例析二次函數(shù)與幾何綜合題的最值問題

摘要：二次函數(shù)與幾何綜合題中的最值問題難度較大，需要對(duì)這類題型進(jìn)行歸納.此類題能較好地考查學(xué)生的綜合能力，解決這類題型最好方法是厘清題意，借助相關(guān)的概念、性質(zhì)與思想，對(duì)線段最值問題、周長最值問題及圖形面積最值問題進(jìn)行分析，最終解決問題.

關(guān)鍵字：二次函數(shù)；幾何綜合題；最值

二次函數(shù)的最值問題，主要涉及線段長度、圖形周長及圖形面積等最值問題.線段長度最值及圖形周長最值問題主要是要尋找何時(shí)線段最短，通常是找出線段一個(gè)端點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，將對(duì)稱點(diǎn)與線段的另一個(gè)端點(diǎn)連接，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來求值；圖形面積最值問題通常要先根據(jù)題意列出圖形面積的函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)知識(shí)求出最值；然后根據(jù)最值求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).下面是筆者總結(jié)出來的有關(guān)求解二次函數(shù)與幾何綜合題中最值問題的兩種方法.

1 二次函數(shù)中線段最短及周長最小問題

二次函數(shù)的綜合題中經(jīng)常出現(xiàn)線段和的最小值、圖形周長的最小值、以及線段差的最大值問題， 解決這類題型所用的基本事實(shí)就是“兩點(diǎn)之間，線段最短”.該類題型通常是已知一條直線和直線同旁的兩個(gè)點(diǎn)，要在直線上尋找一點(diǎn)，使得直線同旁的兩個(gè)點(diǎn)與該直線上的點(diǎn)之間連線段之和最小或者之差最大.解決該類問題的方法往往是通過作其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)來解決.

1.1 二次函數(shù)中線段最短問題

例1 如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1-6，0）， B（1+6，0），直線y=x-1與拋物線交于C，D兩點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PC最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析：要在對(duì)稱軸上找點(diǎn)P，使得PA+PC最小，則要作出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，而點(diǎn)A和點(diǎn)B剛好關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，因此只需連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P即可.

解：（1）設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a（x-x1）（x-x2），

則y=-（x-1-6）（x-1+6）=-x2+2x+5.

（2）存在，理由如下：

由（1）易知，拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)B，連接CB交對(duì)稱軸直線x=1于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

連接PA，因?yàn)镻A=PB，所以PA+PC=PB+PC≥BC，當(dāng)P，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC最小，且最小值為線段BC的長度.

聯(lián)立y=-x2+2x+5和y=x-1求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，-3）.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b，

把B（1+6，0），C（-2，-3）代入y=kx+b求得直線BC的表達(dá)式為

y=（3-6）（x-1-6）.

當(dāng)x=1時(shí)，y=（3-6）（x-1-6）=6-36.

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6-36）.

解決此類問題的關(guān)鍵是通過軸對(duì)稱在二次函數(shù)對(duì)稱軸上找一個(gè)點(diǎn)，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定何時(shí)取得最值，然后聯(lián)立直線與對(duì)稱軸所在直線的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可.

1.2 二次函數(shù)中圖形周長的最值問題

例2 如圖2，已知拋物線y=-x2-4x+5與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于B，D兩點(diǎn)，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，5）．直線m是拋物線的對(duì)稱軸，與直線l交于點(diǎn)M．

（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E，F(xiàn)是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F在點(diǎn)E下方），且EF=2，連接AD，DE，AF．求四邊形ADEF周長的最小值.

分析：求四邊形ADEF的周長時(shí)，可以看出線段AD和線段EF的長度是固定值，因此只需求出AF+DE的最小值即可.由圖可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸m對(duì)稱，所以DE=EC，而對(duì)稱軸與y軸是平行的，因此只需要構(gòu)造一個(gè)平行四邊形EFQC即可.由圖可得AQ與對(duì)稱軸m有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F移動(dòng)到這個(gè)交點(diǎn)時(shí)，AF+DE=AF+EC=AF+FQ=AQ即為最小值.

解：（1）由題意求出A（-5，0），C（0，5），直線l的表達(dá)式為y=-x+1.

（2）拋物線y=-x2-4x+5的對(duì)稱軸為直線m=-2，連接CE，過點(diǎn)F作FQ∥CE交y軸于點(diǎn)Q，連接AQ.

因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-4，5），所以點(diǎn)C，D關(guān)于直線m對(duì)稱，則CE=DE.

