具有違約顧客和部分故障的流排隊(duì)均衡策略研究

摘" 要：為了研究顧客違約對系統(tǒng)的影響，考慮了具有違約顧客和部分故障的流體排隊(duì)模型，首先根據(jù)“報(bào)酬成本”函數(shù)，分析了流體的均衡閾值策略；接著應(yīng)用更新報(bào)酬定理得到了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布，進(jìn)而推導(dǎo)出均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益；最后通過數(shù)值例子分析了一些參數(shù)對系統(tǒng)指標(biāo)的影響.研究發(fā)現(xiàn)，顧客違約對于均衡社會(huì)收益有一定的影響.特別地，當(dāng)系統(tǒng)高負(fù)荷運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，即流體到達(dá)率大于正常工作期的服務(wù)速率時(shí)，允許違約情形下的社會(huì)收益要優(yōu)于不允許違約情形下的社會(huì)收益.

關(guān)鍵詞：流排隊(duì)；均衡策略；違約；社會(huì)收益

中圖分類號：O226""""" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1000-2367（2024）06-0055-08

隨著時(shí)代的發(fā)展和高新科技的出現(xiàn)，顧客的到達(dá)間隔和服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間都相對越來越小，離散系統(tǒng)的各種特征越來越接近于相應(yīng)的連續(xù)系統(tǒng)，即所謂的“流極限”，流排隊(duì)模型則對于傳輸速度和緩沖器大小的變化并不敏感.文獻(xiàn)［1］研究了一類M/M/1驅(qū)動(dòng)流排隊(duì)模型，他們在有限環(huán)境中延伸了譜方法.文獻(xiàn)［2］假設(shè)一個(gè)邊界條件，用連分式求出緩沖器庫存量分布的精確解.文獻(xiàn)［3］在假設(shè)流體凈輸入率由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)外部環(huán)境控制的條件下，研究了二次可選服務(wù)的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)的流模型.文獻(xiàn)［4］研究了具有工作假期和指數(shù)報(bào)酬成本結(jié)構(gòu)的流體模型并推導(dǎo)出此模型的均衡策略.文獻(xiàn)［5］考慮了M/M/1/N隊(duì)列驅(qū)動(dòng)的流體模型，利用矩陣分析方法對服務(wù)器利用率和平均緩沖器內(nèi)容進(jìn)行了分析.

對排隊(duì)系統(tǒng)中顧客策略行為的研究是排隊(duì)理論的一個(gè)新興領(lǐng)域.文獻(xiàn)［6］研究了具有一般分布的服務(wù)和假期時(shí)間的馬爾可夫模型， 根據(jù)顧客在到達(dá)時(shí)是否被告知系統(tǒng)中的顧客數(shù)量和服務(wù)器的狀態(tài)，描述了4個(gè)信息水平的顧客均衡策略.文獻(xiàn)［7］研究了具有服務(wù)器故障的M/M/1隊(duì)列中完全可見情形和幾乎可見情形下顧客的策略行為.文獻(xiàn)［8］研究了具有N策略的M/M/1隊(duì)列中顧客的策略加入或止步行為，文獻(xiàn)［9］針對兩類平行顧客進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)服務(wù)的問題，給出在完全故障且可中斷啟動(dòng)時(shí)間排隊(duì)模型中兩類顧客的均衡策略分析.雖然已有大量的文獻(xiàn)對于顧客的策略行為進(jìn)行研究，但這些文章有一個(gè)共同的假設(shè)：顧客一旦選擇加入隊(duì)列后不被允許違約.在允許違約的情形下，標(biāo)記顧客到達(dá)的瞬間，系統(tǒng)內(nèi)的顧客可能在任何時(shí)候做出違約的決定，從而改變標(biāo)記顧客的狀態(tài).在現(xiàn)實(shí)的排隊(duì)中，違約是經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，特別是在服務(wù)器發(fā)生故障，顧客接受服務(wù)時(shí)間發(fā)生延遲等情況下，顧客選擇違約似乎不可避免.文獻(xiàn)［10］研究了在允許違約的情形下，有休假/故障的M/M/1 模型的均衡策略，得出在系統(tǒng)不穩(wěn)定的情況下，顧客違約的影響尤其顯著.

