對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土柱N_u-M_u曲線特性及數(shù)值分析

摘要：為分析截面面積、配筋率、鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度等參數(shù)對對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱的極限彎矩M_u與極限軸力N_u（N_u-M_u）曲線的影響，推導(dǎo)對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u與N_u的函數(shù)關(guān)系式并繪制N_u-M_u曲線。采用軟件ANSYS對RC柱進(jìn)行數(shù)值分析，分析柱底截面的最大極限彎矩與最大極限軸力數(shù)值分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的相對差。研究表明：極限軸力隨截面面積、配筋率、鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度的增大而增大，截面面積對其影響最大，混凝土強(qiáng)度、配筋率對其影響較小，鋼筋強(qiáng)度對其影響最??；最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計(jì)算結(jié)果均大于數(shù)值分析結(jié)果；最大極限彎矩的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果的相對差大于最大極限軸力，前者約為10%，后者約為5%。

關(guān)鍵詞：偏心受壓RC柱；對稱配筋；N_u-M_u曲線；參數(shù)分析；數(shù)值分析

中圖分類號(hào)：U448.35; U663.9⁺3; TU312文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1672-0032（2024）03-0091-08

引用格式：周清，國偉，齊麟.對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土柱N_u-M_u曲線特性及數(shù)值分析［J］.山東交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2024，32（3）：91-98.

ZHOU Qing， GUO Wei， QI Lin. The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement［J］.Journal of Shandong Jiaotong University，2024，32（3）：91-98.

0 引言

橋墩是橋梁工程的主要受力構(gòu)件，受到自重、上部荷載傳來的豎向作用力和由橋面水平力引起的彎矩作用，通常按偏心受壓構(gòu)件設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)^[1-3]。采用對稱配筋形式時(shí)，偏心受壓構(gòu)件的極限軸力N_u與極限彎矩M_u存在一定的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)函數(shù)關(guān)系可繪制N_u-M_u曲線，此曲線在橋梁工程的橋墩設(shè)計(jì)與加固改造中有重要的應(yīng)用價(jià)值^[4-5]。

從對稱配筋偏心受壓鋼筋混凝土（reinforced concrete，RC）柱大、小偏心受壓構(gòu)件的判定方法與承載力計(jì)算角度考慮，張波等^[6]推導(dǎo)HRB600級(jí)鋼筋的對稱配筋大、小偏心受壓柱的基本公式及偏心受壓類型的判別公式，并給出矩形截面偏心受壓構(gòu)件的截面設(shè)計(jì)方法，討論配筋率、鋼筋強(qiáng)度等級(jí)對N_u-M_u曲線的影響；張海濤等^[7]針對鋼筋混凝土偏心受壓構(gòu)件提出判定大、小偏心破壞的準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)化承載力的計(jì)算方法；高麗等^[8]通過算例、數(shù)值分析、圖解等方法分析判斷對稱配筋偏心受壓柱大、小偏心破壞形態(tài)的2種判斷方法；曾亮等^[9]研究對稱配置HRB500級(jí)高強(qiáng)鋼筋的偏心受壓構(gòu)件大、小偏心受壓的判定條件及截面配筋的計(jì)算方法。已有研究中對稱配筋大、小受壓構(gòu)件的判定方法及承載力計(jì)算公式均存在一定差異，大多數(shù)僅考慮單個(gè)參數(shù)對N_u-M_u曲線的影響^[10-11]。

本文根據(jù)鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)基本理論和大、小偏心受壓構(gòu)件的判定方法，基于力與力矩平衡的條件，推導(dǎo)對稱配筋大、小偏心受壓構(gòu)件的承載力計(jì)算公式，并繪制N_u-M_u曲線，討論鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度、截面面積、配筋率等相關(guān)參數(shù)對N_u-M_u曲線的影響，根據(jù)各參數(shù)的影響程度排序，采用軟件ANSYS對偏心受壓構(gòu)件進(jìn)行數(shù)值分析并研究軸力和彎矩的數(shù)值分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果間的誤差，以期為同類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 對稱配筋偏心受壓RC柱M_u-N_u函數(shù)關(guān)系

