共生種群的有限時間穩(wěn)定性分析及最優(yōu)捕獲算法

摘要： 針對共生種群在有限時間內的最優(yōu)捕獲問題， 通過討論共生種群的有限時間穩(wěn)定性， 并利用Pontryagin極大值原理及Hamilton函數(shù)方法， 給出共生種群的最優(yōu)捕獲策略. 首先， 基于養(yǎng)殖過程的數(shù)據(jù)信息對共生生物生長過程建立非線性模型， 并在保證生態(tài)環(huán)境平衡的條件下， 深入分析共生生長過程和共生系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性， 給出了嚴格的證明過程; 其次， 應用基于Lyapunov方法的Pontryagin極大值原理推導出一種最優(yōu)采收方法， 并得到了最優(yōu)采收解的一般算法； 最后， 用仿真對比實驗結果證明該算法的有效性.

關鍵詞： 共生種群； 水產(chǎn)養(yǎng)殖； 有限時間穩(wěn)定； 最優(yōu)捕獲； Pontryagin極大值原理

中圖分類號： TP391""文獻標志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1411-08

Finite-Time Stability Analysis and Optimal HarvestingAlgorithm of Symbiotic PopulationsZHANG Shuanghong， XU Yuanyuan（College of Mathematics and Computer， Jilin Normal University， Siping 136000， Jilin Province， China）

Abstract： Aiming at the problem of optimal harvesting of symbiotic populations in finite time， "we proposed "the optimal harvesting strategy for symbiotic populations by discussing finite-time stability of symbiotic populations， utilizing Pontryagin maximum principle and Hamilton function method.

Firstly， "a nonlinear model of the growth process of symbiotic organisms was established based on the data information of the breeding process. Under the condition of ensuring the balance of ecological environment， the finite time stability of the symbiotic growth process and the symbiotic system was deeply analyzed， and a strict proof process was given. Secondly， an optimal

harvesting method was derived by applying Pontryagin maximization principle based on Lyapunov method， and the general algorithm of optimal harvesting solution was obtained. Finally， "the effectiveness of "the proposed algorithm was proved by using simulation and comparative experimental results.

Keywords： symbiotic population; aquaculture; finite-time stability; optimal harvesting; Pontryagin maximum principle

共生關系是自然界中兩種生物共同生存的一種關系， 可分為互利共生、 競爭共生和偏利共生等^［1-2］. 在水產(chǎn)養(yǎng)殖業(yè)中， 共生關系常應用于2～3個種群以獲得更高的產(chǎn)量^［3-4］， 目前， 對共生系統(tǒng)的性質及最優(yōu)捕獲策略的研究已有許多結果^［5-13］. 在對具有共生關系的種群進行混合養(yǎng)殖的過程中發(fā)現(xiàn)， 若其中某一種群受到病蟲害威脅或受到環(huán)境污染等因素的影響， 則其他種群也會隨之受到影響， 將會給養(yǎng)殖者造成巨大的經(jīng)濟損失^［14］. Pontryagin極大

值原理是提供最優(yōu)控制策略的有效方法^［15-19］， 但其在毒素環(huán)境下共生種群的研究中卻應用較少. 本文基于實際養(yǎng)殖情況， 建立毒素影響下的共生種群模型， 研究其生態(tài)平衡及系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性， 并利用基于Lyapunov方法的Pontryagin極大值原理， 為養(yǎng)殖者提出毒素清理條件下共生種群的最優(yōu)捕獲策略. 最后， 通過實例仿真驗證本文結論的實用性和有效性.

1"問題描述

本文以在有限養(yǎng)殖區(qū)域內混合養(yǎng)殖具有共生關系的種群為研究背景， 對養(yǎng)殖環(huán)境中出現(xiàn)病蟲害毒素的情形進行分析討論， 建立非線性模型， 得到共生種群在病蟲害條件下的捕獲模型如下：

