例談?chuàng)Q元法妙解“疑難題”

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這種方法就叫做換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化或者變?yōu)槭煜さ男问?，?jiǎn)化計(jì)算和推證.

換元法可以化繁瑣為簡(jiǎn)單、化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式，在方程、不等式、函數(shù)等問題中有著廣泛的應(yīng)用.

1 換元法在實(shí)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用

例1 計(jì)算：2 0203-2 019×2 020×2 021．

分析：觀察題目數(shù)據(jù)，顯然數(shù)值較大，直接計(jì)算非常復(fù)雜，但分析發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)大都在2 020左右，故可以考慮利用換元法.

解析：令2 020=x，則原式=x3-（x-1）x（x+1）＝x3-x3+x＝x，再將代換的數(shù)值復(fù)原，即2 020.

點(diǎn)評(píng)：例1中把一個(gè)較大的數(shù)作了代換，利用換元法將復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的整式運(yùn)算，技巧性較強(qiáng).

變式 計(jì)算：12+13+14+……+12 022·1-12-13-14-……-12 021-1-12-13-14-……-12 02212+13+14+……+12 021.

分析：觀察整個(gè)式子，發(fā)現(xiàn)每個(gè)括號(hào)里面最多含有2 022個(gè)數(shù)，少的含有2 020個(gè)數(shù)，則可考慮設(shè)“元”.設(shè)12+13+14+……+12 021=x即可順利求解.

2 換元法在整式求值中的應(yīng)用

例2 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x+y＝4，試求代數(shù)式x2+y2的最小值．

解析：（均值換元法）由x+y＝4，得x與y的均值為2，所以可設(shè)x＝2+t，y＝2-t，再代入原式換元得x2+y2＝（2+t）2+（2-t）2＝2t2+8≥8，故x2+y2的最小值為8.

點(diǎn)評(píng)：本題的換元沒有明顯的特征，但是在審題過程中可以發(fā)現(xiàn)變化中的不變情況，即x與y的和始終不發(fā)生變化，故可以考慮使用“元”來(lái)表示這兩個(gè)變數(shù)，從而建立不等關(guān)系，確定最小值.

變式 已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，滿足b+c＝8，bc＝a2-8a+32，請(qǐng)判斷△ABC的形狀.

分析：觀察題干，分析特征，找到變化的b，c，發(fā)現(xiàn)不變的情況“b與c的和”，從而可設(shè)b＝4+t，c＝4-t，再代入代數(shù)式中利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解即可.

3 換元法在因式分解中的應(yīng)用

例3 對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x+3）（x2+2x-1）+4進(jìn)行因式分解．

解析：觀察多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式存在共同點(diǎn)，即都含有x2+2x，故可設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝（y+3）（y-1）+4＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2，再將代換的式子還原，即可得原式=（x+1）4.

點(diǎn)評(píng)：這類換元法也稱為“局部換元法”.分析問題時(shí)要注意式子局部特征，這樣處理往往將原式中的字母完全替換掉，減少多項(xiàng)式次數(shù)，便于分解.

變式 請(qǐng)用換元法對(duì)多項(xiàng)式（9x2-6x+3）·（9x2-6x-1）+4進(jìn)行因式分解．

分析：很容易發(fā)現(xiàn)其問題結(jié)構(gòu)中都有多項(xiàng)式9x2-6x，故可設(shè)9x2-6x＝y(tǒng)來(lái)進(jìn)行替換解答．

4 換元法在無(wú)理方程中的應(yīng)用

例4 “通過等價(jià)變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問題的基本思維方式，例如：解方程x-x＝0，就可以利用該思維方式，設(shè)x＝y(tǒng)，將原方程轉(zhuǎn)化為y2-y＝0，得到關(guān)于y的一元二次方程，解出y，再求x，這種方法又叫“換元法”．請(qǐng)你用這種思維方式和換元法解決下面的問題．解方程：x2+2x+4x2+2x-5＝0．

解析：根據(jù)材料分析可設(shè)x2+2x＝y(tǒng)，得x2+2x＝y(tǒng)2，則原方程可變?yōu)閥2+4y-5＝0，從而將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，解關(guān)于y的一元二次方程得y1=-5，y2=1，需注意y的取值范圍是y≥0，最終得原方程的解為x1=2-1，x2=-2-1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于無(wú)理方程，初中生解答起來(lái)非常困難，甚至可以說超出了他們的解題能力.

解決此類問題主要從方程中根號(hào)內(nèi)的式子入手，分析根號(hào)內(nèi)和根號(hào)外的式子是相同還是具有倍數(shù)關(guān)系，從而將二次根式作為“元”進(jìn)行替換，再運(yùn)算即可.