1.1 對稱配筋大偏心受壓RC柱M_u-N_u的函數(shù)關(guān)系

作用在RC柱截面上的彎矩較大、軸力較小時(shí)，RC柱處于大偏心受壓狀態(tài)^[12-14]。受壓區(qū)域的混凝土達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度f_c，受拉區(qū)域的鋼筋達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度f_y。RC柱截面的有效受壓區(qū)高度x滿足

x≤ξ_bh₀，

式中：ξ_b為相對界限受壓區(qū)高度，h₀為截面的有效高度。

設(shè)混凝土極限壓應(yīng)變?yōu)棣?sub>cu，混凝土界限受壓區(qū)高度為x_n，受壓鋼筋面積為A_s′，柱截面高度為h，受拉鋼筋面積為A_s，鋼筋合力點(diǎn)到柱受拉邊緣的距離為a_s，鋼筋彈性模量為E_s，鋼筋應(yīng)變?yōu)棣?sub>s，受壓區(qū)鋼筋設(shè)計(jì)強(qiáng)度為f_y′，偏心距為e_i，混凝土強(qiáng)度折減系數(shù)為α，軸向壓力為N，未達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度的受拉鋼筋應(yīng)力為σ_s，柱截面寬度為b。對稱配筋偏心受壓RC柱應(yīng)變及受力分析示意圖如圖1、2所示。

大偏心受壓RC柱截面破壞時(shí)，因鋼筋屈服呈受拉破壞特征。大偏心受壓RC柱同時(shí)滿足力與力矩（對下部受力鋼筋取力矩）平衡的2個(gè)基本方程^[15-19]，力平衡方程為：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－f_yA_s，（1）

力矩平衡方程為：

N（e_i+h/2－a_s）=αf_cbx（h₀－x/2）+f_y′A_s′（h₀－a_s′）， （2）

式中a_s′為鋼筋合力點(diǎn)到RC柱受壓邊緣的距離。

偏心受壓構(gòu)件滿足彎矩M＝Ne_i。

將對稱配筋滿足的條件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′代入式（1）（2）并消去未知數(shù)x，將N、M替換為極限軸力N_u、極限彎矩M_u，得到M_u-N_u的函數(shù)關(guān)系為：

M_u=N_ue_i=-0.5N_u²/（αf_cb）+0.5N_uh+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（3）

對稱配筋的大偏心受壓RC柱的M_u為N_u的二次函數(shù)。

1.2 對稱配筋小偏心受壓RC柱M_u-N_u的函數(shù)關(guān)系

作用在RC柱截面上的軸力較大、彎矩較小時(shí)，RC柱處于小偏心受壓狀態(tài)^[20-22]。受壓區(qū)域的混凝土達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度f_c，但受拉區(qū)域的鋼筋還未達(dá)到設(shè)計(jì)強(qiáng)度f_y，RC柱截面的有效受壓區(qū)高度x滿足x＞ξ_bh₀。小偏心受壓柱破壞時(shí)混凝土首先被壓碎，呈受壓破壞特征，如圖1a）所示。小偏心受壓RC柱同樣滿足力與力矩（對下部受力鋼筋取矩）平衡的2個(gè)基本方程，力平衡方程為：

N=αf_cbx+f_y′A_s′－σ_sA_s，（4）

式中：σ_s=f_y（ξ-β）/ （ξ_b-β） ^[15]，其中ξ為混凝土相對受壓區(qū)高度，滿足x＝ξh₀，β為混凝土強(qiáng)度系數(shù)，當(dāng)混凝土強(qiáng)度不大于C50時(shí)，β=0.8。將σ_s代入式（4）得到

N=αf_cbξh₀+f_y′A_s′－f_yA_s（ξ-β）/ （ξ_b-β）。（5）

將式（5）進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到ξ與N的函數(shù)關(guān)系為：

ξ＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_sN＋f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s。（6）

由式（6）可知，ξ為N的一次函數(shù)，為簡化計(jì)算定義

λ₁＝β－ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s， λ₂＝f_y′A_s′ξ_bαf_cbh₀（β－ξ_b）＋f_yA_s，

式（6）可簡化為

ξ＝λ₁N＋λ₂。（7）

對稱配筋滿足條件A_s＝A_s′、 f_y＝f_y′，將式（7）與x＝ξh₀代入式（2），最終得到對稱配筋小偏心受壓柱M_u-N_u的函數(shù)關(guān)系為：