dx（t）dt=x（t）［a11-a12x（t）+a13y（t）］-αE1（t）x（t），dy（t）dt=y（t）［b11

-b12y（t）-b13z（t）］-βE2（t）y（t），

dz（t）dt=z（t）［c11-c12z（t）+c13y（t）］-γE3（t）z（t），（1）

其中x（t）和y（t）分別表示t時刻種群1和種群2的養(yǎng)殖數(shù)量， z（t）表示t時刻養(yǎng)殖環(huán)境中病蟲害毒素的數(shù)量， a11，b11分別表示養(yǎng)殖者對種群1和種群2的最初投放數(shù)量， c11表示養(yǎng)殖環(huán)境中滋生病蟲害的初始密度. 此外， 由于多數(shù)共生種群的混合養(yǎng)殖都是在有限養(yǎng)殖區(qū)域內進行的， 因此根據(jù)有限空間增長模型理論， 設其自限系數(shù)為a12，b12，c12. 在養(yǎng)殖過程中， 除養(yǎng)殖戶供給種群1的營養(yǎng)外， 種群2也會為種群1提供營養(yǎng)， 從而使種群1數(shù)量增長， 該系數(shù)用a13表示. 同時， 病蟲害也會在某一種群中汲取營養(yǎng). 假設病蟲害在種群2中獲取營養(yǎng)， 將由此增加的病蟲害數(shù)量系數(shù)設為c13， 種群2由此使自身數(shù)量減少的系數(shù)設為b13. 在t時刻， 養(yǎng)殖者對種群1的捕獲努力量用E1（t）表示， 對種群2的捕獲努力量用E2（t）表示， 對病蟲害的清除努力量用E3（t）表示. 設種群1的捕獲系數(shù)為α， 種群2的捕獲系數(shù)為β， 病蟲害的消除系數(shù)為γ. αE1（t）和βE2（t） 分別為種群1和種群2的捕獲率， γE3（t）為病蟲害的清除率.

注1"根據(jù)養(yǎng)殖過程中的實際情況， 本文做如下假設：

（H） a11gt;αE1， b11gt;βE2， c11gt;γE3.

2"主要結果

下面討論共生種群系統(tǒng)在病蟲害條件下的穩(wěn)定性及其最優(yōu)捕獲策略.

定理1"若c12（b11-βE2）-b13（c11-γE3）gt;0（2）

成立， 則系統(tǒng)（1）有兩個非滅絕平衡點： 一個病蟲害清除平衡點和一個正平衡點.

證明： 計算得到系統(tǒng)（1）有如下8個平衡點：

P1（0，0，0），"P20，0，c11-γE3c12，"P3a11-αE1a12，0，0，P4a11-αE1a12，0，c11-γE3c12，"P50，b11-βE2b12，0，P60，c12（b11-βE2）-b13（c11-γE3）b12c12+b13c13，c13（b11-βE2）+b12（c11-γE3）b12c12+b13c13，P7b12（a11-αE1）+a13（b11-βE2）a12b12，b11-βE2b12，0，"P8（x，y，z），

其中

x=（b12c12+b13c13）（a11-αE1）a12b12c12+a12b13c13+a13c12（b11-βE2）-a13b13（c11-γE3）a12b12c12+a12b13c13，y=c12（b11-βE2）-b13（c11-γE3）b12c12+b13c13，z=c13（b11-βE2）+b12（c11-γE3）b12c12+b13c13.

顯然，P7 和P8為系統(tǒng)（1）的非滅絕平衡點.

下面對非滅絕平衡點的穩(wěn)定性進行分析. 平衡點P7的Jacobi矩陣為-a12xa13x0b13y-b12y-b14y00-c12z，其中x=b12（a11-αE1）+a13（b11-βE2）a12b12， y=b11-βE2b12， z=0.

顯然平衡點P7是不穩(wěn)定的. 由假設（H）及條件（2）可知P8為系統(tǒng)（1）的正平衡點. 證畢.

在考慮實際應用的情況下， 若使生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)有研究價值， 就要保證該系統(tǒng)在有限時間內達到穩(wěn)定狀態(tài)， 因此下面繼續(xù)探討平衡點P8的有限時間穩(wěn)定性.

定義1^［20］"如果存在一個原點的開鄰域ND和沉降時間函數(shù)T： N＼{0}→（0，∞）， 使下列結論成立， 則稱原點是系統(tǒng)dx（t）dt=f（x）的有限時間內穩(wěn)定點.

1） 在有限時間內收斂： 即對每個x∈N＼{0}， ψx是定義在t∈［0，T（x））上的函數(shù)， 對ψx（t）∈N＼{0}有t∈［0，T（x））， limt→T（x） ψx（t）=0.

2） Lyapunov穩(wěn)定性： 對每個開鄰域Uε存在一個N的包含0的開子集Uδ， 使得對每個x∈Uδ＼{0}及t∈［0，T（x））， 都有ψx∈Uε.

