借題發(fā)揮，提升復(fù)習(xí)功效

摘要：中考題都是命題者深思熟慮的智慧結(jié)晶，是集數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想于一體的典型試題.養(yǎng)成鉆研中考題的好習(xí)慣，既可以對(duì)知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)有效的梳理和復(fù)習(xí)，也能對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用方向有一個(gè)正確預(yù)測(cè)，站在更高的角度去面對(duì)新考題的挑戰(zhàn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新發(fā)展、新突破和新提升，不斷積累數(shù)學(xué)解題的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)數(shù)學(xué)解題的智慧，提高數(shù)學(xué)解題的效率，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：中考題；鉆研；數(shù)學(xué)智慧；核心素養(yǎng)

中考題是集數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)智慧于一體的典型試題，學(xué)生的解題水平是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)效果、教師教學(xué)成果的雙向檢測(cè).因此，加強(qiáng)對(duì)中考題的研究，有利于積累解題經(jīng)驗(yàn)、解題方法，進(jìn)而全面、規(guī)范地實(shí)施解答，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

1 問題生成

（2020·遂寧）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別是線段BC，AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：△BDE≌△FAE；

（2）求證：四邊形ADCF為矩形．

設(shè)計(jì)說明：第（1）問知識(shí)重心是三角形全等的判定，是對(duì)“AAS，ASA，SAS，SSS”四個(gè)基本判定定理的考查.解答時(shí)，通過中點(diǎn)，探尋元素“S”；通過平行線的性質(zhì)，確定元素“A”，結(jié)合圖形的特點(diǎn)，深挖隱含條件，為全等的證明做好條件的有效補(bǔ)充.第（2）問是矩形的判定，借助這一問的解答，鞏固對(duì)矩形判定定理的理解與應(yīng)用，同時(shí)也為一題多解提供了展示平臺(tái).

第（2）問的具體證法如下.

證法1：（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.）

由題意知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC，因此AF=DC.又AF∥CD，則四邊形ADCF是平行四邊形.由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，可得∠ADC=90°.故四邊形ADCF是矩形.

證法2：（三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.）

由題意，可知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以BD=DC，故AF=DC.因?yàn)锳F∥CD，所以四邊形ADCF是平行四邊形，于是AD∥CF.因?yàn)锽D=DC，AB=AC，所以∠ADC=90°.又AF∥CD，AD∥CF，所以∠DAF=90°，∠DCF=90°.故四邊形ADCF是矩形.

證法3：（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.）

如圖2，連接DF，由題意知△BDE≌△FAE，所以AF=BD.又因?yàn)锳F∥CB，所以四邊形ABDF是平行四邊形，于是AB=DF=AC.故四邊形ADCF是矩形.

2 引申變式

2.1 引申新結(jié)論

如圖3，設(shè)AC與BF交于點(diǎn)G，從相似的視角可以拓展引申出如下新結(jié)論.

結(jié)論1：△AFG∽△CBG.

結(jié)論2：CG=2AG.

從面積的視角可以拓展引申出如下新結(jié)論.

結(jié)論3：設(shè)△AFG的面積為S1，△BDE的面積為S2，四邊形ADCF的面積為S四邊形ADCF，四邊形ABCF的面積為S四邊形ABCF，則S1S2=23，S1S四邊形ADCF=16，S1S四邊形ABCF=19.

設(shè)計(jì)說明：運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)、同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底的比、矩形的性質(zhì)、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，就可以得到上述新結(jié)論.

2.2 變式新思考

變式 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上的一點(diǎn)，E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)A作BC的平行線交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，已知BC=6，AC=8．

（1）當(dāng)AB=4AD時(shí)，①如圖4，若ED⊥BC，求DF的長(zhǎng);②如圖5，DE與AC相交于點(diǎn)H，若AD=DH，求DFCH的值．

（2）當(dāng)AB=nAD時(shí)，若△EHC與△ABC相似，求DFCH的值．（直接寫出答案）

解析：（1）①如圖4，因?yàn)椤螦CB=90°，AF∥BC，所以∠CAF=90°.又

ED⊥BC，所以四邊形ACEF是矩形，則EF=AC=8.

