平行線中拐點問題的解題突破與探究

摘要：本文中以一道平行線中拐點問題為例，對“拐點在平行線內(nèi)”和“拐點在平行線外”兩種情形展開探究，得出解答此類題目主要分為兩個步驟.首先，判斷拐點與平行線的相對位置關(guān)系；其次，過拐點作平行線，引入單拐點模型，利用平行線單拐點結(jié)論求解.同時，提出了平行線相關(guān)知識的教學(xué)建議.

關(guān)鍵詞：解題方法；平行線與拐點位置關(guān)系；教學(xué)啟示

1考題解析

考題 （2022年蘇州模擬）

問題情景：

如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù).

小明的思路：過點P作PE∥AB，通過平行線的性質(zhì)來求∠APC的度數(shù).

（1）按小明思路，易求得∠APC的度數(shù)為""" .

（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當(dāng)點P在B，D兩點之間運動時，問∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（3）拓展延伸：在（2）的條件下，如果點P在B，D兩側(cè)運動時（點P與點O，B，D三點不重合），請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系.

思維突破：本題以線段、角、相交線與平行線為背景命題，讓學(xué)生開展幾何探究，屬于動態(tài)幾何問題.解題的關(guān)鍵在于把握圖形運動規(guī)律，采用“化動為靜”的策略［1］，構(gòu)建幾何模型，利用性質(zhì)定理求解.下面逐問展開探究.

1.1 第（1）問的探究

第（1）問，求∠APC的度數(shù)，問題中隱含了平行線拐點問題中的“鉛筆”模型，構(gòu)建平行線提取其中“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”關(guān)系即可求得角的度數(shù).

如圖3，過點P作PE∥AB.因為AB∥CD，所以PE∥AB∥CD.故∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°.因為∠PAB=130°，∠PCD=120°，所以∠APE=50°，∠CPE=60°.故∠APC=∠APE+∠CPE=110°.

1.2 第（2）問的探究

第（2）問是平行線拐點問題從特殊到一般的探究，本題過點P構(gòu)建平行線轉(zhuǎn)變成“M”型，提取其中“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”關(guān)系，實現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，得出∠APC與α，β之間的關(guān)系.

如圖4，過點P作PE∥AB交AC于點E.因為AB∥CD，所以AB∥PE∥CD.因此∠APE=α，∠CPE=β.

所以∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

1.3 第（3）問的探究

第（3）問，同樣通過構(gòu)建平行線，將拐點問題轉(zhuǎn)化為平行線問題.本題過點P構(gòu)建平行線轉(zhuǎn)變成“鷹嘴”型.要找∠APC與α，β之間的關(guān)系，由于P點會發(fā)生位置變化，可知點P在BD延長線上運動時會存在一種關(guān)系，在DB延長線上運動時會存在另一種關(guān)系，因此，必須分情況討論利用平行線的性質(zhì)找出角的關(guān)系.

如圖5，當(dāng)點P在BD的延長線上運動時，過點P作PE∥CD交ON于點E.因為AB∥CD，所以PE∥AB∥CD.于是∠CPE=β，∠APE=α.由此可得，∠APC=∠APE-∠CPE=α-β.

如圖6，當(dāng)點P在DB的延長線上運動時，過點P作PE∥AB交AO于點E.因為AB∥DC，所以AB∥PE∥CD.于是∠APE=α.∠CPE=β.由此可得，∠CPA=∠CPE-∠APE=β-α.

2 深入探究

上述考題，涉及了眾多的知識點和幾何模型，如平行線的性質(zhì)、角的轉(zhuǎn)化、動點問題，以及“鉛筆”模型，考查學(xué)生綜合分析和解決問題的能力.其中，第（3）問為考題的核心，主要考查學(xué)生對幾何圖形運動規(guī)律的把握，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀素養(yǎng).從本質(zhì)上看，可以將其歸為平行線中的拐點問題，下面對此類型問題作進(jìn)一步的深入探究.

2.1 平行線中拐點問題歸納

對于平行線中的拐點問題，需要關(guān)注兩點：一是平行線的對數(shù)和拐點的個數(shù)；二是兩者的相對位置關(guān)系.特別是平行線與拐點的相對位置關(guān)系，將直接決定圖形的形狀，以及適用的平行線相關(guān)性質(zhì).下面以一組平行線和一個拐點的相對關(guān)系為例，分兩類共四種情形加以探究.

（1）一組平行線單拐點在兩條平行線之間

拐點在平行線之間，其圖形會出現(xiàn)兩種情況，如圖7-1、圖7-2.若AB∥CD，則∠BED與∠B和∠D之間的關(guān)系，可以通過拐點作其中一條直線的平行線進(jìn)行探究.

對于圖7-1，過點E作EF∥AB（如圖7-3），因為AB∥CD，所以EF∥CD，則∠BED=∠B+∠D.

對于圖7-2，過點E作EF∥AB（如圖7-4），則∠B+∠D+∠BED=360°，這就是考題第（1）問中的模型.

（2）一組平行線單拐點在兩條平行線之外

拐點在平行線之外，其圖形也會出現(xiàn)兩種情況，如圖8-1、8-2.若AB∥CD，則∠BED與∠B和∠D之間的關(guān)系，可以通過拐點作其中一條直線的平行線進(jìn)行探究.

對于圖8-1，過點E作EF∥AB，則∠B=∠D+∠BED.

如圖8-2，過點E作EF∥AB，則∠B+∠D-∠BED=180°.

2.2 考題關(guān)聯(lián)探究

平行線拐點問題在初中數(shù)學(xué)中十分常見，其中平行線與拐點之間的規(guī)律在解題中應(yīng)用廣泛.不同情形的平行線與拐點位置關(guān)系之間有不同的聯(lián)系，但本質(zhì)上同為平行線性質(zhì)的應(yīng)用問題.在實際命題中，通常采用幾何變換的方式，下面結(jié)合實例進(jìn)一步探究.

