具有心理效應(yīng)和媒體影響的隨機(jī)HIV/AIDS傳染病模型

摘" 要：建立了一類滿足Logistic人口增長(zhǎng)方程且同時(shí)具有心理效應(yīng)和媒體影響的隨機(jī)HIV/AIDS傳染病模型，通過(guò)構(gòu)造相應(yīng)的Lyapunov函數(shù)，利用停時(shí)理論、伊藤引理及強(qiáng)大數(shù)定理等對(duì)隨機(jī)HIV/AIDS傳染病模型進(jìn)行了理論分析，進(jìn)而證明了隨機(jī)模型全局正解的存在唯一性，并且通過(guò)對(duì)相應(yīng)Lyapunov函數(shù)的計(jì)算研究，給出了疾病滅絕和持久的充分條件.最后，利用最小二乘法和Euler-Maruyama方法對(duì)隨機(jī)傳染病模型進(jìn)行數(shù)值模擬，進(jìn)一步顯示了隨機(jī)傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為.

關(guān)鍵詞：心理效應(yīng)；隨機(jī)傳染病模型；滅絕性；持久性；伊藤公式

中圖分類號(hào)：O175.1""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1000-2367（2024）06-0063-10

艾滋?。╝cquired immunodeficiency syndrome，AIDS），是由艾滋病病毒即人類免疫缺陷病毒（HIV）引起的一種病死率極高的惡性傳染病.HIV病毒侵入人體，能破壞人體的免疫系統(tǒng)，令感染者逐漸喪失對(duì)各種疾病的抵抗能力，最后導(dǎo)致死亡［1］.HIV病毒進(jìn)入人體的最初階段是“急性期”，而這時(shí)候的患者只能被稱為HIV感染者，而不能被稱為是艾滋病人.當(dāng)病人進(jìn)入典型的艾滋病期，是艾滋病病毒感染的最終階段.此期具有3個(gè)基本特點(diǎn)：嚴(yán)重的細(xì)胞免疫缺陷，發(fā)生各種致命性機(jī)會(huì)性感染，發(fā)生各種惡性腫瘤［2-8］.艾滋病的終期，免疫功能崩潰，病人出現(xiàn)各種嚴(yán)重的綜合病癥，直至死亡.

在當(dāng)今社會(huì)中，媒體的發(fā)展以及人們對(duì)疾病的防控意識(shí)增強(qiáng)對(duì)傳染病的防治產(chǎn)生了較好的效應(yīng)，張鈺倩等［9］研究了一類具有媒體效應(yīng)和追蹤隔離的SIQR時(shí)滯傳染病模型，研究結(jié)果表明：媒體對(duì)傳染病信息的廣泛報(bào)道以及提高報(bào)道信息的準(zhǔn)確率可降低疾病傳播，有利于控制傳染病.同時(shí)，不同于大多數(shù)人口恒定的系統(tǒng)，朱晶［10］提出并研究了一類具有心理效應(yīng)且滿足Logistic人口增長(zhǎng)方程的SIR傳染病模型，研究表明，當(dāng)心理作用系數(shù)較大時(shí)，疾病的傳播會(huì)得到抑制.基于此，提出一類滿足Logistic人口增長(zhǎng)方程且具有心理效應(yīng)和媒體效應(yīng)的HIV/AIDS傳染病模型：

dS1（t）dt=（b-rN（t）K）N（t）-β1S1（t）I（t）1+αN（t）-qS1（t）M（t）-mS1（t）+δS2（t），

dS2（t）dt=qS1（t）M（t）-mS2（t）-δS2（t），

dI（t）dt=β1S1（t）I（t）1+αN（t）-（m+μ）I（t），

dA（t）dt=μI-（m+ρ）A（t），dM（t）dt=ηI（t）-θM（t）.（1）

收稿日期：2023-06-19;修回日期：2023-08-12.

基金項(xiàng)目：陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃（2022JM-023）.