完全可靠的服務(wù)系統(tǒng)并不存在， 文獻(xiàn)［11］假設(shè)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間和維修時(shí)間服從任意分布，得到了5種不同故障特性排隊(duì)模型下的隊(duì)列長度和對應(yīng)的相關(guān)系統(tǒng)指標(biāo).隨后，文獻(xiàn)［12］分別研究了具有普通故障、部分故障和完全故障隊(duì)列的特征.文獻(xiàn)［13］引入了工作故障的概念，假設(shè)當(dāng)服務(wù)器出現(xiàn)故障時(shí)，不會(huì)完全

收稿日期：2023-03-31;修回日期：2023-04-28.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（11901307）.

作者簡介（通信作者）：葉晴晴（1989-），男，江蘇徐州人，南京信息工程大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)榕抨?duì)博弈論，E-mail：yeqingzero@gmail.com.

引用本文：葉晴晴，李紫曄.具有違約顧客和部分故障的流排隊(duì)均衡策略研究［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，52（6）：55-62.（Ye Qingqing，Li Ziye.Equilibrium strategies of fluid queue with customer reneging and partial-breakdown［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（6）：55-62.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.03.31.0002.）

停止服務(wù)，而是以較慢的速度繼續(xù)進(jìn)行服務(wù).文獻(xiàn)［14］研究了帶有工作故障的M/M/1重試排隊(duì)系統(tǒng)，基于廣義特征值法，獲得任意顧客的平均逗留時(shí)間.

本文的部分故障有許多實(shí)際應(yīng)用背景，文獻(xiàn)［13］提出計(jì)算機(jī)中存在病毒可能會(huì)降低系統(tǒng)的性能，但計(jì)算機(jī)仍能以較低的速率處理各種任務(wù).與文獻(xiàn)［15］中已有的研究工作相比，本文允許顧客隨時(shí)違約，這更符合現(xiàn)實(shí)顧客的排隊(duì).基于以上分析，本文研究了一個(gè)帶有違約顧客和部分故障的流排隊(duì)系統(tǒng)并給出了模型的均衡策略.計(jì)算了流體遵循均衡策略時(shí)允許違約情形下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布，探討了一些參數(shù)對系統(tǒng)閾值的影響，在相同參數(shù)下比較了兩種情形的均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益.

1" 模型描述

考慮一個(gè)具有部分故障的流排隊(duì)，流體的流入速率為λ，假設(shè)緩沖器不可靠，其故障發(fā)生的時(shí)間服從參數(shù)為q1的指數(shù)分布.一旦緩沖器發(fā)生故障立即將其送去維修，維修時(shí)間服從參數(shù)為q0的指數(shù)分布.維修后緩沖器立即投入正常工作.假設(shè)正常工作期內(nèi)緩沖器的服務(wù)速率為μ1，緩沖器發(fā)生故障后服務(wù)速率降為μ0，其中μ0＜μ1.稱以速率μ0服務(wù)的狀態(tài)為部分故障期.此模型可以用二維馬氏過程｛X（t），Z（t），t0｝描述，其中，X（t）表示t時(shí)刻緩沖器的流體水平，Z（t）表示t時(shí)刻緩沖器狀態(tài)，Z（t）=0表示緩沖器處于部分故障期，Z（t）=1表示緩沖器處于正常工作期.假設(shè)緩沖器是無限的且遵循先到先服務(wù)原則，則流模型的凈流入速率為：dX（t）dt=λ-μi，X（t）＞0，Z（t）=i，（λ-μi）+，X（t）=0，Z（t）=i，（1）

其中，（x）+=max（x，0）.

