， Jilin 132012， China）

Abstract：In order to overcome the shortcomings of the slime algorithm with slow convergence speed，low convergence accuracy，and easy to fall into local extremes at the later stage，a mucilage optimization algorithm incorporating containing dynamic weighting coefficient strategy and Levy flight is proposed.In this paper，Bernoulli chaotic mapping initialization is introduced to enrich the diversity of the population;dynamic weighting coefficients are proposed，and a discretization of weighting coefficient is introduced into the position updating formula to equalize the algorithm′s global searching ability.In the later iterations of the algorithm，the Levy flight strategy is introduced to improve the searching ability of slime mold individuals for localized regions.Ten internationally recognized test functions were chosen to compare the improved slime mould algorithm with the other five algorithms，and from the experimental results，it can be seen that the improved slime mould algorithm is more efficient in finding the optimal value.

Key words：slime mould algorithm； Bernoulli chaotic mapping； dynamic weight coefficient； Levy flight strategies

0 引言

一個優(yōu)化問題涉及到在一個給定的函數(shù)域內(nèi)找到一個元素，從而使得到的函數(shù)值是最大或最小.優(yōu)化問題存在于所有的研究領(lǐng)域，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法是具有固定結(jié)構(gòu)和參數(shù)的確定性算法，且計算復(fù)雜性和收斂性可以從理論上進(jìn)行分析;但局部優(yōu)化的停滯會隨著問題規(guī)模的增加而增加，限制了算法的廣泛應(yīng)用.鑒于傳統(tǒng)優(yōu)化算法的缺點，元啟發(fā)式優(yōu)化算法以其概念簡單、易于實施、超越局部最優(yōu)的能力強(qiáng)等優(yōu)勢，在實際應(yīng)用中越來越受歡迎.當(dāng)前較受歡迎的元啟發(fā)式算法包括遺傳算法［1］、粒子群算法［2］、引力搜索算法［3］、螢火蟲算法［4］、果蠅算法［5］、灰狼算法［6］等.

黏菌算法（Slime Mould Algorithm，SMA）由Li等［7］于2020年受黏菌覓食過程中行為和形態(tài)的變化啟發(fā)而提出，該算法相比其他算法搜索能力更強(qiáng)，已成功應(yīng)用于圖像處理［8］、數(shù)據(jù)挖掘［9］、智能控制［10］、生物醫(yī)學(xué)信號處理［11］等各種科學(xué)領(lǐng)域.但由于基本SMA算法在迭代后期容易陷入局部最優(yōu)導(dǎo)致收斂精度下降，所以對SMA算法進(jìn)行改進(jìn)優(yōu)化也成為研究的主要方向.Chakraborty等［12］根據(jù)二次近似在局部約束問題中表現(xiàn)良好，將二次近似與SMA結(jié)合提出混合黏菌算法，提高了算法局部開發(fā)能力.Zhang等［13］將動態(tài)量子旋轉(zhuǎn)門和反向?qū)W習(xí)策略融入SMA中，提高了算法的收斂速度.Jiang等［14］將差分演化策略集成到SMA中，增強(qiáng)了算法的求解性能，用于優(yōu)化GIS設(shè)備振動信號預(yù)測.Fu等［15］提出了一種非線性遞減策略，通過修改參數(shù)a的計算公式來改善全局搜索時間，其次增加了螺旋搜索策略，擴(kuò)大算法的搜索區(qū)域.賈鶴鳴等［16］提出混合優(yōu)化黏菌算法，該算法仍然采用SMA全局探索部分位置更新公式，但是在某些特定的位置上利用乘除算子代替SMA收縮機(jī)制，大大提高了算法的隨機(jī)性.郭雨鑫等［17］為了防止SMA過早收斂，提出采用精英反向?qū)W習(xí)策略提升種群質(zhì)量，并利用二次插值方法更新黏菌群.Naik等［18］提出自適應(yīng)對立黏菌算法（AOSMA），通過在位置更新中用最佳搜索代理替換隨機(jī)搜索代理，提高算法的搜索效率.上述文獻(xiàn)分別從不同角度對黏菌算法進(jìn)行改進(jìn)，盡管能提升SMA的優(yōu)化能力，但改進(jìn)后的算法依然存在全局搜索能力和局部開發(fā)能力不均衡，導(dǎo)致SMA在迭代后期出現(xiàn)收斂停滯等問題.

為進(jìn)一步提升黏菌算法后期的收斂速度、均衡算法局部和全局的尋優(yōu)能力，本文提出基于多策略改進(jìn)的黏菌優(yōu)化算法（Multi-Strategy Slime Mould Algorithm，MSMA）.該算法通過引入Bernoulli混沌映射對種群進(jìn)行初始化，增加種群多樣性，將多樣性好的種群作為初始種群不但能提高搜索效率，還可以使生成的黏菌種群具有遍歷均勻性;引入動態(tài)權(quán)重系數(shù)［19］和萊維飛行策略［20］（Levy Flight Strategy）更新黏菌位置，平衡全局和局部搜索能力，避免算法陷入停滯狀態(tài)，使得黏菌個體去到更廣的搜索空間.