作者簡(jiǎn)介：劉宗萱（1999-），男，河南安陽(yáng)人，長(zhǎng)安大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué)，E-mail：lzx642873464@163.com.

通信作者：張?zhí)祝?980-），男，長(zhǎng)安大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)樯飻?shù)學(xué)，E-mail：tlzhang@chd.edu.cn.

引用本文：劉宗萱，張?zhí)祝烘?具有心理效應(yīng)和媒體影響的隨機(jī)HIV/AIDS傳染病模型［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，52（6）：63-72.（Liu Zongxuan，Zhang Tailei，Liang Yuan.Random HIV/AIDS infectious disease model with psychological and media effects［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（6）：63-72.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.06.19.0008.）

模型（1）中S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t）分別表示t時(shí)刻的無(wú)意識(shí)的易感者、有意識(shí)的易感者、艾滋病前期患者、艾滋病后期患者及媒體的播報(bào)量.b為自然出生率，m為自然死亡率，r=b-d為內(nèi)稟增長(zhǎng)率，K為環(huán)境容納量，α為心理效應(yīng)系數(shù)，β1為傳染率，q為無(wú)意識(shí)的易感者經(jīng)過(guò)媒體播報(bào)變?yōu)橛幸庾R(shí)的易感者的概率（這里認(rèn)為有意識(shí)的易感者不會(huì)被感染，失去防范意識(shí)變?yōu)闊o(wú)意識(shí)的易感者會(huì)被感染（防范意識(shí)的失去率為δ）），μ為艾滋病前期病人轉(zhuǎn)化為后期的概率，ρ為艾滋病后期病人因病死亡的概率，η為媒體播報(bào)的數(shù)量受疾病影響的生成率，θ為疾病意識(shí)衰減率.疾病的基本再生數(shù)為

R0=β1K（1+αK）（m+μ）.

1" 模型建立及預(yù)備定理

在實(shí)際的情況中，利用隨機(jī)傳染病模型能更好地描述出疾病的傳播過(guò)程［11-15］，王定宇等［16］研究了一類基于心理作用的隨機(jī)SIRS傳染病模型，建立了Lyapunov函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行分析，并得出了疾病滅絕和持久的充分條件.何雪晴等［17］研究了一類同時(shí)具有Logistic出生和Markov切換的隨機(jī)SIRS傳染病模型，討論出了該模型的解存在一個(gè)遍歷平穩(wěn)分布的結(jié)果，以及疾病滅絕的充分條件.考慮到隨機(jī)因素對(duì)模型的影響，在確定性模型中加入隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，考慮一類具有心理效應(yīng)和媒體影響的隨機(jī)HIV/AIDS模型：

dS1（t）=［（b-rN（t）K）N（t）-β1S1（t）I（t）1+αN（t）-qS1（t）M（t）-mS1（t）+δS2（t）］dt-

σS1（t）I（t）1+αN（t）dB（t）+σ1S1（t）dB1（t），

dS2（t）=（qS1（t）M（t）-mS2（t）-δS2（t））dt+σ2S2（t）dB2（t），

dI（t）=（β1S1（t）I（t）I+αN（t）-m（d+μ）I（t））dt+σS1（t）I（t）1+αN（t）dB（t）+σ3I（t）dB3（t），

dA（t）=（μI-（m+ρ）A（t））dt+σ4A（t）dB4（t），

dM（t）=（ηI（t）-θM（t））dt，（2）

其中B（t），Bi（t）（i=1，2，3，4）表示獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，σ，σi（i=1，2，3，4）是其強(qiáng)度系數(shù).

引理1［18］（It引理）" 對(duì)于t0，設(shè)x（t）滿足隨機(jī)微分方程dx（t）=f（t）dt+g（t）dB（t）.其中f∈L1（R+;Rn），g∈L2（R+;Rn）.若V∈C2，1（Rn×R+;Rn）則V（x（t），t）滿足dV（x（t），t）=［Vt（x（t），t）+Vx（x（t），t）f（t）+12Vxx（x（t），t）g2（t）］dt+Vx（x（t），t）g（t）dB（t）" a.s.

