例談運(yùn)用分類討論思想解答有關(guān)等腰三角形的多解問(wèn)題

等腰三角形的兩腰和兩底角分別相等，是一種特殊的三角形，若問(wèn)題的已知條件中未明確說(shuō)明等腰三角形的腰、底角以及形狀，常常存在多解的情況．因此，同學(xué)們?cè)诮獯鹋c等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)必須考慮全面，對(duì)可能存在的多解情況一定要運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行討論，綜合得出結(jié)論，這樣才能避免漏解或錯(cuò)解，保證解題的準(zhǔn)確性，

在運(yùn)用分類討論思想解答等腰三角形問(wèn)題時(shí)，一般按照以下步驟：1．分析出現(xiàn)多解的原因，可以從腰與底邊、頂角與底角或是等腰三角形的形狀等方面思考，明確分類討論的對(duì)象；2．確定分類標(biāo)準(zhǔn)，可以從邊、角或三角形形狀等方面進(jìn)行分類；3．逐一進(jìn)行分析和討論，必要時(shí)需畫圖輔助分析；4．綜合各個(gè)分類的結(jié)果，得出完整結(jié)論．下面結(jié)合典型例題進(jìn)行分析說(shuō)明，

一、由邊的不確定性引起的分類討論

等腰三角形的邊分為兩類，一類是底邊，一類是腰，由等腰三角形的性質(zhì)可知，兩腰相等，由于有些題目在給出等腰三角形的邊的條件時(shí)，并沒有指出該邊是腰還是底邊，所以對(duì)于該邊，我們要分腰、底邊兩種情況分別討論，最后綜合所得的結(jié)果．值得注意的是，三邊求出后，一定要按照三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，檢驗(yàn)三邊能否構(gòu)成三角形，

二、由角的不確定性引起的分類討論

等腰三角形的角分為兩類，一類是頂角，一類是底角．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知，等腰三角形的兩底角相等，由于有些題目在提供等腰三角形的角的條件時(shí)，并未明確指出該角是頂角還是底角，所以對(duì)于該角，我們要分頂角、底角兩種情況進(jìn)行討論，最后綜合所得的結(jié)果，分類時(shí)要注意：三角形內(nèi)角和等于1800；等腰三角形中至少有兩個(gè)角相等，

例2已知等腰三角形的一個(gè)外角是1000，那么這個(gè)等腰三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別是

三、由三角形的形狀不確定引起的分類討論

在等腰三角形中，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為1800的性質(zhì)，不難判斷兩個(gè)底角一定是銳角．而頂角只有一個(gè)，它可能為銳角、直角，也可能為鈍角，所以等腰三角形按照頂角的度數(shù)可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，這也是造成不確定性的原因之一．如高線與三角形的形狀有關(guān)，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，三條高都在三角形內(nèi)部，而鈍角三角形中鈍角的兩條邊上的高都在三角形外部，直角三角形的兩直角邊上的高分別是另一條直角邊，因此，當(dāng)已知等腰三角形一腰上的高的情況時(shí)，應(yīng)分銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形等情況討論．關(guān)于腰的垂直平分線問(wèn)題也與三角形的形狀有關(guān)，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，一腰上的垂直平分線與另一腰交于一點(diǎn)，而直角三角形一腰上的垂直平分線與另一腰平行，鈍角三角形一腰上的垂直平分線與另一腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，因此當(dāng)已知等腰三角形一腰上的垂直平分線的情況時(shí)，應(yīng)分銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形等情況討論，

例3如果等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為500，那么它的底角為

，

解析：等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為500，一種是高在三角形的內(nèi)部，另一種是高在三角形的外部，所以要分兩種情況討論．