例析圖形平移的性質應用

摘要：圖形平移作為初中數(shù)學幾何部分比較基礎的知識點，一方面與旋轉等構成了豐富的圖形變換類型，另一方面有越來越多的中考題以此知識點為基礎命題，且呈現(xiàn)出“新”的特點.因此，掌握圖形平移的性質及其應用尤為關鍵.本文中首先簡要闡述圖形平移的性質，然后從三個方面例析其應用，為課堂教學提供幫助.

關鍵詞：圖形平移；性質；長度；面積

在北師大版八年級下冊數(shù)學第三章“圖形的平移與旋轉”第一節(jié)“圖形的平移”中，介紹了許多與圖形的平移有關的內容，如平移的概念、平移的性質、平移作圖、圖形的坐標變化與平移等，每一個知識點都非常重要.本文著眼平移的性質，以例題分析的形式就其應用進行介紹，以期對教師教學起到拓展和補充作用.

1 圖形平移的性質

北師大版初中數(shù)學教材對幾何圖形的平移及其性質進行了較詳細的描述.如果一個圖形進行了平移，那么平移前后圖形中對應點的連線段既互相平行又相等，而且對應角也相等.這里需注意的是，對應點的連線段可能在一條直線上［1］.

從幾何圖形的平移性質可知，圖形平移前后各邊、角是對應相等的，關鍵是找準對應點、對應角及對應線段，對應點連線段的長度都等于平移的距離.

另外，還需注意兩個方面：

（1）對應線段、對應角必須在平移前、后的兩個圖形中尋找；

（2）平移前、后的兩個圖形是全等圖形.

2 圖形平移的性質應用例析

由上述圖形平移的性質可知，在應用該性質解決問題時，無非就是要處理以下幾個問題：如何確定平移的方向？如何確定平移的距離？如何找準“對應”關系［2］？接下來，通過一些例題分析對圖形平移的性質應用加以說明和介紹.

2.1 求圖形角度和長度問題

例1 如圖1，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=33°.現(xiàn)將Rt△ABC沿著AB的方向向右平移一段距離，使得點C與點F重合，點A與點D重合，點B與點E重合.

（1）求∠E的度數(shù)；

（2）如果AE=9 cm，DB=2 cm，試求CF的長度.

思路分析：（1）△ABC在平移前后，形狀和大小都沒有發(fā)生改變，只是位置發(fā)生了變化，對應邊、對應角都分別相等.由∠E和∠ABC是對應角，求出∠ABC的大小即求出了∠E的大小.

（2）由圖形平移的性質可知，連接點C，F(xiàn)后，CF與BE既互相平行又相等，即將求CF的長轉化為求BE的長度.

解析：（1）∵△ABC是直角三角形，∠A=33°，

∠ACB=90°，

∴∠ABC=57°.

由平移的性質，可得∠E=∠CBA=57°.

（2）如圖2，連接CF.

由平移的性質，可得AD=BE=CF.

∵AE=9 cm，DB=2 cm，

∴AD=BE=（9-2）÷2=3.5（cm）.

∴CF=3.5 cm.

方法總結：應用圖形平移的性質解決圖形的角度和長度問題時，只要抓住平移前后圖形的對應角相等，對應邊平行（或在一條直線上）且相等，就不難得出正確的答案［3］.為此，連接對應點得到一些線段或構造出一些圖形，是解決這類問題時作輔助線的常規(guī)做法.

2.2 求圖形面積問題

例2 如圖3，有四個長方形，它們長和寬均分別為a，b.現(xiàn)對它們進行如下操作：

在圖3①中，先把線段A1A2沿著左水平方向平移1個單位長度，就得到了線段B1B2.線段A1A2和線段B1B2及上下水平方向各一條線段形成了封閉圖形A1A2B1B2（即陰影部分）；

在圖3②中，把折線A1A2A3沿著左水平方向平移1個單位長度，就得到了折線B1B2B3.折線A1A2A3和折線B1B2B3及上下水平方向各一條線段形成了封閉圖形A1A2A3B3B2B1（即陰影部分）.