引理1^［21］"對于系統(tǒng)dx（t）dt=f（x）， 存在一個連續(xù)函數(shù)V： N→和一個正定函數(shù)r：→+， 使得下列結論成立：

1） V（x（t），t）是正定的;

2） dV（x（t），t）dt≤-rV（x（t），t）， （x（t），t）∈N×I;

3） 存在一個實數(shù)εgt;0， 使得∫ε0dpr（p）lt;+∞， 并使得dx（t）dt=f（x）有限時間內是穩(wěn)定的， 沉降時間函數(shù)為T0（t0，x0）≤（t-t0）+∫^{Vx（（t），t）}0dpr（p），其中t0為初始時間， 時間點t保證了V（x（t），t）∈［0，ε］.

考慮系統(tǒng)（1）唯一的正平衡點P8（x，y，z）， 令Z（t）=（z1（t），z2（t），z3（t））T， 其中z1（t

）=x-x， z2（t）=y-y， z3（t）=z-z. 于是， 系統(tǒng)（1）可變換成如下等價形式：

dz1（t）dt=（z1（t）+x）［a11-a12（z1（t）+x）+a13（z2（t）+y

）-αE1］，dz2（t）dt=（z2（t）+y）［b11-b12（z2（t）+y）-b13（z3（t）+z

）-βE2］，dz3（t）dt=（z3（t）+z）［c11-c12（z3（t）+z）+c13（z2（t）+y）-γE3］.（3）

定理2"系統(tǒng)（3）是有限時間穩(wěn)定的， 且穩(wěn)定時間函數(shù)：

T0（t0，Z0）≤（t*-t0）+∫^{V（Z（t*），t*）}0dZ（t）r（Z（t）），（4）

其中對于實數(shù)εgt;0， 在時刻t*使得V（Z（t），t）∈［0，ε］成立.

證明： 設函數(shù)V（Z（t），t）=（z3（t）+z）^2/3c11-γE3， 當（z3（t）+z）∈N＼{0}時， 可得V（Z（t），t）gt;0. 令

r（Z（t））=23［k1（z3（t）+z）-（c11-γE3）］gt;0，

其中

c11-γE3lt;k2（z3（t）+z）lt;k1（z3（t）+z）lt;c12（z3（t）+z）-c13（z2（t）+y）.

于是可得

-r（Z（t））V（Z（t），t）=23（z3（t）+z）^2/3-23k1（z3（t）+z）

c11-γE3（z3（t）+z）^2/3.

同時又有

dV（Z（t），t）dt=23（z3（t）+z）^2/3-23c12（z3

（t）+z）-c13（z2（t）+y）c11-γE3（z3（t）+z）^2/3.

因此可得

dV（Z（t），t）dt+r（Z（t））V（Z（t），t）= "23（z3（t）+z）^2/3-23

c12（z3（t）+z）-c13（z2（t）+y）c11-γE3（z3（t）+z）^2/3-

23（z3（t）+z）^2/3+23k1（z3（t）+z）c11-γE3（z3（t）+z）^2/3lt;0，

即dV（Z（t），t）dt≤-r（Z（t））V（Z（t），t）.

又由于V（Z（t），t）=（z3（t）+z）^2/3c11-γE3，""（z3（t）+z）∈N，

因此對于實數(shù)εgt;0， 存在某時刻t*使得V（Z（t*），t*）∈［0，ε］成立.

記k1（z3（t）+z）=K1，"nbsp;k2（z3（t）+z）=K2，

則有

∫ε0dZ（t）r（Z（t））= "∫ε0dZ（t）（2/3）［k1（z3（t）+z）-（c11-γE3）］

≤∫ε03dZ（t）2［k1（z3（t）+z）-k2（z3（t）+z）］=∫ε03dZ（t）2（K1-K2）lt;+∞.

綜上由引理1可知， 系統(tǒng)（3）在有限時間內保持穩(wěn)定， 且穩(wěn)定時間函數(shù)為式（4）. 證畢.

3"最優(yōu)捕獲策略

下面基于Pontryagin極大值原理， 并考慮養(yǎng)殖環(huán)境存在毒素或病蟲害的情況， 給出共生種群的最優(yōu)采收策略.