變式 解方程：x2+3x-x2+3x-2=0．

分析：根據(jù)方程中二次根式的特點(diǎn)，設(shè)x2+3x＝y(tǒng)，把原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，注意y的取值范圍是y≥0．

5 換元法在方程組中的應(yīng)用

例5 已知實(shí)數(shù)x，y滿足5x2y2+2x+2y=133，x+y4+2x2y2=51，試求x2+y2的值．

解析：例5在問題結(jié)構(gòu)上存在多個(gè)特點(diǎn)，即都含有xy和x+y，故可設(shè)xy＝a，x+y＝b，

代入原方程組中得關(guān)于a，b的方程組，

從而可解得b＝4，a＝±5，即可求出x2+y2的值為6或26．

本題還可設(shè)x2y2=m，x+y=n進(jìn)行求解，

在解答的過程中可以對(duì)比分析這兩種方法哪一種更簡(jiǎn)捷.

點(diǎn)評(píng)：

單純根據(jù)式子特點(diǎn)直接換元有時(shí)并不能解決問題，因此需要根據(jù)具體問題拓寬思路，轉(zhuǎn)變觀念，

多方位分析其特征進(jìn)行“換元”.同時(shí)，通過一題多解，提升解題能力，培養(yǎng)發(fā)散思維.

變式 若關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2的解為x=10，y=6，求關(guān)于m，n的方程組

5a1（m-3）+3b1（n+2）=c1，5a2（m-3）+3b2（n+2）=c2

的解．

分析：觀察問題結(jié)構(gòu)，和已知方程組進(jìn)行對(duì)比，將它們轉(zhuǎn)化為形式一樣的方程組后，發(fā)現(xiàn)僅靠相同多項(xiàng)式的代換難以完成任務(wù).因此需轉(zhuǎn)變思想，設(shè)5（m-3）＝x，3（n+2）＝y(tǒng)，則將所求方程組可轉(zhuǎn)化為a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c1，根據(jù)題意可以直接寫出其解為

x=10，y=6，即

5（m-3）=10，3（n+2）=6，從而快速得到答案.

6 換元法在分式方程中的應(yīng)用

例6 解分式方程：2xx-1+x-12x+2＝0．

分析：本題可按照常規(guī)解法，將分式方程化為整式方程進(jìn)行解答，但解答過程中發(fā)現(xiàn)計(jì)算仍比較復(fù)雜.再仔細(xì)觀察問題結(jié)構(gòu)，

發(fā)現(xiàn)xx-1和x-1x恰好互為相反數(shù)，故可考慮使用換元法.

解析：設(shè)x-1x＝y(tǒng)，則xx-1=1y，原方程可變?yōu)?y+12y+2＝0，兩邊同乘2y，得y2+4y+4＝0，從而將分式方程轉(zhuǎn)化為解關(guān)于y的一元二次方程，即可迅速得到答案，最終原分式方程的解為x=13.

點(diǎn)評(píng)：解答此類問題關(guān)鍵是要分析分式間分子和分母的關(guān)系，從而判斷出特征，再利用換元法轉(zhuǎn)化為整式方程即可求解.

變式 解分式方程：2x2+1x-2x2x2+1＝1．

分析：根據(jù)兩個(gè)分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可設(shè)2x2+1x＝y(tǒng)，則原方程可化為y-2y＝1即可求解.

7 換元法和其他知識(shí)點(diǎn)的融合應(yīng)用

例7 關(guān)于x的方程x2-2|x|+2＝m恰好有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的值．

解析：本題可利用數(shù)形結(jié)合法，將求方程的解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題.設(shè)y1＝x2-2|x|+2，y＝m，原方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則y1，y的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，如圖1可用圖象快速求得m的值為2．

點(diǎn)評(píng)：此類已知含參數(shù)的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問題，通常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題進(jìn)行求解，根據(jù)題意畫出圖象是解答此類問題的關(guān)鍵.

變式 若方程|x2-6x|-a＝0有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解析：將原方程進(jìn)行變形，得a＝|x2-6x|.令y1=a，y2=|x2-6x|，作出y2＝|x2-6x|的圖象（如圖2）.由圖象可知，要使方程|x2-6x|-a＝0有四個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則直線y1=a與y2的圖象需有4個(gè)交點(diǎn)，

則0＜a＜9．

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中巧妙地運(yùn)用換元法來(lái)解題，不僅能讓課堂教學(xué)變得更加生動(dòng)，提高解題速度，還能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).