1 黏菌算法

黏菌算法模擬了黏菌覓食過程中的行為和形態(tài)變化.黏菌在有絲分裂后形成的變形體成熟之后，進(jìn)入營養(yǎng)生長時期，會形成網(wǎng)狀形態(tài)，并且依照食物、水與氧氣等所需養(yǎng)分改變其表面積.在黏菌算法中，黏菌會根據(jù)當(dāng)前位置的客觀條件（即適應(yīng)度值的優(yōu)劣），決定每個個體所在位置的權(quán)重，然后個體會根據(jù)權(quán)重決定新的位置在哪.

當(dāng)黏菌接近食物源時，生物振蕩器會通過靜脈產(chǎn)生傳播波，來增加細(xì)胞質(zhì)流量.食物濃度越高，生物振蕩器產(chǎn)生的傳播波越強(qiáng)，細(xì)胞質(zhì)流動越快.當(dāng)黏菌發(fā)生捕食行為時的位置更新公式為［7］：

Xi（t+1）=rand（UB-LB）+LB， randlt;z

Xbest（t）+vb·（W·XA（t）-XB（t））， """"""rand≥z and rlt;p

vc·Xi（t），" rand≥z and r≥pi

（1）

式（1）中：i=1，2，3，…，N表示黏菌個體，t為當(dāng)前迭代次數(shù)，r和rand為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)，黏菌個體i的位置為Xi（t），Xbest（t）表示當(dāng)前適應(yīng)度最優(yōu)的黏菌個體，XA（t）和XB（t）表示種群中任意兩個黏菌個體的位置;W表示黏菌個體所在位置的權(quán)重;vb和vc為控制參數(shù)，且vb范圍是［-a，a］，vc是從1線性減小到0;UB和LB分別代表黏菌搜索范圍的上下界;z是決定黏菌個體圍繞最佳個體搜索還是轉(zhuǎn)向其他食物源的概率因子，一般取z=0.03.

參數(shù)a，控制參數(shù)pi，權(quán)重系數(shù)W的表達(dá)式如式（2）～（4）所示：

a=arctanh1-tmax_t

（2）

pi=tanh（S（i）-Fb）

（3）

W（smellIndex（i））=1+r·log（1+bF-S（i）bF-wF）， i∈{c}

1-r·log（1+bF-S（i）bF-wF）， other

（4）

SmellIndex=sort（S）

（5）

式（2）中：max_t表示最大迭代次數(shù)，arctanh表示雙曲反正切函數(shù)；式（3）中：pi是用來控制黏菌位置更新方式的條件參數(shù)，S（i）表示第i個黏菌個體的適應(yīng)度，F(xiàn)b則是在所有迭代中黏菌個體的最優(yōu)適應(yīng)度，tanh表示雙曲正切函數(shù)；式（4）中：bF和wF則表示當(dāng)前迭代中最優(yōu)個體適應(yīng)度值和最差個體適應(yīng)度值；式（5）中：SmellIndex為對適應(yīng)度值進(jìn)行排序后的序列，c為適應(yīng)度S（i）排序為前50%的黏菌個體集合.

2 多策略融合改進(jìn)黏菌算法

由于黏菌算法一般采用隨機(jī)方式生成種群初始位置，容易出現(xiàn)種群分布不均的問題，所以引入Bernoulli混沌映射策略，增加種群多樣性提升種群質(zhì)量，提高算法的收斂速度;在此基礎(chǔ)上，引入動態(tài)權(quán)重系數(shù)和levy飛行策略來更新黏菌個體位置，并對算法的搜索和開發(fā)能力進(jìn)行調(diào)整，防止算法陷入早熟并提高收斂速度，達(dá)到全局開發(fā)的效果.

2.1 Bernoulli混沌映射

在執(zhí)行群智能算法時，必須要對種群進(jìn)行初始化，初始分布的優(yōu)劣直接影響算法的收斂質(zhì)量.傳統(tǒng)的黏菌算法采用生成隨機(jī)數(shù)的方式進(jìn)行初始化種群位置，導(dǎo)致黏菌種群位置良莠不齊，不能遍歷環(huán)境中所有位置，尋優(yōu)效果差，收斂速度低.所以本文提出在種群初始化階段引入Bernoulli混沌映射，豐富種群多樣性，Bernoulli混沌映射表達(dá)式為［21］：

zt+1=zt/（1+α）， 0lt;ztlt;1-α

（zt-1+α）/α， 1-αlt;ztlt;1

（6）

式（6）中：zt為產(chǎn)生的第t代混沌序列的當(dāng)前值;α為控制參數(shù)，當(dāng)α∈（0，1）且zt∈［0，1］時，公式（6）處于混沌狀態(tài).實驗表明，當(dāng)α處于0.5附近時混沌序列能夠獲得更好的遍歷性.圖1和圖2分別是當(dāng)α=0.5時的Bernoulli混沌映射分布圖和直方圖.由圖可以看出，Bernoulli混沌映射具有很好的遍歷效果.