記c1，c2分別為每單位種群1、 種群2的捕獲努力量E1（t）和E2（t）所需的投入成本， c3為每單位環(huán)境毒素或病蟲害清除努力量E3（t）所需的投入成本. 設養(yǎng)殖過程中經(jīng)營者可投入成本的最大值為M， 則根據(jù)養(yǎng)殖的實際情況成本變量應符合如下關系：

0≤∫Tt0［c1E1（t）+c2E2（t）+c3E3（t）］dt≤M.（5）

在養(yǎng)殖過程的t時刻， 經(jīng)濟種群的總捕獲量分為以下兩部分： 種群1的總捕獲量αE1（t）x和種群2的總捕獲量βE2（t）y. 設市場上種群1和種群2的單位平均價格為b. 根據(jù)經(jīng)濟學原理， 供求關系對價格產(chǎn)生影響. 假設當捕獲量較高時， 供過于求導致的價格下降金額記為a， 則養(yǎng)殖經(jīng)營者在時刻t的凈收入為

R=b［αE1（t）x+βE2（t）y）］-aα2E21（t）x2-c1E1（t）-c2E2（t）-c3E3（t），""bgt;agt;0.（6）

于是， 符合模型中考慮影響因素的最大凈利潤可表示為∫Tt0e^-δtRdt， 即最優(yōu)采收策略的目標函數(shù)為

J=∫Tt0e^-δtRdt，（7）

其中δ為貼現(xiàn)率.

注2"本文假設種群1的單價比種群2的單價高很多， 因此在目標函數(shù)中忽略由于種群2捕獲量高低而產(chǎn)生的市場價格浮動.

下面考慮系統(tǒng)（5）的最優(yōu)控制問題：

maxE1，E2，E3 ∫Tt0e^-δtRdt，

其中x（t），y（t），z（t）有如下初值： x（0）gt;0， y（0）gt;0， z（0）gt;0.

記E1（t）=E1， E2（t）=E2， E3（t）=E3符合條件. 因此， 系統(tǒng)（1）的Hamilton函數(shù)為

H（X，Λ，E1，E2，E3，t）=-e^δt［b（αE1x+βE2

y）-aα2E21x2-c1E1-c2E2-c3E3］+λ1［x（a11-a12x+a13y）-αE1x］+λ2［y（b11-b12y-b13z）-βE2y］+

λ3［z（c11-c12z+c13y）-γE3z］，

其中X=（x，y，z）T， Λ=（λ1，λ2，λ3）.

令現(xiàn)值伴隨向量為qi（t）=e^δtλi（t）， 并且記Q=（q1，q2，q3）， 于是， 原始Hamilton函數(shù)可寫成如下形式：

（X，Q，E1，E2，E3）= "e^δtH（X，Λ，E1

，E2，E3，t）= "［b（αE1x+βE2y）-aα2E21x2-c1E1-c2E2-c3E3］+ "q1［x（a11-a12x+a13y）-αE1x］+

q2［y（b11-b12y-b13z）-βE2y］+ "q3［z（c11-c12z+c13y）-γE3z］.

由于控制方程為

（X，Q，E1，E2，E3）Ei=0，""i=1，2，3.（8）

因此由式（8）可得如下解：

q2=bβy-c2βy，（9）q3=-c3γz，（10）

E1=bαx-c1-q1αx2a1α2x2.（11）

將式（10）代入Hamilton方程， 可得Hamilton方程的新形式. 由Pontryagin極大值原理， 經(jīng)典Hamilton方程為

dXdt=（X，Q，E1，E2）Q，（12）

dQdt=-（X，

Q，E1，E2）X+δQ.（13）

再由式（9）～（13）可得如下解：

y=-B+B2+4AC2A，（14）Z=c11+c13yc12，（15）

q1=c1（c1/（αx）-b）2aαx2（a11-2a12x+a13y-δ）-c1，（16）

E2=c12（b11-b12y）-b13（c11+c13y）βc12，（17）

其中

A=βγbb13c13，B=γb13（βbc11-c2c13）+βγc3c12c13，

C=γc2b13c11+βc3c12（1-γc11）.

為求出x的解， 把式（9）～（17）代入方程dq2dt=0， 可得如下關于x的方程：

M0x3+M1x2+M2x+M3=0，（18）

其中

M0=4α2βaa12K-2α2aa13b13（βby-c2）， M1=-2α2βaK（a11+a13y-δ），M2=-αβbc1a13，

M3=αβc1K+βc1a13，K=-b（b11-b12y）+bb13（c11+c13y）c12+b-c2βy

（b12y-δ）+c3c13γ.

經(jīng)討論可知方程（18）必有正實根x.

把x，y，z的實值及E1和E2代入系統(tǒng)（1）， 可得如下取得極值的最優(yōu)捕獲策略：

E1=bαx-c1-q1αx2aα2x2，E2=c12（b11-b12y）-b13（c11+c13y）βc12

，E3=c13［（b-q1）αx-c1］-2aαx2c13（a11-a12x+a13y）2αγaa13x2.