其中Vt=Vt，Vx=Vx=（Vx1，Vx2，…，Vxd），Vxx=2Vx2=（2Vxixj）d×d.

引理2［18］（強(qiáng)大數(shù)定理）" 令ψ=｛ψt｝t0是實(shí)值連續(xù)局部鞅且ψ（0）=0，那么

lim sup〈ψ，ψ〉tt＜∞" a.s." limt→∞ψtt.

2" 全局正解存在唯一性

研究此隨機(jī)傳染病模型，首先通過(guò)Lyapunov方法來(lái)證明該模型全局正解的存在唯一性.

定理1" 當(dāng)t0時(shí)，對(duì)任意初值（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））∈R5+，模型（2）存在唯一正解（S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t））∈R5+幾乎處處成立，即對(duì)t0，（S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t））依概率1落在R5+中.

證明" 模型（2）的右端滿足局部Lipschitz條件，則對(duì)任意的初值（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））∈R5+，模型存在唯一的局部最大解（S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t））∈R5+，t∈［0，τe）其中τe為爆破時(shí)刻.下證τe=∞ a.s.，由于（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））∈R5+，則存在充分大的正數(shù)c0，因此S1（0），S2（0），I（0），A（0）和M（0）均屬于區(qū)間（1c0，c0）.對(duì)于每個(gè)正整數(shù)cc0，定義停時(shí)τc=｛t∈［0，τe）∶min｛S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t）1c｝或max｛S1（t），S2（t），I（t），A（t），M（t）c｝｝，

顯然τc是遞增的，令τ∞=limc→∞" τc，因此τ∞τe，若τ∞=∞，則τe=∞，且對(duì)任意的t0有（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））∈R5+反之則存在常數(shù)T＞0和ε0∈（0，1）使P｛τ∞T｝＞ε0，故存在正整數(shù)c1c0，使得

P｛τc＞T｝ε0，cc1.

定義函數(shù)V1=（S1-1-ln S1）+（S2-1-ln S2）+（I-1-ln I）+（A-1-ln A）+（M-1-ln M）.由It公式得，dV1=LV1+（1S1-1I）σS1I1+αNdB（t）+σ1S1dB1（t）+σ2S2dB2（t）+σ3IdB3（t）+σ4AdB4（t），其中LV1=（1-1S1）［（b-rNK）N-β1S2I1+αN-β2S1M-mS1+δS2］+（1-1S2）（β2S1M-mS2-δS2）+

（1-1I）rK+β1α+qM+4m+δ+μ+ρ+ηI+θ+σ2K2+σ21+σ22+σ23+σ242.

由隨機(jī)模型得dM（ηK-θM）dt，解得MηθK-1θeθtηθK，那么LV1rK+β1α+qM+4m+δ+μ+ρ+ηI+θ+σ2K2rK+β1α+qηθK+4m+δ+μ+ρ+ηI+θ+σ2K=G，這里G是一個(gè)正常數(shù)，則整理可得：dV1（S1（t），S2（t），I（t），I（t），A（t），M（t））Gdt+（1S1-1I）σS1I1+αNdB（t）+σ1S1dB1（t）+σ2S2dB2（t）+σ3IdB3（t）+σ4AdB4（t）.