2.2 動態(tài)權(quán)重系數(shù)

傳統(tǒng)黏菌算法的位置更新階段，迭代初期就會向全局最優(yōu)解逼近，所以容易陷入局部最優(yōu).為克服這一弊端，通過在位置更新公式中加入動態(tài)權(quán)重系數(shù)ω，讓它在迭代初期具有較大值，促進(jìn)全局搜索，迭代后期自適應(yīng)變小，促進(jìn)局部搜索，也就是說當(dāng)?shù)螖?shù)增大時，ω的變化過程是非線性的.動態(tài)權(quán)重系數(shù)表達(dá)式如下：

ω=e21-tmax_t-e-21-tmax_te21-tmax_t+e-21-tmax_t

（7）

式（7）中：ω范圍是［0，1］.改進(jìn)后的位置更新公式為：

Xi（t+1）=rand·（UB-LB）+LB， randlt;z

Xbest（t）+ω·vb（W·XA（t）-XB（t））， """"""""rand≥z and rlt;pi

vc·Xi（t）， rand≥z and r≥pi

（8）

2.3 萊維飛行策略

Levy飛行是一種隨機(jī)搜索方式，其步長的概率分布為重尾分布.當(dāng)定義在大于一維的空間行走時，行走的步長是各向同行的隨機(jī)方向.Levy飛行仿真如圖3所示，圖中不同顏色代表不同的運動軌跡，可以看出其運動軌跡既有小范圍的游走也有大范圍的位移，Levy步長表達(dá)式：

s=uv1β

（9）

式（9）中：u和v是服從正態(tài)分布的變量，即u～N（0，σ2u），v～N（0，σ2v）.σu、σv定義為：

σu=Γ（1+β）sin（πβ/2）2（β-1）/2Γ［（1+β）/2］β

σv=1

（10）

式（10）中：Γ是標(biāo)準(zhǔn)伽瑪函數(shù)，β取值范圍是［0，2］，這里取值為1.5.

將萊維飛行策略引入MSMA迭代后期的位置更新公式中，從而有效提高算法跳出局部最優(yōu)的能力，改進(jìn)后的位置更新公式為：

Xi（t+1）=vc·Xi（t）·δs

（11）

式（11）中：δ為步長縮放因子，本文取值為1;表示張量積運算.

2.4 MSMA算法偽代碼

本文提出的改進(jìn)策略在增加群多樣性的同時，又平衡了算法局部開發(fā)和全局搜索的能力，提高了算法的收斂精度.改進(jìn)算法偽代碼如下所示：

Algorithm 1：MSMA算法偽代碼

Begin

初始化參數(shù)：種群規(guī)模N;最大迭代次數(shù)max_t;黏菌個體位置Xi（i=1，2，…，N）

1.通過式（6）Bernoulli混沌映射初始化種群X

2.while（t≤max_t）

3." for i=1∶N

4.計算所有黏菌個體適應(yīng)度;更新最佳適應(yīng)度F（Xbest）

5.根據(jù)公式（4）計算權(quán)重W

6.根據(jù)每次迭代條件，更新參數(shù)pi，vb，vc

7.根據(jù)公式（8）、（11）更新黏菌個體位置，選擇最優(yōu)位置

8.end for

9.t=t+1

10.end while

3 仿真實驗及分析

3.1 實驗環(huán)境

本文仿真實驗運行環(huán)境為：64位Windows10操作系統(tǒng)，Intel Core i5-10210U CPU，運行軟件為Matlab R2018b.

3.2 測試函數(shù)

本文選取了10個國際通用基準(zhǔn)測試函數(shù)來驗證MSMA算法的有效性，基準(zhǔn)測試函數(shù)詳細(xì)信息如表1所示，其中單峰基準(zhǔn)測試函數(shù)F1-F5，只存在一個極值，用來測試算法尋優(yōu)開采能力的強(qiáng)弱，多峰基準(zhǔn)測試函數(shù)F6-F10，存在多個極值，用來測試算法的全局收斂能力和避免早熟的能力.通過與其他五種算法進(jìn)行對比來分析本文算法的性能，用于比較的六種算法參數(shù)設(shè)置如表2所示［22］.