流體服務(wù)完成后獲得的報(bào)酬是R，每單位時(shí)間的等待成本是C.流體是否流入緩沖器并排隊(duì)直到完成服務(wù)取決于獲得的期望收益的正負(fù).假設(shè)流體在緩沖器內(nèi)隨時(shí)可以違約，即離開隊(duì)列.根據(jù)模型的假設(shè)，當(dāng)緩沖器狀態(tài)沒有發(fā)生改變時(shí)，在新流體到達(dá)的瞬間緩沖器中標(biāo)記流體的期望收益不變，因此，標(biāo)記流體沒有理由在新流體到達(dá)時(shí)違約.當(dāng)緩沖器狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，若緩沖器從部分故障期轉(zhuǎn)向正常工作期，服務(wù)速率變大，標(biāo)記流體的等待時(shí)間變短，所以標(biāo)記流體沒有理由選擇違約，若緩沖器從正常工作期轉(zhuǎn)向部分故障期，服務(wù)速率變小，標(biāo)記流體的等待時(shí)間變長，標(biāo)記流體有可能選擇違約.另外，標(biāo)記流體沒有理由在服務(wù)完成時(shí)選擇違約.綜上分析，標(biāo)記流體只可能在緩沖器從正常工作期轉(zhuǎn)向部分故障期選擇違約.

2" 完全可見情形下的均衡策略分析

本節(jié)分析完全可見情形下流體的均衡策略.假設(shè)所有的流體都遵循閾值策略Xe=（xR0，xR1），其中xR0＜xR1，即當(dāng)流體到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)緩沖器狀態(tài)為（X（t），Z（t）），若X（t）＜Xe，新到達(dá)的流體加入緩沖器，緩沖器中的流體繼續(xù)排隊(duì)等待接受服務(wù).若X（t）＞Xe，新到達(dá)的流體止步，緩沖器位置大于xR0的流體選擇違約，其余流體繼續(xù)排隊(duì)等待接受服務(wù)，若X（t）=Xe，新到達(dá)的流體可以選擇止步或加入，其余流體繼續(xù)排隊(duì)等待接受服務(wù).定義UR（x，i）表示當(dāng)流體到達(dá)時(shí)觀察到緩沖器的服務(wù)狀態(tài)為i，流體水平為x并選擇加入緩沖器的期望收益.以下定理給出了期望收益UR（x，i）的具體表達(dá)式.

定理1" 在完全可見情形下，當(dāng)所有的流體都遵循閾值策略（xR0，xR1），其中xR0＜xR1，到達(dá)的流體觀察到系統(tǒng)狀態(tài)為（x，i）并選擇加入緩沖器的期望收益UR（x，i）為：

UR（x，i）=R-C［q0+q1q0μ1+q1μ0x+qiμi′（μi′-μi）（q0μ1+q1μ0）2（1-e-（q0μ0+q1μ1）x）］，i=0，1，xxR0.（2）

UR（x，1）=Re-q1x-xR0μ1-C（a1+a2），x＞xR0.（3）

其中，i′=1-i，i=0，1，（4）

a1=1q1（1-e-q1xμ1）+q0+q1q0μ1+q1μ0xR0e-q1x-xR0μ1-μ1q1q0+q1q0μ1+q1μ0（e-q1x-xR0μ1-e-q1xμ1），（5）

a2=q0μ1（μ1-μ0）（q0μ1+q1μ0）2（e-q1x-xR0μ1-e-q1xμ1）-q1μ0（μ1-μ0）（q0μ1+q1μ0）2（e-q1μ1x-e-q1μ1x-q0μ0x0）.（6）

證明" 在閾值策略（xR0，xR1）下，流體的期望收益為：UR（x，i）=RPR（x，i）-CE［SR（x，i）］，（7）

其中，PR（x，i）是流體被服務(wù)的概率，E［SR（x，i）］是流體在緩沖器中的平均逗留時(shí)間.

情形1" 當(dāng)xxR0時(shí)，因?yàn)闃?biāo)記流體不會(huì)選擇違約，所以PR（x，i）=1.由文獻(xiàn)［15］中引理3.1，有：

E［SR（x，i）］=q0+q1q0μ1+q1μ0x+qiμi′（μi′-μi）（q0μ1+q1μ0）2（1-e-（q0μ0+q1μ1）x），xxR0，（8）

由此得到式（2）.