對(duì)上式從0到τc∧T積分并取期望得：EV1（S1（τc∧T），S2（τc∧T），I（τc∧T），A（τc∧T），M（τc∧T））EV1（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））+

GE（τc∧T）+E［∫τc∧T0（1S1（u）-1I（u））σS1（u）I（u）1+αN（u）dB（u）+∫τc∧T0σ1S2（u）dB1（u）+

∫τc∧T0σ2S2（u）dB2（u）+∫τc∧T0σ3I（u）dB3（u）+∫τc∧T0σ4A（u）dB4（u）］

V1（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））+GT，

令Ωc=｛τcT｝，cc1，其中P｛Ωc｝ε0，對(duì)于每個(gè)ω0∈Ωc，都有S1（τc∧T）或S2（τc∧T）或I（τc∧T）或A（τc∧T）或M（τc∧T）等于c∨1c，即V1（S1（τc∧T），S2（τc∧T），I（τc∧T），A（τc∧T），M（τc∧T））不小于c-1-ln c或1c-1-ln 1c，即

V1（S1（τc∧T），S2（τc∧T），I（τc∧T），A（τc∧T），M（τc∧T））c-1-ln c∧1c-1+ln c，則V1（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））+ATE［IΩc（ω0）V（S1（τc，ω0），S2（τc，ω0），I（τc，ω0），

A（τc，ω0），M（τc，ω0））］ε0（c-1-ln c）∧（1c-1+ln c），

其中IΩc表示Ωc的示性函數(shù)，令c→∞，則V1（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））+GT=∞，V1（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））+GT＜∞

產(chǎn)生矛盾，故τe=∞，a.s.定理得證.

3" 疾病的滅絕

在對(duì)傳染病模型的研究中，疾病滅絕的條件備受關(guān)注，關(guān)于疾病的滅絕給出以下定理.

定理2" 對(duì)于具有任意的正初值（S1（0），S2（0），I（0），A（0），M（0））∈R5+的隨機(jī)模型（2），若σ2＞max｛β12m，β1α｝或者β1α＞σ2＞α2β1-2α2d時(shí)，疾病滅絕，即limt→∞ I（t）=0，limt→∞ A（t）=0" a.s.

證明" 定義函數(shù)V2=ln Q（t）=ln（I（t）+A（t）），運(yùn)用It公式得：

dV2=（1I+A（β1S1I1+αN-mI-（m+ρ）A）-12（I+A）2σ2S21I2（1+αN）2+σ23I2+σ24A2）dt+

σS1I（I+A）（1+αN）dB（t）+σ3IdB3（t）+σ4AdB4（t）（1I+A（（β1K-m）I-（m+ρ）A）-

12（I+A）2σ2S21I2（1+αN）2）dt+σS1I（I+A）（1+αN）dB（t）+σ3IdB3（t）+σ4AdB4（t），

對(duì)上式兩邊從0到t積分并除以t得：

ln Q（t）-ln Q（0）t1t∫t0（1I（u）+A（u）（（β1K-m）I（u）-（m+ρ）A（u））-12（I（u）+A（u））2×

（σ2S1（u）2I（u）2（1+αN（u））2+σ23I（u）2+σ24A（u）2））du+1t∫t0σS1（u）I（u）（I（u）+A（u））（1+αN（u））dB（u）+

1t∫t0σ3I（u）（I（u）+A（u））dB3（u）+1t∫t0σ4A（u）（I（u）+A（u））dB4（u）.

接下來(lái)分情況討論.

情況1" 當(dāng)R0＜1，β1K＜m時(shí)，β1K-m＜0，-（d+ρ）＜0，因此存在正整數(shù)m1，使得β1K-m＜-m1-（m+ρ）＜-m1，因此

ln Q（t）-ln Q（0）t-m1-12（I（u）+A（u））2（σ2S1（u）2I（u）2（1+αN（u））2+σ23I（u）2+σ24A（u）2））du+

1t∫t0σS1（u）I（u）（I（u）+A（u））（1+αN（u））dB（u）+1t∫t0σ3I（u）（I（u）+A（u））dB3（u）+1t∫t0σ4A（u）（I（u）+A（u））dB4（u）.

