談?wù)n本習(xí)題到中考題的轉(zhuǎn)變

摘要：從課本習(xí)題入手，通過對(duì)課本習(xí)題進(jìn)行一系列的變式得到中考題，并給出變式的基本方法，讓學(xué)生感受變式的過程，激發(fā)學(xué)生自主探究的熱情，以更好地掌握反比例函數(shù)相關(guān)題型的規(guī)律，從而更好地解決問題.

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題；變式；反比例

在2022年最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，要讓學(xué)生經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法與過程，體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本辦法.課本習(xí)題在教學(xué)中具有范例作用，其結(jié)構(gòu)、條件和結(jié)論都具有代表性，具有極強(qiáng)的遷移性和發(fā)展性，現(xiàn)行很多中考題大都立足于教材，經(jīng)過加工編制出反映本質(zhì)、體現(xiàn)思維的探究性題目.

反比例函數(shù)作為中考數(shù)學(xué)的?？純?nèi)容，其解析式中的k具有特殊的雙重性，它既具有代數(shù)意義，也有幾何意義，是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn).反比例函數(shù)是最基本的初等函數(shù)，其圖象是一種特殊的雙曲線，它是學(xué)習(xí)二次函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ).

通過讓學(xué)生經(jīng)歷教材習(xí)題的變式過程，幫助學(xué)生在遇到綜合性較強(qiáng)的難題時(shí)能夠拆解題目，追本溯源，最終得到正確解答.本文中將結(jié)合人教版九年級(jí)下冊(cè)第二十六章“反比例函數(shù)”習(xí)題26.1中的第3題第（3）問進(jìn)行變式.

1 控制變?cè)?，體現(xiàn)代數(shù)意義

原題 若點(diǎn)（1，3）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則k的值為""" .

此題解法簡(jiǎn)單，考查“點(diǎn)在函數(shù)圖象上求函數(shù)解析式”，將點(diǎn)代入解析式即可得k=3.解法雖簡(jiǎn)單，但這其中卻蘊(yùn)含著方程思想.k=xy是一個(gè)k關(guān)于x，y的關(guān)系式，題設(shè)給出的點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)際上是對(duì)x，y進(jìn)行了限定，此時(shí)k為一個(gè)定值.而k實(shí)際上由兩個(gè)變?cè)餐瑳Q定，若其中一個(gè)變?cè)欢ǎ琸的值也就無法確定，要想確定k的值或k的取值范圍就需要給出x，y的限定條件.由此我們的變式思路就形成了，可以采取控制變?cè)姆绞綄?duì)題目進(jìn)行改編.而變?cè)年P(guān)系式在初中階段通常通過二元一次方程來體現(xiàn)，而二元一次方程（即直線方程）又與一次函數(shù)（其圖象為直線）緊密相連，因此在對(duì)變?cè)P(guān)系進(jìn)行限制的時(shí)候，可以借助一次函數(shù)對(duì)變?cè)P(guān)系進(jìn)行描述.由此可以形成以下變式.

1.1 控制一個(gè)變?cè)?/p>

變式1 若一次函數(shù)y=x+2圖象與函數(shù)y=kx的圖象交于點(diǎn)（m，3），求k的值.

變式2 若點(diǎn)（1，3）在一次函數(shù)y=mx+2的圖象上，點(diǎn)（m，3）在函數(shù)y=kx的圖象上，求k的值.

變式3 若點(diǎn)（1，3）在一次函數(shù)y=x+2m的圖象上，點(diǎn)（m，3）在函數(shù)y=kx的圖象上，求k的值.

變式4 若點(diǎn)（1，3）在一次函數(shù)my=x+2的圖象上，點(diǎn)（m，3）在函數(shù)y=kx的圖象上，求k的值.

由于一次函數(shù)中可以安置變?cè)奈恢靡还灿腥齻€(gè)，分別為x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，因此可以形成三種不同的表述，但解題方法不變，答案也未曾發(fā)生變化.

1.2 控制兩個(gè)變?cè)?/p>

變式5 （南充市2019年中考題15題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3m，2n）在直線y=－x+1上，點(diǎn)B（m，n）在雙曲線y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式6 若點(diǎn)A（1，2n）在直線y=－3mx+1上，點(diǎn)B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式7 若點(diǎn)A（1，1）在直線2ny=－3mx+1上，點(diǎn)B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

變式8 若點(diǎn)A（1，1）在直線y=3mx+2n上，點(diǎn)B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

1.3 控制三個(gè)變?cè)?/p>

以控制兩個(gè)變?cè)械淖兪?（即南充市2019年中考題）為基礎(chǔ)展開.