M_u=-0.5αf_cbh₀²λ₁²N_u²+（αf_cbh₀²λ₁-αf_cbh₀²λ₁λ₂-0.5h+a_s） N_u+

αf_cbh₀²λ₂-0.5αf_cbh₀²λ₂²+f_y′A_s′（h₀-a_s′），（8）

可知，對稱配筋的小偏心受壓RC柱的M_u為N_u的二次函數(shù)。

2 對稱配筋偏心受壓RC柱N_u-M_u曲線與影響因素分析

由對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u-N_u函數(shù)關(guān)系可知，已知材料強(qiáng)度與柱截面尺寸時(shí)，任意給定的N_u均存在唯一對應(yīng)的M_u。令N_u連續(xù)取值直至M_u=0，可得到偏心受壓RC柱的M_u-N_u曲線。實(shí)際工程中應(yīng)用對稱配筋偏心受壓RC柱的M_u-N_u曲線時(shí)，通常將自變量N_u與因變量M_u對換，形成偏心受壓RC柱的N_u-M_u曲線。由式（3）（8）可知，影響對稱配筋偏心受壓RC柱承載力的參數(shù)主要為f_y、 f_c、b、h與配筋率ρ。為研究各參數(shù)下偏心受壓RC柱的N_u-M_u曲線，定義1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)柱作為參考基準(zhǔn)，假設(shè)該標(biāo)準(zhǔn)柱截面面積為0.25 m²（截面為正方形，邊長為0.5 m），鋼筋等級(jí)為HRB400，混凝土等級(jí)為C30，單側(cè)配筋面積為15 cm²，ρ＝1.2%。N_u-M_u曲線理論計(jì)算所得最大極限彎矩為M_umax，最大極限軸力為N_umax。按理論公式計(jì)算得到標(biāo)準(zhǔn)柱的M_umax＝456 kN·m，N_umax＝4.6 MN。在標(biāo)準(zhǔn)柱的基礎(chǔ)上，通過變換參數(shù)可得到4組不同鋼筋強(qiáng)度、截面面積、配筋率、混凝土強(qiáng)度的對稱配筋偏心受壓RC柱N_u-M_u曲線，如圖3所示。

由圖3可知：1）M_u＝0時(shí)，取得最大軸力，N_u＝0時(shí)，未取得最大極限彎矩；ξ＝ξ_b，N_u＝αf_cξ_bh₀時(shí)取得最大極限彎矩。2）大偏心受壓，N_u隨M_u的增大而增大；小偏心受壓，N_u隨M_u的增大而減小。3）對任意N_u，均有唯一的M_u與其對應(yīng)，部分M_u會(huì)出現(xiàn)大、小偏心2個(gè)對應(yīng)的N_u。

由圖3可知不同參數(shù)下RC柱的最大極限彎矩M_umax和最大極限軸力N_umax，如表1～4所示。

圖3a）為3條RC柱N_u-M_u曲線，鋼筋強(qiáng)度不同，其他條件與標(biāo)準(zhǔn)柱相同。軸力隨鋼筋強(qiáng)度的減小而減小，HPB300、HRB335、HRB400的相對界限受壓區(qū)高度ξ_b分別為0.576、0.550、0.518，分別在N_u＝1.9、1.8、1.7 MN時(shí)取得3條曲線的最大極限彎矩。由表1可知：鋼筋強(qiáng)度分別為HRB300、HPB335時(shí)，最大極限彎矩分別比標(biāo)準(zhǔn)柱減小21.27%、8.55%，最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱減小8.70%、4.35%。

圖3b）為不同截面面積的4條RC柱N_u-M_u曲線，除截面面積外，其他條件與標(biāo)準(zhǔn)柱完全相同。由表2可知：截面面積為0.16 m²時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱減小50.22%、39.13%；截面面積為0.36 m²時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大75.00 %、43.48%；截面面積為0.49 m²時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大180.48 %、95.65%。

圖3c）為5條RC柱N_u-M_u曲線，配筋率不同，其他條件與標(biāo)準(zhǔn)柱相同。由表3可知：ρ＝0.8%時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱減小17.10%、8.70%；ρ＝1.6%時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大16.89 %、13.64%；ρ＝2.0%時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大33.77 %、18.18%；ρ＝2.4%時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大50.88%、27.27%。