其中min｛S1（u）2I（u）2（1+αN（u））2，I（u）2，A（u）2｝2（I（u）+A（u））2m22，m2為正整數(shù).其次令ψ（t）=∫t0σS1（u）I（u）（I（u）+A（u））（1+αN（u））dB（u）+∫t0σ3I（u）（I（u）+A（u））dB3（u）+∫t0σ4A（u）（I（u）+A（u））dB4（u），

由引理2，limt→∞ψ（t）t=0，對(duì)上式取極限得limt→∞ln Q（t）t-m1-m2（σ2+σ23+σ24）2＜0" a.s.從而limt→∞ I（t）=0，limt→∞ A（t）=0" a.s.

情況2" 當(dāng)R0＞1，β1K＞m，m＞β1K-ρ2時(shí)，β1K-m＞0，（d+ρ）＞0，此時(shí)存在正整數(shù)m3，使得0＜β1K-m＜m3，m+ρ＞m3，因此

ln Q（t）-ln Q（0）tm3-m2（σ2+σ23+σ24）2+1t∫t0σS1（u）I（u）（I（u）+A（u））（1+αN（u））dB（u）+

1t∫t0σ3I（u）（I（u）+A（u））dB3（u）+1t∫t0σ4A（u）（I（u）+A（u））dB4（u），

同理limt→∞ψ（t）t=0，當(dāng)σ，σ3和σ4之一足夠大時(shí)，存在m3-m2（σ2+σ23+σ24）2＜0，對(duì)上式取極限limt→∞ln Q（t）tm3-m2（σ2+σ23+σ24）2＜0" a.s.從而limt→∞ I（t）=0，limt→∞ A（t）=0" a.s.

注1" 由定理2可知，當(dāng)R0＞1，對(duì)應(yīng)確定性模型中疾病持續(xù)存在，而在隨機(jī)模型中，只要白噪聲的強(qiáng)度足夠大，疾病也會(huì)走向滅絕.

4" 疾病的持久性

在此節(jié)中，定義〈f（t）〉=1t∫t0f（u）du，假設(shè)模型（2）中人口出生死亡率相同，即b=m人口總數(shù)恒定為N，媒體播報(bào)量M為小于ηθK定常數(shù)，則模型（2）變?yōu)閐S1（t）=［λN-β1S1（t）I（t）1+αN-qS1（t）M（t）-mS1（t）+δS2（t）］dt-σS1（t）I（t）1+αNdB（t）+σ1S1（t）dB1（t），

dS2（t）=（qS1（t）M（t）-mS2（t）-δS2（t））dt+σ2S2（t）dB2（t），

dI（t）=（β1S1（t）I（t）1+αN-（m+μ）I（t））dt+σS1（t）I（t）1+αNdB（t）+σ3I（t）dB3（t），

dA（t）=（μI（t）-（m+ρ）A（t））dt+σ4A（t）dB4（t）.（3）

計(jì)算模型（3）得確定性系統(tǒng)的基本再生數(shù)得R0=β1λN（m+μ）（1+αN）（m+qM）.同時(shí)定義模型（3）的閾值R*s0=β1λN（m+μ）（1+αN）（m+qM）-σ2N2+σ23（1+αN）22（m+μ）（1+αN）2.關(guān)于模型（3），有如下定理.

定理3" 設(shè)（S1（t），S2（t），I（t），A（t）），是模型（3）關(guān)于初值（S1（0），S2（0），I（0），A（0））的解，若R*s0＜1，且e11m+qM（e1在下文給出），那么模型（3）的疾病將持久存在，且滿足limt→∞ inf〈I（t）〉（αN+1）β1e1（R*s0-1），limt→∞ inf〈A（t）〉=μm+ρlimt→∞ inf〈I（t）〉.

證明" 令Φ（t）=S1（t）-S1（0）t+S2（t）-S2（0）t+I（t）-I（0）t+A（t）-A（0）t，對(duì)模型（3）兩端從0到t積分并代入Φ（t）得Φ（t）=λN-m〈S1（t）〉-m〈S2（t）〉-m〈I（t）〉-（m+ρ）〈A（t）〉.