情形2" 當(dāng)x＞xR0時(shí)，此時(shí)緩沖器一定處于正常工作期.如果在緩沖器由正常工作期變?yōu)椴糠止收掀跁r(shí)，標(biāo)記流體位置小于xR0，那么標(biāo)記流體在被服務(wù)之前不會(huì)選擇違約，也就是在正常工作期結(jié)束時(shí)，緩沖器至少要服務(wù)完x-xR0個(gè)流體.定義U1表示正常工作期的剩余時(shí)間，其服從參數(shù)為q1的指數(shù)分布，F(xiàn)U1（t）是U1的分布函數(shù)，由于指數(shù)分布的無記憶性，得到：

PR（x，1）=P（U1x-xR0μ1）=e-q1x-xR0μ1，x＞xR0.（9）

標(biāo)記流體的平均逗留時(shí)間如下：E［SR（x，1）］=∫∞0E［SR（x，1）|U1=t］dFU1（t），（10）

其中，E［SR（x，1）|U1=t］=t，0t＜x-xR0μ1，t+E［SR（x-μ1t，0）］，x-xR0μ1t＜xμ1，xμ1，txμ1.（11）

這里上分支表示正常工作期結(jié)束時(shí)，標(biāo)記流體的位置仍高于xR0，因此標(biāo)記流體在正常工作期結(jié)束的瞬間選擇違約，標(biāo)記流體的平均逗留時(shí)間為正常工作期的剩余時(shí)間t.中間分支表示正常工作期結(jié)束時(shí)，標(biāo)記流體的位置低于xR0，此時(shí)，緩沖器狀態(tài)變?yōu)椴糠止收掀谇覙?biāo)記流體前的流體水平為x-μ1t.下分支表示標(biāo)記流體服務(wù)完成時(shí)，正常工作期才結(jié)束，流體的平均逗留時(shí)間為緩沖器服務(wù)完成x個(gè)流體的時(shí)間x/μ1.因此，

E［SR（x，1）］=∫x-xR0μ10tq1e-q1tdt+∫xμ1x-xR0μ1｛t+E［SR（x-μ1t，0）］｝q1e-q1tdt+∫∞xμ1xμ1q1e-q1tdt，（12）

經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算得到：E［SR（x，1）］=a1+a2，x＞xR0.（13）

其中a1和a2由式（5）和（6）給出.由式（9）和（13）得到式（3）.可以證明UR（x，i）（i=0，1）是關(guān)于x的單調(diào)遞減函數(shù).

接下來給出了允許違約情形下的均衡閾值策略.

定理2" 在完全可見情形下，均衡策略由一對閾值（xR0，xR1）給出，其中xR0是方程（14）唯一的解，xR1是方程（15）唯一的解.

RC=q0+q1q0μ1+q1μ0x+q0μ1（μ1-μ0）（q0μ1+q1μ0）2（1-e-（q0μ0+q1μ1）x），（14）

Re-q1x-xR0μ1=C（a1+a2）.（15）

證明" 如果閾值策略（xR0，xR1）是針對自身的最佳對策，那么它就是均衡閾值策略.UR（x，i）是關(guān)于x的單調(diào)遞減函數(shù)，有：UR（x，0）＞0，0x＜xR0，（16）

UR（xR0，0）=0，（17）

UR（x，1）＞0，0x＜xR1，（18）

UR（xR1，1）=0.（19）

由方程（17）和（19）可以得到方程（14）和（15）.

接著計(jì)算當(dāng)流體遵循均衡閾值策略（xR0，xR1）時(shí)，過程｛X（t），Z（t）｝的穩(wěn)態(tài)分布.過程｛X（t），Z（t）｝的穩(wěn)態(tài)分布定義為：

Fi（x）=limt→∞ Pr｛X（t）x，Z（t）=i｝，x0，i∈｛0，1｝.（20）

定理3" 在完全可見情形下，當(dāng)流體遵循均衡閾值策略（xR0，xR1）時(shí)，穩(wěn)態(tài)分布Fi（x）（i=0，1）為：

情形1" 當(dāng)λ＞μ1時(shí)，流體水平在［xR0，xR1］范圍內(nèi)震蕩.穩(wěn)態(tài)分布如下：

F0（x）=0，0x＜xR0，q1q1+q0，xxR0.（21）

F1（x）=0，0x＜xR0，q0q1+q0（1-e-q1（x-xR0）λ-μ1），xR0x＜xR1，q0q1+q0，xxR1.（22）

平均流體水平為：E［X］=xR0+q0（λ-μ1）q1（q1+q0）·（1-e-q1（xR1-xR0）λ-μ1）.（23）

情形2" 當(dāng)λ=μ1時(shí)，流體水平最終穩(wěn)定在xR0.