圖3d）為5條RC柱N_u-M_u曲線，混凝土強(qiáng)度等級(jí)不同，其他條件與標(biāo)準(zhǔn)柱相同。N_u＝0時(shí)各曲線M_u=232 kN·m，M_u隨N_u的增大而增大，直至ξ＝ξ_b時(shí)取得M_umax。由表4可知：混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C25時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱減小8.55%、13.04%；混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C35時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大8.11%、13.04%；混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大16.45%、26.09%；混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C45時(shí)，最大極限彎矩和最大極限軸力分別比標(biāo)準(zhǔn)柱增大23.46%、39.13%。

增大材料強(qiáng)度、截面面積、配筋率中的任一項(xiàng)，均可不同程度地提高偏心受壓柱的M_umax與N_umax，按對M_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度、配筋率、截面面積，按對N_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強(qiáng)度、配筋率、混凝土強(qiáng)度、截面面積。

3 對稱配筋偏心受壓RC柱的數(shù)值分析

3.1 數(shù)值分析模型

標(biāo)準(zhǔn)柱的受力簡圖如圖4所示，對應(yīng)的數(shù)值分析模型及應(yīng)變云圖如圖5所示。

標(biāo)準(zhǔn)柱柱底為固定端約束，設(shè)置柱頂為可豎向滑動(dòng)的支座以傳遞軸向壓力N。水平均布荷載q產(chǎn)生固定端負(fù)彎矩M^-與跨中正彎矩M⁺，標(biāo)準(zhǔn)柱柱頂、柱底與柱中均處于偏心受壓狀態(tài)。標(biāo)準(zhǔn)柱底截面的彎矩與軸向壓力均大于柱中截面，柱底截面為控制截面。

采用軟件ANSYS進(jìn)行數(shù)值模擬^[23-25]，對標(biāo)準(zhǔn)柱同時(shí)施加軸力N與均布荷載q，荷載形式為持續(xù)靜力荷載，持續(xù)100 ms。其中，C30混凝土采用SOILD單元，密度為2 500 kg/m³，彈性模量為30 GPa，泊松比為0.2，極限抗拉、抗壓強(qiáng)度分別為30、3 MPa。HRB400鋼筋采用BEAM單元，鋼筋密度為7 850 kg/m³，彈性模量為206 GPa，剪切模量為7 900 GPa，泊松比為0.3。鋼筋的設(shè)計(jì)抗拉強(qiáng)度、屈服抗拉強(qiáng)度分別為360、400 MPa。

3.2 理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果的對比分析

標(biāo)準(zhǔn)柱鋼筋應(yīng)達(dá)到設(shè)計(jì)抗拉強(qiáng)度f_y＝360 MPa。相同情況下，標(biāo)準(zhǔn)柱的數(shù)值分析結(jié)果如圖6所示。

由圖6可知：持續(xù)靜力荷載作用下，受拉鋼筋的最大應(yīng)力、柱底截面最大極限軸力和最大極限彎矩均在第4毫秒時(shí)出現(xiàn)并基本保持不變，數(shù)值分析的最大極限軸力N′_umax＝4 400 kN，與理論計(jì)算結(jié)果的相對差E₁=4.35%（E₁=100%×（N′_umax-N_umax）/N_umax）；數(shù)值分析的最大極限彎矩M′_umax＝408 kN·m，與理論計(jì)算結(jié)果的相對差E₂=10.53%（E₂=100%×（M′_umax-M_umax）/M_umax）；數(shù)值分析的受拉鋼筋應(yīng)力為f_y′＝350 MPa，與理論計(jì)算結(jié)果的相對差E₃=2.78%（E₃=100%×（f_y′- f_y）/f_y）。標(biāo)準(zhǔn)柱的數(shù)值分析結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果相差不大。

不同鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度、截面面積、配筋率下最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果對比如表5～8所示。

由表5～8可知：1）理論計(jì)算的最大極限軸力、最大極限彎矩分別大于數(shù)值分析的最大極限軸力、最大極限彎矩，理論計(jì)算的最大極限彎矩與數(shù)值分析的E₂大于理論計(jì)算的最大極限軸力與數(shù)值分析的E₁；2）各參數(shù)對E₁影響較小，E₁≈5%；3）E₂隨鋼筋強(qiáng)度、配筋率的增大而增大，配筋率對E₂的影響最大。4）混凝土強(qiáng)度、截面面積對E₂的影響較小，混凝土強(qiáng)度、截面面積變化時(shí)E₂≈10%。