單獨(dú)對(duì)模型（3）中第2個(gè)式子和第4個(gè)式子兩邊從0到t積分得：

S2（t）-S2（0）t=q〈S1（t）〉M-m〈S2（t）〉-δ〈S2（t）〉，〈S2（t）〉=q〈S1（t）〉M-S2（t）-S2（0）tm+δ，

A（t）-A（0）t=μ〈I（t）〉-（m+ρ）〈A（t）〉，〈A（t）〉=μ〈I（t）〉-A（t）-A（0）tm+ρ.

代入Φ（t）中并令e1=m+δm2+mδ-mqM得：

Φ（t）=λN-m〈S1（t）〉-mq〈S1（t）〉M-S2（t）-S2（0）tm+δ-m〈I（t）〉-μ〈I（t）〉+A（t）-A（0）t，

〈S1（t）〉=e1［λN-dS2（t）-S2（0）tm+δ-m〈I（t）〉-μ〈I（t）〉+A（t）-A（0）t-Φ（t）］.

利用It公式計(jì)算

dln（I）=（1I（β1S11+αN-（d+μ）I）-12σ1S21（1+αN）2+σ23）dt+σS11+αNdB（t）=

（β1S11+αN-（m+μ）-12σ2S21（1+αN）2）dt+σS11+αNdB（t）+σ3IdB3（t）.

對(duì)上式兩邊從0到t積分并除以t得：

ln I（t）-ln I（0）t=｛β1e1I1+αN［λN-mS2（t）-S2（0）tm+δ-m〈I（t）〉-μ〈I（t）〉+A（t）-A（0）t-

Φ（t）］-m-μ-σ2N22（1+αN）2-σ232｝+1t∫t0σS1（u）1+αNdB（u）+1t∫t0σ3dB3（u）.

那么〈I（t）〉（λN+m（S2（t）-S2（0））t（m+δ）+A（t）-A（0）t-Φ（t））1m+μ-1+αNβ1e1-σ2N22β1e1（m+μ）（1+αN）-

σ23（1+αN）2β1e1（m+μ）（ln I（t）-ln I（0）t-1t∫t0σS1（u）1+αNdB（u）-1t∫t0σ3dB3（u））1+αNβ1e1（m+μ），

又由S2（t），I（t），A（t）N及強(qiáng)大數(shù)定理可知

limt→∞（1t∫t0σS1（u）1+αNdB（u）+1t∫t0σ3dB3（u））=0，

limt→∞S2（t）-S2（0）t=0，limt→∞ln I（t）-ln I（0）t=0，limt→∞A（t）-A（0）t，limt→∞Φ（t）t=0.

當(dāng)e11d+qM時(shí)，對(duì)上式下確界取極限得：

limt→∞ inf〈I（t）〉1+αNβ1e1（λβ1N（1+αN）（m+μ）（m+qM）-σ2N2+σ23（1+αN）22（m+μ）（1+αN）2-1）=1+αNβ1e1（R*s0-1），

當(dāng)R*s0＞1可得：limt→∞ inf〈I（t）〉1+αNβ1e1（R*s0-1）＞0.

接下來(lái)對(duì)模型（3）第4個(gè)式子兩邊從0到t積分得：A（t）-A（0）t=μ〈I〉-（m+ρ）〈A（t）〉+σ4t∫t0A（u）dB4（u），

〈A（t）〉=μ〈I（t）〉m+ρ-A（t）-A（0）t（m+ρ）+σ4t（m+ρ）∫t0A（u）dB4（u）.