3.3 MSMA與AOSMA、SMA算法對比分析

將本文改進(jìn)算法MSMA與文獻(xiàn)［18］改進(jìn)的AOSMA算法和傳統(tǒng)黏菌算法SMA利用基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)對比實驗.所有實驗都在相同條件下進(jìn)行以確保實驗的公平性，設(shè)置種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)max_t=500，對三種算法進(jìn)行30次獨立實驗，獲得最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差和平均值三項指標(biāo).表3為10個基準(zhǔn)函數(shù)對3種算法在30維獨立運行30次的測試結(jié)果.圖4為3種算法在10個測試函數(shù)上的收斂曲線.算法的收斂曲線可以直觀地反映出其收斂穩(wěn)定性以及是否陷入局部最優(yōu)等問題，其中橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值.

根據(jù)表3可知，函數(shù)F1、F3、F7和F9，雖然兩種改進(jìn)算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均達(dá)到了最優(yōu)值0，但從圖4所示的收斂曲線能夠看出，本文改進(jìn)的算法MSMA收斂速度要比AOSMA算法快得多;函數(shù)F6，MSMA算法的標(biāo)準(zhǔn)差是最小的，說明改進(jìn)算法MSMA具有更好的穩(wěn)定性;函數(shù)F8，三種算法的三項指標(biāo)結(jié)果相同，但從收斂曲線能看出，改進(jìn)算法MSMA收斂速度仍然快于其他兩種算法，曲線更平滑，說明改進(jìn)算法的穩(wěn)定性更好;對于其他函數(shù)MSMA算法的尋優(yōu)精度在三項指標(biāo)上均優(yōu)于AOSMA算法和SMA算法，說明改進(jìn)MSMA算法求解速度更快尋優(yōu)精度更高.

3.4 MSMA與DBO、GWO、NGO、WOA算法對比分析

為進(jìn)一步充分驗證MSMA算法的有效性，通過與蜣螂算法（Dung Beetle Optimization，DBO）［23］，灰狼算法（Grey Wolf Optimization，GWO）［24］，北方蒼鷹算法（Northern Goshawk Optimization，NGO）［25］，鯨魚算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）［26］等算法進(jìn)行對比，收斂曲線如圖5所示.五種算法分別在30維和100維空間在每個函數(shù)上獨立運行30次的數(shù)據(jù)如表4所示，其他參數(shù)設(shè)置同3.3節(jié).

從表4所示的數(shù)據(jù)可以看出，本文改進(jìn)算法在10個測試函數(shù)上均表現(xiàn)出較為出色的性能，相比其他4種算法，MSMA算法得到的最優(yōu)值、標(biāo)準(zhǔn)差以及平均值在7個函數(shù)上獲得領(lǐng)先，特別是在F1、F2、F3、F4、F10優(yōu)勢更加明顯，說明MSMA算法收斂精度更高，穩(wěn)定性更好;另外隨著維數(shù)的增大其他四種算法求解精度均出現(xiàn)降低的情況，而MSMA求解精度基本沒有變化，再一次證明改進(jìn)算法MSMA具有優(yōu)越的穩(wěn)定性.

由圖5所示的收斂曲線可以直觀地看出，改進(jìn)MSMA算法的收斂精度都高于DBO、GWO、NGO和WOA，并且收斂速度也快于其他四種算法.迭代過程中MSMA算法在各別函數(shù)上的收斂曲線出現(xiàn)多個拐點，尤其是函數(shù)F5，說明改進(jìn)后的MSMA算法不容易陷入局部最優(yōu)反而跳出局部最優(yōu)的能力增強(qiáng)了，具有較高的自適應(yīng)能力，可以更好地進(jìn)行全局范圍的尋優(yōu)搜索.

4 結(jié)論

本文提出融合多策略改進(jìn)的黏菌算法，通過引入Bernoulli混沌映射初始化黏菌種群，增強(qiáng)種群多樣性，提出動態(tài)權(quán)重系數(shù)和Levy飛行策略更新黏菌位置，協(xié)調(diào)了算法的局部開發(fā)能力與全局搜索能力，有效提升了算法的尋優(yōu)精度.對所選的10個基準(zhǔn)測試函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)能力測試.實驗結(jié)果顯示，所提出的改進(jìn)算法不管是在單峰測試函數(shù)還是多峰測試函數(shù)，其收斂性能和尋優(yōu)精度比SMA、DBO、GWO、WOA、NGO以及AOSMA表現(xiàn)更好.由于當(dāng)前改進(jìn)算法對一些固定維數(shù)多峰函數(shù)的優(yōu)化精度還不高，所以今后還將針對黏菌種群位置更新模式做進(jìn)一步的優(yōu)化與改進(jìn).

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【責(zé)任編輯：蔣亞儒】