E₁、E₂產(chǎn)生的原因?yàn)椋?）數(shù)值分析中網(wǎng)格尺寸、邊界條件、材料模型及參數(shù)選取等因素均會(huì)對計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生一定影響，而理論計(jì)算中各參數(shù)均為理想狀態(tài)，數(shù)值分析結(jié)果小于理論計(jì)算結(jié)果；2）數(shù)值分析的柱頂軸力直接通過混凝土單元的節(jié)點(diǎn)傳遞至柱底截面，鋼筋單元對軸力產(chǎn)生的影響較小，E₁較小。與最大極限軸力不同，最大極限彎矩是由鋼筋與混凝土單元共同作用的結(jié)果，鋼筋與混凝土單元間的接觸等因素會(huì)對最大極限彎矩的數(shù)值分析結(jié)果產(chǎn)生一定誤差，E₂gt;E₁，E₂與鋼筋強(qiáng)度、配筋率間存在密切關(guān)系。鋼筋抗拉強(qiáng)度越大、配筋率越高，其與混凝土單元間的接觸越復(fù)雜，E₂越大。

4 結(jié)論

1）推導(dǎo)對稱配筋偏心受壓RC柱極限彎矩M_u與極限軸力N_u滿足的函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)函數(shù)關(guān)系式繪制N_u-M_u曲線。N_u-M_u曲線受配筋率、截面尺寸、材料強(qiáng)度等因素影響。按對M_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強(qiáng)度、混凝土強(qiáng)度、配筋率、截面面積；按對N_umax的影響從小到大的順序排列依次為鋼筋強(qiáng)度、配筋率、混凝土強(qiáng)度、截面面積。

2）采用軟件ANSYS建立不同參數(shù)對稱配筋偏心受壓RC柱的數(shù)值分析模型，研究柱底截面的最大極限軸力、最大極限彎矩的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值分析結(jié)果間的相對差。研究發(fā)現(xiàn)，各參數(shù)均對最大極限軸力的相對差影響較小，隨各參數(shù)的改變，最大極限軸力的相對差約為5%。因鋼筋與混凝土單元間的相互作用，最大極限彎矩的相對差大于最大極限軸力?；炷翉?qiáng)度、截面面積對最大極限彎矩相對差的影響較小，鋼筋強(qiáng)度、配筋率影響較大，配筋率影響最大。

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The characteristics of N_u-M_u curve and numerical analysis of

eccentrically loaded RC columns with symmetric reinforcement

ZHOU Qing¹， GUO Wei¹， QI Lin²

1.Binzhou Planning amp; Design Research Institute Co.， Ltd.， Binzhou 256600， China;

2.College of Transportation Science and Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China

Abstract：To analyze the influence of parameters such as cross-sectional area， reinforcement ratio， steel bar strength， and concrete strength etc.， the relationship between the ultimate bending moment M_u and the ultimate axial force N_u（N_u-M_u） curve of eccentrically loaded reinforced concrete （RC） columns with symmetrical reinforcement， the functional relationship between M_u and N_u for symmetrically reinforced eccentrically loaded RC columns is derived and the N_u-M_u curve is plotted. Software ANSYS for numerical analysis of RC columns is used to analyze the errors between the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment and the maximum ultimate axial force of the column base section and the theoretical calculation results. The study finds that the ultimate axial force increases with the increase of cross-sectional area， reinforcement ratio， rebar strength， and concrete strength， with the cross-sectional area having the greatest influence， concrete strength"and reinforcement ratio having a smaller influence， and steel bar strength having the smallest influence; the theoretical calculation results of the maximum ultimate axial force and maximum ultimate bending moment are both greater than the numerical analysis results; the error between the theoretical calculation results and the numerical analysis results of the maximum ultimate bending moment is bigger than that of maximum axial force， the former is approximately 10%， while the latter is approximately 5%.

Keywords：eccentrically loaded RC column; symmetric reinforcement; N_u-M_u curve; parameter analysis;" numerical analysis

（責(zé)任編輯：王惠）