對(duì)〈A（t）〉=μ〈I（t）〉m+ρ-A（t）-A（0）t（m+ρ）+σ4t（m+ρ）∫t0A（u）dB4（u）求下確界取極限得：limt→∞ inf〈A（t）〉=μm+ρlimt→∞ inf〈I（t）〉，

當(dāng)R*s0＞1可得：limt→∞ inf〈A（t）〉=μm+ρlimt→∞ inf〈I（t）〉＞0.綜上所述，當(dāng)R*s0＞1時(shí)limt→∞ inf〈I（t）〉＞0，limt→∞ inf〈A（t）〉＞0，疾病將會(huì)持久.

注2" 定理3表明，當(dāng)R*s0＞1時(shí)，疾病將會(huì)持久.且通過(guò)

R*s0=β1λN（m+μ）（1+αN）（m+qM）-σ2N2+σ23（1+αN）22（m+μ）（1+αN）2＜β1λN（m+μ）（1+αN）（m+qM）=R0

得知，相比于確定性模型，隨機(jī)模型中疾病持久的條件更為復(fù)雜，即使R0＞1，但只要隨機(jī)模型中白噪聲強(qiáng)度或心理效應(yīng)系數(shù)足夠大，使得R*s0＞1，疾病就難以持久.

5" 數(shù)值模擬

為了對(duì)前面得出的結(jié)論進(jìn)一步解釋說(shuō)明，接下來(lái)進(jìn)行數(shù)值模擬.利用最小二乘法對(duì)確定性模型與隨機(jī)模型的解曲線進(jìn)行模擬，比較二者解的漸近行為之間的差異，取初值（I（0），A（0））=（1，1）.

（1）分別取參數(shù)b=0.9，β1=0.11，q=0.2，K=100，α=0.72，δ=0.5，μ=0.065，ρ=0.25，η=0.045，θ=0.2，σ=0.06，m=0.15，σ1=0.05，σ2=0.06，σ3=0.05，σ4=0.4此時(shí)R0＜1，如圖1（a，b）所示，其他參數(shù)不變，取σ=0.1，σ1=0.08，σ2=0.08，σ3=0.08，σ4=0.8.如圖1（c，d）所示.從圖1可看到，隨機(jī)模型圍繞確定性模型不斷震蕩，且震蕩幅度與σ，σi（i=1，2，3，4）相關(guān).

（2）分別取參數(shù)b=0.8，β1=0.05，q=0.25，K=100，α=0.07，δ=0.2，μ=0.1，ρ=0.5，η=0.01，θ=0.06，m=0.08，σ=0.013，σ1=0.05，σ2=0.05，σ3=0.05，σ4=0.05此時(shí)R0＞1，如圖2（a，b）所示，其他參數(shù)不變，取σ=0.03，σ1=0.06，σ2=0.06，σ3=0.06，σ4=0.06.如圖2（c，d）所示，隨機(jī)模型圍繞確定性模型不斷震蕩，且震蕩幅度與σ，σi（i=1，2，3，4）相關(guān).

接下來(lái)利用Euler-Maruyama方法對(duì)隨機(jī)模型進(jìn)行數(shù)值模擬.

（1）分別取參數(shù)b=10，β1=2.9，q=0.03，K=100，α=0.1，δ=0.01，μ=0.8，ρ=0.3，η=0.55，θ=0.4，m=0.8，σ=0.3，σ1=0.3，σ2=0.3，σ3=0.3，σ4=0.3此時(shí)R0＞1，如圖3（a）所示；保持其他參數(shù)不變，取α=1.5，如圖3（b）所示.

（2）分別取參數(shù)b=10，β1=0.5，q=0.03，K=100，α=0.1，δ=0.01，μ=0.8，ρ=0.3，η=0.55，θ=0.4，m=0.8，σ=1，σ1=0.3，σ2=0.3，σ3=1，σ4=2，如圖4所示，此時(shí)R0＞1滿足定理2的條件得到圖4，從圖4中可以看出隨機(jī)模型中的艾滋病已經(jīng)滅絕，由此可知，當(dāng)隨機(jī)干擾強(qiáng)度足夠大時(shí)，可以導(dǎo)致I（t），A（t）滅絕.