本文討論的算法針對共生種群之一受外界因素（如病蟲害、 毒素、 污染、 外來入侵物種等）影響的情況， 給出了在清除外界因素影響的同時實現(xiàn)最優(yōu)采收的策

略. 為混合養(yǎng)殖經(jīng)濟作物抵御外部因素干擾、 實現(xiàn)最優(yōu)采收提供了有效保障.

4"仿真實例

下面通過一個具體實例說明本文算法的有效性.

例1"在我國， 多數(shù)養(yǎng)殖者會對龍蝦和蓮藕進行混合養(yǎng)殖^［22］， 蓮藕的農家肥釋放出的微生物可供龍蝦食用， 龍蝦的排泄物也能為蓮藕提供底肥， 這種共生關系可有效增加產(chǎn)量， 提高經(jīng)濟效益. 可一旦出現(xiàn)蚜蟲病蟲害， 就會危害蓮藕的正常生長， 進而龍蝦的產(chǎn)量也會受到消極影響. 此時即可應用本文提出的毒素條件下共生種群的最優(yōu)捕獲策略. 設養(yǎng)殖者對龍蝦和蓮藕的初始投放數(shù)量分別為0.3，0.4， 蚜蟲病蟲害最初出現(xiàn)的數(shù)量為0.3. 由于3個種群內部爭奪共同資源而產(chǎn)生的制約系數(shù)分別為0.01，0.001和0.05， 龍蝦因食用蓮藕釋放的微生物而增長的系數(shù)為0.05. 蚜蟲會刺吸蓮藕汁液， 這也是導致蚜蟲數(shù)量增長的因素之一， 其增長系數(shù)為0.01. 蓮藕受到病蟲害， 產(chǎn)量會隨之減少， 該系數(shù)為0.03. 在養(yǎng)殖過程中， 養(yǎng)殖者對龍蝦和蓮藕的捕獲努力量系數(shù)分別為0.4，10， 對蚜蟲的清除努力量系數(shù)為0.1. 根據(jù)市場規(guī)律， 可設現(xiàn)值折現(xiàn)率δ=0.01. 龍蝦的單位捕獲人工花費為人民幣3元， 蓮藕的單位收割花費為人民幣5元， 蚜蟲病蟲害的單位清除花費為人民幣2元. 每一單位龍蝦和蓮藕均價b為人民幣100元. 鑒于供求關系對價格的影響， 設龍蝦產(chǎn)量增加， 供過于求時， 單位售價降低值a為人民幣5元.

根據(jù)例1， 此時模型可表示為如下形式：

dx（t）dt=x（0.3-0.01x+0.05y-0.4E1），dy（t）dt=y（0.4-0.001y-0.03z-10E2），dz（t）

dt=z（0.3-0.05z+0.01y-0.1E3）.

對應上述參數(shù)， 可得相應的龍蝦捕獲努力量E1、 蓮藕捕獲努力量E2以及蚜蟲的清除努力量E3分別為

E1=29.696x-2016x2，E2=11-0.35y50，E3=4 113.04x-200-4x2（30-x+5y）200x2.

根據(jù)上述捕獲努力量， 可得系統(tǒng)的最大利潤如下：

JmaxE1，E2，E3=∫^T0t0e^-0.01t［100（0.4E1x+10E2y）-0.8E21x2-2E1-5E2-3E3］dt.

通過計算可得E1=2.227 6， E2=0.020 9， E3=1.257 9， 最大利潤為J=24 688 元. 根據(jù)上述參數(shù)， 可得最大利潤仿真圖像如圖1所示.

在實際養(yǎng)殖過程中， 由于蚜蟲的過度生長， 導致龍蝦和蓮藕的產(chǎn)量降低. 由圖1可知， 采用本文的最優(yōu)收獲策略， 最大利潤為24 688元. 該最大利潤不低于沒有蚜蟲的利潤.

綜上所述， 本文建立了共生種群模型， 并考慮了其在毒素或病蟲害環(huán)境下的動力性態(tài)， 給出了模型種群系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定條件， 并利用基于Lyapunov方法的Pontryagin極大值原理， 得到共生種群系統(tǒng)在清除毒素或病蟲害條件下的最優(yōu)采收方法， 從而得到一般采收的最優(yōu)算法. 最后， 用實例驗證了本文方法的可行性和有效性， 仿真結果表明， 一般算法可以在限定養(yǎng)殖周期內實現(xiàn)最優(yōu)效益.

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（責任編輯： 韓"嘯）