問題 已知直線AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點.

（1）若E是AB，CD內(nèi)一點.

①如圖9所示，請寫出∠BME，∠DNE和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②如圖10所示，若∠1=13·∠BME，∠2=13∠DNE，請利用①的結(jié)論探究∠MFN與∠MEN的數(shù)量關(guān)系.

（2）若E是AB，CD外一點.

①如圖11所示，請直接寫出∠EMB，∠END和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系；

②如圖12所示，已知∠BMP=14∠EMB，在射線MP上找到點G，使得∠MGN=14∠E，請在圖中畫出點G的大致位置，并求出∠ENG∶∠GND的值.

分析：上述四個小問題都屬于平行線單拐點問題，實則就是平行線單拐點的兩種情形，只需根據(jù)總結(jié)的規(guī)律過拐點作平行線即可求解.

解：（1）該情形為拐點在平行線內(nèi).

①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°.

證明：如圖9-1，過點E作EF∥AB.因為AB∥CD，所以EF∥CD，于是∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，從而∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°.

②如圖10-1，過點F作FG∥AB.因為AB∥CD，所以FG∥CD，則∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，于是∠MFN=∠1+∠2.又因為∠1=13∠BME，∠2=13∠DNE，所以∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2.又因為∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，所以3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°.

（2）①∠EMB，∠END和∠MEN之間的數(shù)量關(guān)系為∠DNE-∠BME=∠MEN.

理由如下：如圖11-1，過點E作EF∥AB.

因為AB∥CD，所以EF∥CD.故∠DNE=∠FEN，

∠BME=∠FEM.

又因為∠FEN-∠FEM=∠MEN，

所以∠DNE-∠BME=∠MEN.

②點G的大致位置如圖12-1所示.

設(shè)MG與NE交于點Q，NG與AB交于點F，設(shè)∠GMB=α，∠G=β.因為∠BMP=14∠EMB，∠G=14∠E，所以∠EMQ=3α，∠E=4β.因為∠EQM=∠GQN，所以∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ-∠G=4β+3α-β=3α+3β.因為∠1是△GFM的外角，所以∠1=∠G+∠GMF=β+α.又因為AB∥CD，所以∠GND=∠1=β+α.

故∠ENG∶∠GND=（3α+3β）∶（β+α）=3∶1.

評析：上述四個小問題均為平行線拐點探究題，涉及到拐點在平行線內(nèi)和拐點在平行線外兩類情形，問題的解析可以分如下兩個步驟展開.

第一步：判斷拐點與平行線的相對位置關(guān)系；

第二步：過拐點作平行線，引入單拐點模型，利用平行線單拐點結(jié)論求解.

3 教學(xué)建議

上文中以一道平行線拐點考題為例，立足本題的核心問題（第3問），圍繞拐點在平行線內(nèi)和拐點在平行線外的兩類情形展開深度探究并總結(jié)規(guī)律、構(gòu)建模型，這對深入理解和運用平行線性質(zhì)，強化和鞏固平行線知識有一定的幫助.下面基于教學(xué)實踐，對平行線相關(guān)內(nèi)容提出幾點教學(xué)建議.

3.1 關(guān)注知識，探尋本質(zhì)

上述考題以平行線單拐點問題為背景開展幾何探究，拐點是平行線問題的重要形式，對掌握和運用平行線的性質(zhì)及判定十分重要.以上述考題為例，過點E作EF∥AB，構(gòu)造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補進(jìn)行推導(dǎo).在實際教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識本身，深入理解并探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)；要創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境引導(dǎo)學(xué)生理解平行線的性質(zhì)和判定.以上通過拐點構(gòu)造平行線來促進(jìn)學(xué)生理解平行線拐點特性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考問題，并能夠發(fā)現(xiàn)線段、角、相交線與平行線之間的規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀素養(yǎng).

3.2 歸納模型特征，發(fā)展數(shù)學(xué)思想

在考試中，幾何壓軸題的命題，往往會綜合眾多幾何模型，考查學(xué)生利用模型對知識點融合的能力.因此，解題教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問題中已有的模型，通過觀察和分析提取問題中已有模型的特征，充分利用已有模型的性質(zhì)；引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化和化歸的方法來轉(zhuǎn)化問題條件，滲透轉(zhuǎn)化和化歸的思想方法.如上述考題實則以“平行線和三角形”為背景創(chuàng)設(shè)命題，該問題中的模型具有“平行線拐點”特性，包括單拐點在平行線內(nèi)和單拐點在平行線外兩類情形.教學(xué)中要積極引導(dǎo)學(xué)生從已有條件中提取模型，分析和歸納模型的核心特性，并結(jié)合相關(guān)幾何知識加以證明，強化對數(shù)學(xué)模型的理解，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界的核心素養(yǎng).

3.3 總結(jié)規(guī)律，積累經(jīng)驗

考題第（2）問中第②小問本質(zhì)上是考查單拐點在平行線外的情形，并且結(jié)合三角形外角性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)計算，這是問題的本質(zhì)特征，也是解決問題的關(guān)鍵所在.上述基于平行線單拐點不同情形問題進(jìn)行了深度探究，并立足兩類情形總結(jié)規(guī)律及解題策略，其探究過程具有一定的參考價值.教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生基于問題本質(zhì)特征開展深度分析與探究，總結(jié)解題規(guī)律，積累解題經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］黃玉霞，蔡德清，陳紀(jì)韋華.由何而來，為何而解，因何而去——一道幾何壓軸題命制的實踐與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（14）：48-50.