根據(jù)以上操作回答下列問題：

（1）請你在圖3③中畫一條有兩個折點的折線，并把它向左平移1個單位長度，得到一個封閉圖形后，畫出陰影.

（2）若圖3①，3②，3③中除去陰影部分后剩余部分的面積分別為S1，S2，S3，則S1=；S2=；S3=.

（3）如圖3④，有一塊長方形的草地，草地上修了一條彎曲的水泥路（黑色）.請你猜想草地的面積（白色），并嘗試說明理由.

解析：（1）如圖4①所示，折線A1A2A3A4與折線B1B2B3B4處處互相平行、處處距離相等.充分說明，這兩道折線可通過平移合并成一道折線.所以，將右邊的折線向左平移1個單位長度，就形成了一個封閉圖形（即陰影部分）.

（2）ab-b；ab-b；ab-b.

（3）ab-b.理由：把小路右邊的草地部分向左平移1個單位長度，和左邊部分的草地可以拼成一個長方形，如圖4②所示，它的面積等于原長方形的面積減去右邊長為b、寬為1的長方形的面積.

方法總結：當陰影部分的左、右邊界由直線變?yōu)檎劬€或曲線時，陰影部分由規(guī)則圖形變?yōu)椴灰?guī)則圖形，而不規(guī)則圖形的問題可以通過平移轉化成規(guī)則圖形的問題，從而讓問題得到解決.這種解決問題的思路可稱之為“轉化法”，它體現(xiàn)的是由特殊到一般的數(shù)學思想［4］.如本題中通過平移的方法得到一個規(guī)則的圖形，最終求出了不規(guī)則圖形的面積.

2.3 利用平移確定位置

例3 如圖5所示，甲、乙兩所學校之間相隔一條馬路.

為了使兩校之間的交通更便利，讓兩學校的大門A，B的距離最短，政府現(xiàn)計劃在兩校之間建一座天橋MN.如果你是項目設計師，你認為天橋MN應該怎樣設計？（注意：馬路兩邊可看成互相平行的直線，且天橋和馬路必須互相垂直.）

思路分析：根據(jù)平移的性質，先“過橋”，將MN平移至AA1，連接BA1，與馬路一邊交于點N，然后過點N作AA1的平行線交馬路另一邊于點M，就得到了天橋的位置.

解析：如圖6，將點A按垂直于馬路的方向，平移馬路寬的長度到點A1，連接A1B交馬路靠近點B的一邊于點N，過點N作馬路的垂線，交馬路另一邊于點M，則MN即為應架天橋的地方.

總結方法：利用平移的性質確定位置，主要是根據(jù)相關條件作出平行四邊形.通過平行四邊形的性質實現(xiàn)了邊的平移，也就將原本不在一條直線上的兩邊移至同一條直線上［5］.

3 結語

綜上所述，考查圖形平移性質的應用題型靈活多樣，其解題方法也比較靈活.對于這類問題，充分理解和掌握圖形平移的性質是關鍵，再結合一定的練習題加強和鞏固知識點，如此方能不斷提升學生分析問題和解決問題的能力.

參考文獻：

［1］張文蔚.初中數(shù)學“平移與旋轉”教材分析與教學研究［D］.蘭州：西北師范大學，2007.

［2］周庭芬.平移性質的運用［J］.語數(shù)外學習（初中版七年級），2011（3）：19.

［3］孔偉偉.平移、旋轉在初中數(shù)學中的應用［J］.新課程（中學），2017（6）：92，94.

［4］閆建生.巧妙利用平移性質［J］.語數(shù)外學習（高考數(shù)學），2012（2）：10.

［5］傅曉霞.幾何圖形變換在解題中的應用研究［J］.科學大眾：科學中考，2022（3）：32-34.