幾何探究、拓展問題建模的行成于思

近年來(lái)江蘇省各地市的中考數(shù)學(xué)試題中，有關(guān)幾何的探究、拓展問題是常見的命題方式.這類試題多以計(jì)算、推理和證明的形式呈現(xiàn)，往往是試卷中的壓軸題，考查學(xué)生的綜合學(xué)科素養(yǎng).

作為九年級(jí)數(shù)學(xué)教師，為了做好備考工作，做到胸有成竹，筆者認(rèn)真研析了近幾年全國(guó)各地試卷中有關(guān)幾何探究、拓展問題的題目，發(fā)現(xiàn)這類試題常融于三角形或四邊形中.而解決問題通常需要以幾何圖形中點(diǎn)的變化建立某種特定的等量關(guān)系，通過(guò)相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和推理，將幾何圖形量化，從而達(dá)成解決問題的目的.下面結(jié)合2021年江蘇省連云港市中考試卷第27題，具體談?wù)効捶?

1 典例展示，挖掘中考命題的內(nèi)涵

典例 問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB，AE，CD于點(diǎn)M，P，N.判斷線段DN，MB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

問題探究：在“問題情境\"的基礎(chǔ)上，

（1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F.求∠AEF的度數(shù).

（2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，連接AN，將△APN沿著AN進(jìn)行翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P′處.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AD的中點(diǎn)為S，求P′S的最小值.

問題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，M，N分別為邊AB，CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊B′C′恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C′N交AD于點(diǎn)F.分別過(guò)點(diǎn)A，F(xiàn)作MN的垂線，垂足分別為G，H.若AG=52，請(qǐng)直接寫出FH的長(zhǎng).

試題賞析：試題用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言將試卷的壓軸幾何問題展現(xiàn)給學(xué)生，正方形是一種方正的圖形，而“問題情境”中兩條垂直的直線讓“方正”有了打破常規(guī)的寓意.而“問題探究”中，直線復(fù)雜化、向外展開化，讓試題變得“撲朔迷離”，給學(xué)生新鮮感，是一種鼓動(dòng)，也可能是一種壓力.“問題探究”和“問題拓展”中給出正方形邊長(zhǎng)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.這種精心策劃打破正方形的常規(guī)之美、以及數(shù)學(xué)的思想折射是試題真實(shí)的內(nèi)涵，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體體現(xiàn).

2 典例剖析，研究問題的切入點(diǎn)

典例是一道中考?jí)狠S幾何試題，要求解決四個(gè)方面的問題，其設(shè)置的難度呈逐漸增大態(tài)勢(shì)，說(shuō)明試題具有相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)高度的綜合性.問題情境要求通過(guò)推理說(shuō)明線段DN，MB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，是正方形分割為直角三角形的“化整為零”的過(guò)程.問題探究分為兩個(gè)問題：

（1）要求計(jì)算∠AEF的度數(shù)，是利用特殊直角三角形突破，還是利用銳角三角函數(shù)釋疑？這需要學(xué)生能夠很好地去把握.

（2）求P′S的最小值是最值問題，也是幾何情境中變換為“兩點(diǎn)之間線段最短”公理的映射.問題拓展則打破了前面計(jì)算推理的過(guò)程，讓學(xué)生直接寫出FH的長(zhǎng)，是計(jì)算推理積累的過(guò)程，也是問題探究升華的過(guò)程.

簡(jiǎn)單的試題剖析足以說(shuō)明試題的問題情境、問題探究和問題拓展是在形式上復(fù)雜化和在推理上遞進(jìn)化的過(guò)程，下面進(jìn)行試題的解法探究.

對(duì)于問題情境：判斷線段DN，MB，EC之間的數(shù)量關(guān)系，首先可以從圖形線段長(zhǎng)度出發(fā)，EC最長(zhǎng)，而MN是在正方形內(nèi)部上下平行移動(dòng)的，故不能直接比較DN，MB的長(zhǎng)短.因此，可以將DN，MB轉(zhuǎn)化到正方形的一條邊上，有圖5中的四種形式.