情形3" 當(dāng)μ0＜λ＜μ1時(shí)，流體水平在［0，xR0］范圍內(nèi)震蕩.穩(wěn)態(tài)分布如下：

F0（x）=q1q1+q0·q0（λ-μ1）（1-e-x（q1（xR1-xR0）λ-μ1））q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0），0x＜xR0，q1q1+q0，xxR0.（24）

F1（x）=q0q1+q0·q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-x（q1λ-μ1+q0λ-μ0）q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0），0x＜xR0，q0q1+q0，xxR0.（25）

平均流體水平為：E［X］=q1（q0+q1）（λ-μ0）xR0e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0）（q0+q1）［q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0）］+

q0q1（μ1-μ0）（1-e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0））（q0+q1）（q1μ1-λ+q0μ0-λ）［q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0）］.（26）

情形4" 當(dāng)λμ0時(shí)，流體水平穩(wěn)定在0.

證明" 分不同的情形考慮定理3.

情形1" 當(dāng)λ＞μ1時(shí)，如果初始流體水平x＜xR0，則流體水平將會(huì)以速率λ-μ1（緩沖器處于正常工作期）或速率λ-μ0（緩沖器處于部分故障期）增長直到xR0，此時(shí)，流體水平會(huì)保持在xR0（緩沖器處于部分故障期）或繼續(xù)以速率λ-μ1（緩沖器處于正常工作期）增長直到xR1，下一次發(fā)生故障時(shí)位置多于xR0的流體選擇違約，流體水平降為xR0.

如果初始流體水平xxR0，下一次故障發(fā)生時(shí)位置多于xR0的流體選擇違約，流體水平降為xR0，如此循環(huán)往復(fù)，所以流體水平在［xR0，xR1］范圍內(nèi)震蕩.圖1描述了流體水平在這種情形下的震蕩情況.

接下來計(jì)算F0（x），xxR0，即緩沖器處于部分故障期且流體水平不超過x的概率，也就是部分故障期所占時(shí)間比，由此得到式（21）.類似地，由于在每個(gè)正常工作期的開始，流體水平都為xR0，在正常工作期，流體以速率λ-μ1增長，因此，只要正常工作期時(shí)間不超過（x-xR0）/（λ-μ1），流體水平就小于x，x∈［xR0，xR1］.根據(jù)更新報(bào)酬定理，有

F1（x）=E［min（x-xR0λ-μ1，U）］1q0+1q1，x∈［xR0，xR1），

其中，U表示緩沖器處于正常工作期的時(shí)間，由此得到式（22）.用E［X］=∫∞0（1-F0（x）-F1（x））dx推導(dǎo)出式（23）.

情形2" 當(dāng)λ=μ1時(shí)，如果初始流體水平x＜xR0，流體水平將會(huì)保持在x（緩沖器處于正常工作期）或以速率增長λ-μ0（緩沖器處于部分故障期）直到xR0.如果初始流體水平xxR0，流體水平會(huì)保持在x（當(dāng)x＜xR1時(shí)）或以速率μ1（當(dāng)xxR1時(shí)）下降直到故障發(fā)生，此時(shí)，位置多于xR0的流體選擇違約，流體水平降為xR0并保持在xR0.圖2描述了流體水平在這種情形下的變化情況.

情形3" 當(dāng)μ0＜λ＜μ1時(shí)，如果初始流體水平x＜xR0，則流體水平將會(huì)以速率|λ-μ1|（緩沖器處于正常工作期）下降直到0或速率λ-μ0（緩沖器處于部分故障期）增長直到xR0，所以，流體水平在［0，xR0］范圍內(nèi)震蕩.

如果初始流體水平xxR0，則流體水平將會(huì)以速率|λ-μ1|（當(dāng)x＜xR1時(shí)）或速率μ1（當(dāng)xxR1時(shí)）下降直到故障發(fā)生，此時(shí)，位置多于xR0的流體選擇違約，流體水平下降到xR0，如此循環(huán)往復(fù)，所以流體水平在［0，xR0］范圍內(nèi)震蕩.圖3描述了流體水平在這種情形下的震蕩情況.