因?yàn)镋F∥CQ，CE∥FQ，

所以四邊形CEFQ是平行四邊形．

于是FQ=CE，CQ=EF=2，

則AF+DE=AF+FQ．

當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到AQ與直線m的交點(diǎn)時(shí)，AF+DE最小，且最小值為線段AQ的長．

在Rt△AOQ中，AO=5，OQ=CO-CQ=3，

由勾股定理得AQ=AO2+OQ2=52+32=34.

因?yàn)锳（-5，0），D（-4，5），

所以AD=26.

故四邊形ADEF周長的最小值為26+34+2.

此類二次函數(shù)的最值問題，一般都有共同的特征，即有兩條邊是變化的，其余邊長是固定值；因此，要通過作對(duì)稱點(diǎn)在直線上尋找一個(gè)交點(diǎn)，從而把變化的兩條邊轉(zhuǎn)換在一條線段上，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定周長最小的動(dòng)點(diǎn)位置.

2 二次函數(shù)中圖形面積的最值問題

解決二次函數(shù)中圖形面積的最值問題，關(guān)鍵是求幾何圖形的面積，通常是將幾何圖形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差，而三角形面積的求法常有以下幾種方法.

法1：當(dāng)三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，通常以坐標(biāo)軸所在的邊為底，過頂點(diǎn)作底邊的垂線，而頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的絕對(duì)值就是此三角形的高.如圖4，AB在x軸上，過點(diǎn)C作三角形的高線CD，即可表示出三角形面積的函數(shù)表達(dá)式.

法2：當(dāng)三角形沒有邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，則作輔助線將三角形的面積轉(zhuǎn)化為其他三角形面積的和或差進(jìn)行求解.通常作平行于坐標(biāo)軸的直線，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同底的三角形.此時(shí)三角形的面積等于兩個(gè)同底的三角形的面積和或差.

如圖5，過點(diǎn)B作BE平行于y軸交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CG平行于x軸交BE的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AD平行于x軸交BE于點(diǎn)D.則得到以BE為底的兩個(gè)三角形△BEC和△BEA，線段CG是△BEC的高，線段AD是△BEA的高，

則S△ABC=S△BEA+S△BEC=12·BE·AD+12·BE·CG=12·BE·（xC-xA）.

例3 如圖6，拋物線y=ax2+53x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，2）和點(diǎn)D（4，-2），

E是直線y=-13x+2與拋物線圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若M是拋物線圖象上的點(diǎn)，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME.求四邊形COEM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

分析：四邊形COEM的面積等于△CEM和△CEO的面積之和.△CEO的一條邊在坐標(biāo)軸上，而△CEM的所有邊都不在坐標(biāo)軸上，根據(jù)法1和法2即可列出四邊形COEM面積的函數(shù)表達(dá)式.

解：（1）根據(jù)題意，把C（0，2），D（4，-2）代入y=ax2+53x+c中，

解得a=-23，c=2，

故y=-23x2+53x+2.

（2）如圖7，過點(diǎn)M作y軸的平行線交CE于點(diǎn)H，設(shè)Mm，-23m2+53m+2，則Hm，-13m+2.

所以MH=-23m2+53m+2--13m+2

=-23m2+2m.

聯(lián)立y=-23x2+53x+2和y=-13x+2，

得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）.

所以S四邊形COEM=S△CEO+S△CME=12×2×3+12MH×3=-m2+3m+3=-m-322+214.

故當(dāng)m=32時(shí)，S四邊形COEM有最大值214，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為32，3.

解決此類二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值問題，關(guān)鍵是將幾何圖形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差，求出其表達(dá)式，然后利用三角形的邊在坐標(biāo)軸上及邊不在坐標(biāo)軸上的方法進(jìn)行求解.當(dāng)邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，以坐標(biāo)軸上的邊為底，此時(shí)三角形的高就是另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的絕對(duì)值；當(dāng)三角形的邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，過一個(gè)頂點(diǎn)作平行于x軸或y軸的直線，此時(shí)的三角形被分成兩個(gè)同底的三角形，高為另外兩個(gè)頂點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的絕對(duì)值之和或者絕對(duì)值之差，然后只需根據(jù)坐標(biāo)特征表示出底，就可以列出幾何圖形面積的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而利用函數(shù)求出最大值即可.

3 總結(jié)

求線段和、差、圖形周長的最值問題，通常通過作對(duì)稱點(diǎn)來解決；求圖形面積的最值問題，將幾何圖形的面積轉(zhuǎn)化為三角形面積的和或差后，針對(duì)三角形是否有邊在坐標(biāo)軸上進(jìn)行相應(yīng)處理.