其中，圖5（1）和圖5（2）是過(guò)MN端點(diǎn)作的邊AB垂線的方法，而圖5（3）和圖5（4）是過(guò)正方形角的頂點(diǎn)作MN的平行線的方法.這兩種方法都是將DN與BM剖析轉(zhuǎn)換到正方形的同一邊上，利用“夾在平行線間的平行線段相等”作輔助線.圖5（4）的推理方法是DN+MB=RB，若線段滿足關(guān)系DN+MB=EC，則RB=CE，BE=AR，逆推可得△ABE≌△DAR.而已經(jīng)有AD=AB，通過(guò)∠ARD，∠BEA都與∠BAE互余，證明∠ARD=∠BEA，即得△ABE≌△DAR.將逆向思維改為正向思維就是解題過(guò)程.

反思：作輔助線時(shí)，圖5（3）和圖5（4）將DN，MB平移到同一條線段上，而圖5（1）和圖5（2）則是要減去中間的線段，盡管二者最終結(jié)果相同，但利用線段的差需要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能完整解答.因此，在教學(xué)中需要加強(qiáng)把線段轉(zhuǎn)化到同一線段上方法的應(yīng)用.

對(duì)于問題探究（1）：連接AO，過(guò)點(diǎn)O作AB的平行線交AD，BC分別于點(diǎn)X和Y，如圖6.

由四邊形ABYX是矩形，知XY=AB=AD.

由BD為正方形ABCD的對(duì)角線，得∠ADB=45°.

由Rt△DXO是等腰三角形，得DX=XO，AX=OY.

由“垂足P恰好為AE的中點(diǎn)”，得AO=EO.

因此Rt△AXO≌Rt△OYE，則∠XAO=∠YOE，故∠XAO+∠AOX=∠YOE +∠AOX =90°.從而得出∠AOE=90°，即△AOE是等腰直角三角形，

于是∠AEF=45°.

反思：在幾何問題的求解中，多以30°，45°和60°為計(jì)算結(jié)果.正方形對(duì)角線分割圖形是“對(duì)稱”的，而“垂足P恰好為AE的中點(diǎn)”說(shuō)明MN是AE的垂直平分線，于是AO=EO，只要確定△AOE是等腰直角三角形，問題就能迎刃而解.

問題探究（2）在這里就不贅述了.

問題拓展：按圖7作輔助線.根據(jù)折疊的軸對(duì)稱性可知，EG=AG=52，則AE=5.又AB=4，在Rt△ABE中，BE=AE2-AB2=52-42=3，所以CE=4-BE=1.

再根據(jù)∠B=∠ECZ=90°，∠AEB=∠ZEC，推出△AEB∽△ZEC，可得CEBE=ZEAE，

則ZE=13AE=53.故AZ=AE+ZE=203.

又由∠AGM=∠B=90°，∠MAG=∠EAB，可得△AGM∽△ABE，則AMAE=AGAB，于是AM=258，因此B′M=BM=AB-AM=78.

由折疊圖形可知AB′=BE=3，AC′=1，∠AFC′，∠MAB′都與∠DAC′互余，因此∠AFC′=∠MAB′，故△AFC′∽△MAB′，從而推出AF=257，則DF=4-257=37.

再根據(jù)AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN，得AZ∥FP，可推出△DFP∽△DAZ，則FPAZ=DFAD，求出FP=57，故FH=12FP=514.

3 典例反思，構(gòu)建探究、拓展問題的模型

以上典例的解法探究是初中階段常規(guī)的解題方法，從分析過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，試題將諸多知識(shí)點(diǎn)整合在一起，將全等三角形、相似三角形、折疊出的對(duì)稱圖形等融為一體.尤其問題探究（2）是對(duì)最值情境的解答，可用“兩點(diǎn)之間線段最短”的公理進(jìn)行分析.因此，解決好探究、拓展問題，還需要學(xué)生有較強(qiáng)的幾何綜合能力，這需要在備考過(guò)程中不斷錘煉.

總之，在初中階段，數(shù)學(xué)的探究、拓展問題實(shí)際上是建立在簡(jiǎn)單圖形之上，經(jīng)過(guò)不斷的變形、拓展，最終形成獨(dú)立的問題模型.也就是說(shuō)，探究、拓展問題可以單獨(dú)作為一道題目出現(xiàn).所以，在備考過(guò)程中可以將這類試題分解開來(lái)，在不同的層面各個(gè)擊破.