得到穩(wěn)態(tài)分布F0（x）和F1（x）在（0，xR0）是可微的且滿足微分方程：

（λ-μ0）dF0（x）dx=-q0F0（x）+q1F1（x），

（λ-μ1）dF1（x）dx=q0F0（x）-q1F1（x）.

有邊界條件F0（0）=0，F(xiàn)1（xR0）=q0q1+q0.解這個(gè)微分方程組得到式（24）和（25）.用E［X］=∫∞0（1-F0（x）-F1（x））dx推導(dǎo)出式（26）.

情形4" 當(dāng)λμ0時(shí)，如果初始流體水平xxR0，若緩沖器處于部分故障期，流體水平將會(huì)以速率|λ-μ0|（λ＜μ0時(shí)）下降或保持不變（λ=μ0時(shí)）直到0；若緩沖器處于正常工作期，流體水平將會(huì)以速率|λ-μ1|下降直到0并保持.如果初始流體水平x＞xR0，則流體水平將會(huì)以速率|λ-μ1|（當(dāng)x＜xR1時(shí)）或速率μ1（當(dāng)xxR1時(shí)）下降直到故障發(fā)生，此時(shí)，位置多于xR0的流體選擇違約，流體水平下降到xR0.如此循環(huán)往復(fù)，所以，流體水平保持在0.圖4描述了流體水平在這種情形下的變化情況.

由上述結(jié)果，現(xiàn)在可以計(jì)算均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益，分別用THRe和SWRe表示.其中，均衡吞吐量即單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)流體的數(shù)量.

推論1" 在完全可見情形下，當(dāng)流體遵循均衡策略（xR0，xR1）時(shí)，均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益為：

情形1" λ＞μ1，THRe=μ1q0+μ0q1q1+q0，（27）

SWRe=R·μ1q0+μ0q1q1+q0-C［xR0+q0（λ-μ1）q1（q1+q0）·（1-e-q1（xR1-xR0）λ-μ1）］.（28）

情形2" λ=μ1，THRe=μ1q0+μ0q1q1+q0，（29）

SWRe=R·μ1q0+μ0q1q1+q0-CxR0.（30）

情形3" μ0＜λ＜μ1，THRe=（1-F1（0））μ1+F1（0）λ+μ0q1q1+q0，（31）

SWRe=R·THRe-CE［X］.（32）

其中，THRe和E［X］分別由式（31）和（26）給出.

情形4" λμ0，THRe=λ，（33）

SWRe=Rλ.（34）

證明" 有如下公式：SWRe=R·THRe-CE［X］.（35）

分不同的情形考慮推論1.

情形1" 當(dāng)λ＞μ1時(shí)，只要處于正常工作期，緩沖器就以速率μ1為流體服務(wù).處于部分故障期，緩沖器就以速率μ0為流體服務(wù).因此， 吞吐量是兩個(gè)服務(wù)速率與它們各自狀態(tài)開啟時(shí)間占比的乘積之和，得到式（27）.將式（23）和式（27）代入式（35）得到式（28）.

情形2" 當(dāng)λ=μ1時(shí)，與情形1相同，得到式（29）和式（30）.

情形3" 當(dāng)μ0＜λ＜μ1時(shí)，只要處于正常工作期且流體水平大于0，緩沖器就以速率μ1為流體服務(wù)，處于正常工作期且流體水平為0，緩沖器就以速率λ為流體服務(wù)；只要處于部分故障期，緩沖器就以速率μ0為流體服務(wù).所以得到式（31）.其中，F(xiàn)1（0）=q0q1+q0·q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）q0（λ-μ1）+q1（λ-μ0）e-xR0（q1λ-μ1+q0λ-μ0）.

情形4" 當(dāng)λμ0時(shí)，緩沖器總是以λ的服務(wù)速率為流體服務(wù)，因此，吞吐量為λ，得到式（33），將式（33）代入式（35）得到式（34）.