變式 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3m，2n）在直線y=－x+b上，點(diǎn)B（m，n）在y=kx上，則k的取值范圍為""" .

若b為常數(shù)，則k的表達(dá)式是一個(gè)含b的多項(xiàng)式；若b不是常數(shù)，則此時(shí)需要分類討論求一元二次函數(shù)的最值.其他變式可參照前面的變式方式，對(duì)參數(shù)的位置進(jìn)行調(diào)整，得到不同的題設(shè)條件.以上變式在控制變?cè)獋€(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上，改變了參數(shù)的位置，無非是借助一次函數(shù)這個(gè)掩體構(gòu)造變?cè)g的關(guān)系或者是將變?cè)闹惦[藏其中，這與現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法的符號(hào)化特征緊密相連，要求學(xué)生能夠去除掩體，抽象出具體的數(shù)量關(guān)系，在數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算.

2 層層遞進(jìn)，展現(xiàn)k的幾何意義

反比例函數(shù)中的k的幾何意義，是過每一個(gè)分支上任意點(diǎn)向x軸、y軸分別作垂線，垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積.反比例函數(shù)在中考中儼然是考查的熱點(diǎn)，不僅考查代數(shù)方面的知識(shí)，更多的是對(duì)圖象、性質(zhì)與概念的綜合考查，而綜合性較強(qiáng)的題目往往是面積問題.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的結(jié)合在代數(shù)意義上通常是借助一次函數(shù)構(gòu)造變?cè)P(guān)系，而在圖象類題目中通常是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)結(jié)合形成基本圖形.

中考題中許多復(fù)雜的求解問題都是在基礎(chǔ)圖形的演變中得到的，如圖1是課本中關(guān)于k的幾何意義的圖形解釋，通過一系列的變化和增加反比例函數(shù)的分支以增加試題難度.為了在眾多的變形中找到內(nèi)在聯(lián)系，得到通解通法，需要我們能夠熟練掌握反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)圖形.常見的基礎(chǔ)圖形如圖2所示，有同一函數(shù)單支三角形和雙支三角形、不同函數(shù)異側(cè)雙支三角形和同側(cè)雙支三角形模型.

如2021年湖州的中考題便是單支與雙支三角形的結(jié)合：

（2021湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=1x（xgt;0）的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OA，OA的延長線交反比例函數(shù)y=kx（kgt;0，xlt;0）的圖象于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作AE垂直于y軸，垂足為E.

（1）如圖3-1，過點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)k=1時(shí)，求證：四邊形AEFO是平行四邊形；連接BE；若k=4，求△BOE的面積.

（2）如圖3-2，過點(diǎn)E作EP∥AB，交反比例函數(shù)y=kx的圖像于點(diǎn)P，連接OP，試探究：對(duì)于確定的實(shí)數(shù)k，動(dòng)點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，△POE的面積是否會(huì)變化？說明理由.

分析：此題題干中出現(xiàn)了兩個(gè)反比例函數(shù)，而實(shí)際上對(duì)于三角形面積的求解我們是利用單支三角形的模型，因此需要由雙支三角形來尋求單支三角形面積求解的相關(guān)數(shù)據(jù)，是單支三角形和雙支三角形模型的綜合應(yīng)用.

上述題目的變化過程實(shí)質(zhì)上也是通過增加或改變雙曲線的位置來達(dá)到構(gòu)造不同三角形的目的，從而增加了問題難度，形成迷蒙感.從這些基礎(chǔ)圖形中總結(jié)歸納出反比例函數(shù)中幾何問題的通解通法.利用模型進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生更加容易掌握不同場(chǎng)景中反比例函數(shù)k的幾何意義，并且模型由淺入深循序漸進(jìn)地增加難度，能夠充分激發(fā)學(xué)生的思考欲望與自主學(xué)習(xí)的熱情.通過這樣的思維訓(xùn)練，學(xué)生能夠自己再次增加雙曲線的分支構(gòu)造不同的模型，進(jìn)行自主探究.

教育的目的在于將學(xué)生培養(yǎng)成為社會(huì)需要的人.教育的主體是學(xué)生，教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生能夠經(jīng)歷成長，見證成長，完成成長.在課堂上創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生自主探究，倡導(dǎo)生生交流合作，師生積極互動(dòng).只有讓學(xué)生能夠感受到知識(shí)的層層遞進(jìn)，才能使學(xué)生真正掌握知識(shí)并且擁有自主變式的能力，才能展現(xiàn)出在面對(duì)全新試題時(shí)的從容不迫.在變式教學(xué)中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課標(biāo)要求，有目的、有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生參與變式，并能夠舉一反三，勇于提出自己的想法.