因?yàn)锳F∥BC，所以△ADF∽△BDE，

可得DFDE=ADDB，于是DFEF=ADAB，因此DF=ADAB×AC=14×8=2．

②如圖5，因?yàn)锳D=DH，所以∠DAH=∠DHA=∠EHC，故90°-∠DAH=90°-∠EHC，

即∠DEB=∠DBC，故DB=DE.

因?yàn)锽C=6，AC=8，所以AB=AC2+BC2=82+62=10.

又因?yàn)锳B=4AD，所以AD=14AB=52，因此DE=DB=152.

因?yàn)锳F∥BC，所以△ADF∽△BDE，可得DFDE=ADDB，因此DF=AD=52，于是EH=DE-DH=DB-AD=152-52=5.因?yàn)椤螪EB=∠DBC，∠ECH=∠BCA=90°，所以△ECH∽△BCA，可得EHBA=HCAC，于是HC=AC·EHBA=810×5=4.

故DFCH=524=58．

（2）因?yàn)椤螦CB=90°，BC=6，AC=8，所以AB=AC2+BC2=82+62=10.

因?yàn)锳B=nAD，所以AD=1nAB=10n，DB=10n-10n.

（?。┊?dāng)△EHC∽△BAC時(shí)，

可得∠HEC=∠ABC，∠EHC=∠BAC=∠AHD，

所以DE=DB=10n-10n，DH=AD=10n.

于是EH=DE-DH=10n-10n-10n=10n-20n.

因?yàn)锳F∥BC，所以∠HEC=∠F，∠ABC=∠BAF，則∠F=∠BAF，

因此DF=AD=10n.

因?yàn)椤鱁HC∽△BAC，所以EHAB=HCAC，

可得HC=AC·EHAB=810×10n-20n=8（n-2）n.

故DFCH=10n×n8（n-2）=54n-8．

（ⅱ）當(dāng)△EHC∽△ABC時(shí)，

可得∠EHC=∠ABC=∠AHD.因?yàn)椤螦BC+∠BAC=90°，所以∠AHD+∠BAC=90°，即∠ADH=90°，

故DE⊥AB.

因?yàn)锳F∥BC，所以∠FAD=∠ABC.又∠BCA=∠ADF=90°，所以△ADF∽△BCA，可得DFAC=ADBC，于是DF=AC·ADBC=86×10n=403n.

因?yàn)锳F∥BC，所以△ADF∽△BDE，可得DFDE=ADDB=1n-1，于是DE=（n-1）DF=40n-403n.

因?yàn)锳F∥BC，∠ADH=∠ADF=∠BCA=90°，所以∠HAD=∠AFD，

因此△ADH∽△FDA，可得ADDF=DHAD，

于是DH=AD2DF=3n40×100n2=152n，

所以EH=DE-DH=40n-403n-152n=80n-1256n.

因?yàn)椤鱁HC∽△ABC，所以EHAB=HCBC，

于是HC=BC·EHAB=610×80n-1256n=16n-252n.

故DFCH=403n×2n16n-25=8048n-75．

綜上所述，DFCH的值為54n-8或8048n-75.

3 啟示思考

中考題是命題者在研究了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的具體要求的基礎(chǔ)上，結(jié)合時(shí)下的發(fā)展形式，融合自己的數(shù)學(xué)智慧與思考結(jié)晶得出的成果，它是知識(shí)、方法、思想的綜合體，真正體現(xiàn)了知識(shí)是基礎(chǔ)、方法是手段、思想是靈魂的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界.研究中考題，往往能有重要的收獲，更能激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，進(jìn)而提高復(fù)習(xí)的針對(duì)性，學(xué)會(huì)預(yù)測(cè)考題的發(fā)展趨勢(shì)，掌握解題的基本思想和基本方法，為提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).