不允許違約情形下的均衡進(jìn)隊(duì)閾值（xe（0），xe（1））、均衡吞吐量THNe（即文獻(xiàn)［15］中有效到達(dá)率λeff）和均衡社會(huì)收益SWNe（即文獻(xiàn)［15］中βfo（x*（0），x*（1）））可由文獻(xiàn)［15］中定理3.1和定理3.2給出.

3" 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)首先分析了允許違約情形和不允許違約情形下一些參數(shù)對流體均衡策略的影響.當(dāng)流體均采用均衡策略時(shí)，進(jìn)一步比較兩種情形下的均衡社會(huì)收益，分析允許流體違約是否可以帶來更大收益.

當(dāng)λμ1時(shí)，對比文獻(xiàn)［15］，允許違約和不允許違約兩種情形的系統(tǒng)演化是相同的.這是因?yàn)榱黧w水平從未超過均衡閾值xe（0）=xR0，因此，即使在允許違約的情況下，流體也從未選擇違約，此時(shí)這兩種情形下的均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益相等.所以在此只討論λ＞μ1時(shí)兩種情形下的均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益.

緩沖器從正常工作期轉(zhuǎn)換到部分故障期越頻繁，即q1越大，平均服務(wù)速率就越低，流體加入緩沖器并等待完成服務(wù)的意愿就越?。痪彌_器正常工作期時(shí)間越長，即q0越大，流體加入緩沖器并等待完成服務(wù)的意愿就越大.因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要充分考慮緩沖器的性能與故障處理能力，并及時(shí)調(diào)整和優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，保證流體的順暢通行.

圖5描繪了允許違約和不允許違約兩種情形下閾值隨R的變化曲線，給出參數(shù)（λ，μ0，μ1，q0，q1，C）=（6，2，5，1，3，1）.由上文分析閾值不依賴于到達(dá)率λ，閾值隨著報(bào)酬R的增加而增加.由圖5可知，xe（0）=xR0＜xe（1）＜xR1，這是因?yàn)楫?dāng)允許流體違約時(shí)，系統(tǒng)中的排隊(duì)人數(shù)變少，所以流體更愿意進(jìn)入排隊(duì)系統(tǒng)并繼續(xù)留在排隊(duì)系統(tǒng)直到完成服務(wù).

圖6描繪了兩種情形下均衡社會(huì)收益隨到達(dá)率λ的變化曲線，給出參數(shù)（μ0，μ1，q0，q1，R，C）=（2，5，1，3，8，1）.隨著λ的增大，兩種情形下的均衡社會(huì)收益都減小，但總有SWReSWNe.由上文分析，如果服務(wù)器持續(xù)工作，那么兩種情形下的均衡吞吐量都等于平均服務(wù)速率.也就是說，雖然兩種情形下的均衡吞吐量相同，都是定值μ1q0+μ0q1q1+q0，但當(dāng)允許流體違約時(shí)，總是能夠獲得更高的收益.因此，從社會(huì)收益的角度來看，在λ＞μ1的情況下，允許流體違約總是可取的.

4" 結(jié)" 論

本文研究了具有違約顧客和部分故障的流體排隊(duì)模型，分析了完全可見情形下顧客的均衡進(jìn)隊(duì)策略并討論了系統(tǒng)參數(shù)對顧客進(jìn)隊(duì)策略的影響.通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對比兩種情形下的均衡吞吐量和均衡社會(huì)收益，發(fā)現(xiàn)在到達(dá)率不超過正常工作期的服務(wù)速率時(shí)，兩種情形的均衡社會(huì)收益相等，此時(shí)，違約選項(xiàng)意義較小.在到達(dá)率高于正常工作期的服務(wù)速率時(shí)，允許違約情形下的均衡社會(huì)收益要超過不允許違約情形下的均衡社會(huì)收益，此時(shí)，違約選項(xiàng)的存在使得顧客可以進(jìn)行有效的權(quán)衡選擇，從而提高了整體效益.本文的討論深化了對允許違約和不允許違約這兩種情形的研究，更清楚地看到這兩種情形之間的差異，為進(jìn)行決策的社會(huì)管理者提供一定的理論依據(jù)，具有應(yīng)用價(jià)值.在此基礎(chǔ)上，未來的研究可以考慮不同排隊(duì)模型下違約的價(jià)值，以及從社會(huì)規(guī)劃者或服務(wù)商利益最大化角度對違約選項(xiàng)進(jìn)行定價(jià).