注3" 圖1、圖2體現(xiàn)了隨機(jī)模型的解曲線在無(wú)病平衡點(diǎn)附近和地方病平衡點(diǎn)附近擾動(dòng)，且擾動(dòng)發(fā)強(qiáng)度與白噪聲的強(qiáng)度有關(guān)，白噪聲強(qiáng)度越大，模型擾動(dòng)越強(qiáng)；圖3體現(xiàn)了心理效應(yīng)系數(shù)對(duì)隨機(jī)模型的影響，心理效應(yīng)系數(shù)越大，疾病的傳播越困難；圖4體現(xiàn)了即使是R0＞1時(shí)，只要白噪聲擾動(dòng)強(qiáng)度足夠大時(shí)，疾病也會(huì)滅絕.

6" 結(jié)" 論

考慮到心理效應(yīng)、媒體影響及隨機(jī)擾動(dòng)，本文建立并研究了一類具有心理效應(yīng)和媒體影響的隨機(jī)HIV/AIDS傳染病模型，利用Lyapunov方法證明了模型全局正解的存在唯一性，并對(duì)疾病滅絕和持久的條件進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0＞1時(shí)，可以通過(guò)增加白噪聲強(qiáng)度或者增大心理效應(yīng)系數(shù)改變隨機(jī)模型的閾值，使Rs0＜1從而達(dá)到讓疾病難以持續(xù)傳播的目的.最后，利用最小二乘法進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)隨機(jī)模型的解會(huì)在確定性模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)附近震蕩；利用Euler-Maruyama方法進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證了強(qiáng)白噪聲和較高的心理效應(yīng)系數(shù)會(huì)使疾病難以持久這一結(jié)論.針對(duì)艾滋病，我國(guó)一直都是堅(jiān)持預(yù)防為主、防治結(jié)合的方針.對(duì)于此類無(wú)疫苗、無(wú)有效治愈藥物的傳染病，預(yù)防工作至關(guān)重要.因此，利用媒體報(bào)道等途徑大力宣傳艾滋病的相關(guān)知識(shí)，提高公眾的認(rèn)識(shí)和防范心理，是保護(hù)廣大群眾免受感染的重要手段.

本文中的HIV/AIDS模型，考慮到了環(huán)境會(huì)對(duì)疾病的傳播產(chǎn)生影響，因此加入了隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，研究了更接近實(shí)際情況的隨機(jī)傳染病模型，對(duì)于此模型來(lái)說(shuō)，除了考慮單獨(dú)對(duì)β1的擾動(dòng)，也可以考慮對(duì)其他參數(shù)的擾動(dòng)，比如對(duì)死亡率甚至對(duì)所有參數(shù)的擾動(dòng)，建立新的模型進(jìn)行研究，使得模型更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.最后，白噪聲對(duì)模型產(chǎn)生影響的同時(shí)，彩色噪聲對(duì)模型的擾動(dòng)也可以在模型的研究當(dāng)中，考慮更為復(fù)雜的帶Markov鏈的隨機(jī)模型等，將在今后繼續(xù)開展研究.

參" 考" 文" 獻(xiàn)

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Random HIV/AIDS infectious disease model with psychological and media effects

Liu Zongxuan， Zhang Tailei， Liang Yuan

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： A random HIV/AIDS epidemic model satisfying the Logistic population growth equation with both psychological effects and media influences was established. By constructing the corresponding Lyapunov function， the existence and exclusivity of the global positive solution of the model are proved by theoretical analysis using It's lemma lemma and strong number theorem， and sufficient conditions for the extinction and persistence of the disease are given. Finally， the least square method and Euler-Maruyama method are used to verify the theoretical results.

Keywords： psychological effect; stochastic infectious disease model; extinction; persistence; It's formula

［責(zé)任編校" 陳留院" 趙曉華］