參" 考" 文" 獻(xiàn)

［1］ ""VIRTAMO J，NORROS I.Fluid queue driven by an M/M/1 queue［J］.Queueing Systems，1994，16（3）：373-386.

［2］PARTHASARATHY P R，VIJAYASHREE K V，LENIN R B.An M/M/1 driven fluid queue-continued fraction approach［J］.Queueing Systems，2002，42（2）：189-199.

［3］徐秀麗，王現(xiàn)英，李曉慶.具有可選服務(wù)的M/M/1排隊(duì)驅(qū)動(dòng)的流模型［J］.西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，52（1）：21-24.

XU X L，WANG X Y，LI X Q.Fluid model driven by an M/M/1 queue with optional service［J］.Journal of Northwest Normal University（Natural Science），2016，52（1）：21-24.

［4］WANG S，XU X L.Equilibrium strategies of the fluid queue with working vacation［J］.Operational Research，2021，21（2）：1211-1228.

［5］EL-PAOUMY M S，RADWAN T.A matrix approach for stationary analysis fluid model driven by an M/M/1/N queue with discouraged arrivals［J］.Journal of the Egyptian Mathematical Society，2020，28（1）：14.

［6］BURNETAS A，ECONOMOU A.Equilibrium customer strategies in asingle server Markovian queue with setup times［J］.Queueing Systems，2007，56（3）：213-228.

［7］ECONOMOU A，KANTA S.Equilibrium balking strategies in the observable single-server queue with breakdowns and repairs［J］.Operations Research Letters，2008，36（6）：696-699.

［8］GUO P F，HASSIN R.Strategic behavior and social optimization in Markovian vacation queues［J］.Operations Research，2011，59（4）：986-997.

［9］徐秀麗，王蕊.完全可見下具有兩類顧客和故障啟動(dòng)排隊(duì)系統(tǒng)的均衡分析［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2021，49（2）：7-14.

XU X L，WANG R.Equilibrium strategies of queueing system with two types of parallel customers，breakdowns and setup times in fully visible case［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2021，49（2）：7-14.

［10］ECONOMOU A，LOGOTHETIS D，MANOU A.The value of reneging for strategic customers in queueing systems with server vacations/failures［J］.European Journal of Operational Research，2022，299（3）：960-976.

［11］AVI-ITZHAK B，NAOR P.Some queuing problems with the service station subject to breakdown［J］.Operations Research，1963，11（3）：303-320.

［12］SRIDHARAN V，JAYASHREE P J.Some characteristics on a finite queue with normal partial and total failures［J］.Microelectronics Reliability，1996，36（2）：265-267.

［13］KALIDASS K，KASTURI R.A queue with working breakdowns［J］.Computers amp; Industrial Engineering，2012，63（4）：779-783.

［14］葉晴晴，陳鈺.帶有工作故障的M/M/1重試排隊(duì)系統(tǒng)的性能分析［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2023，51（3）：82-89.

YE Q Q，CHEN Y.Performance analysis of M/M/1 retrial queuing system with working breakdowns［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2023，51（3）：82-89.

［15］ECONOMOU A，MANOU A.Strategic behavior in an observable fluid queue with an alternating service process［J］.European Journal of Operational Research，2016，254（1）：148-160.

Equilibrium strategies of fluid queue with customer reneging and partial-breakdown

Ye Qingqing， Li Ziye

（School of Mathematics and Statistics， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： To analyze the effect of reneging customer on the queueing system， we consider the fluid model with reneging customer and partial-breakdown policy. Firstly， the equilibrium threshold strategies are studied based on the \"reward-cost\" structure. Secondly， the equilibrium throughout and equilibrium social welfare are derived by using the renewal-reward theorem. Finally， some numerical examples are presented to illustrate the influence of key parameters on system performance measures. It reveals that the existence of the reneging option is very beneficial to overloaded systems， i.e.， for such systems balking alone is not sufficient to achieve good outcomes.

Keywords： fluid queue; equilibrium strategy; reneging; social welfare

［責(zé)任編校" 陳留院" 趙曉華］