為了推動(dòng)“因材施教”這一教學(xué)目標(biāo)的有效實(shí)施,教師應(yīng)不斷地提升自身的命題能力,借助具有針對(duì)性、導(dǎo)向性、研究性的題目來(lái)提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此,教師需要深入研究數(shù)學(xué)命題技巧,研究學(xué)生實(shí)際學(xué)情,以此通過(guò)設(shè)計(jì)具有層次性、針對(duì)性的問(wèn)題,讓不同的學(xué)生都能有所發(fā)展、有所成長(zhǎng).筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)際就當(dāng)前數(shù)學(xué)命題現(xiàn)狀及命題來(lái)源談幾點(diǎn)自己的感受和認(rèn)識(shí).
1 數(shù)學(xué)命題現(xiàn)狀分析
數(shù)學(xué)命題是一件很費(fèi)時(shí)費(fèi)力,對(duì)教師的能力要求較高的工作,需要教師花時(shí)間和精力去研究數(shù)學(xué)命題技巧.在教學(xué)過(guò)程中,很多教師不會(huì)自己命題,或不愿花時(shí)間和精力自己命題,而是直接從網(wǎng)上或復(fù)習(xí)資料中“拿來(lái)”.數(shù)學(xué)命題往往被認(rèn)為是參與命制各類考試試題的教師的“專利”.
另外,有些命題者命制的數(shù)學(xué)命題存在這樣或那樣的問(wèn)題,比如:有的題目忽視學(xué)生實(shí)際學(xué)情,偏離學(xué)生的生活常識(shí)和學(xué)科聯(lián)系;有的命題盲目地追求新題、難題;有的練習(xí)題比較隨機(jī),同類題目重復(fù)度高,缺乏系統(tǒng)性和科學(xué)性;等等.這些問(wèn)題將會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的發(fā)展,影響學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,影響教學(xué)目標(biāo)的順利達(dá)成.
2 命題來(lái)源分析
在命制數(shù)學(xué)題目時(shí),很多教師苦惱于命題的來(lái)源,其實(shí)許多命題就源于身邊,如學(xué)生的錯(cuò)誤,學(xué)生的困惑,教材中的習(xí)題、定理,等等.在教學(xué)中,教師既要用好教材資源,又要處理好課堂生成性資源,從而通過(guò)有效的整合、提煉、改編,使之轉(zhuǎn)化為適合學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)問(wèn)題,以此發(fā)揮命制試題的教學(xué)價(jià)值,提升教學(xué)質(zhì)量.
2.1 從學(xué)生的錯(cuò)誤中總結(jié)
學(xué)生在學(xué)習(xí)中往往會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,若對(duì)這些錯(cuò)誤進(jìn)行深入剖析,不難發(fā)現(xiàn)這些錯(cuò)誤有一些共性特點(diǎn),因此對(duì)這些錯(cuò)誤的分析和糾正既是重要的教學(xué)資源,也是重要的命題資源.
例1 解一元二次方程:3x(x-1)=2(x-1).
本題是學(xué)習(xí)“一元二次方程解法”后的一道課后練習(xí),其考查的是運(yùn)用因式分解法解方程.很多學(xué)生在解題時(shí)直接將方程的左右兩邊同時(shí)除以x-1,使得解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.又如,在解一元二次方程4(x-3)2-x(x-3)=0時(shí),有些學(xué)生刻意進(jìn)行移項(xiàng),再將方程的兩邊同時(shí)除以x-3,可見(jiàn)部分學(xué)生并未真正理解等式的基本性質(zhì).以上錯(cuò)誤既暴露了學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題,又為數(shù)學(xué)試題的命制提供了寶貴的資源.基于此,教師可將題目改編成改錯(cuò)題,這樣既增加了題目的新鮮感,又能讓學(xué)生通過(guò)“辨一辨”找到問(wèn)題的癥結(jié),深化對(duì)等式基本性質(zhì)的理解,有效避免錯(cuò)誤再次發(fā)生.具體改編題目如下.
改編 一天,在學(xué)習(xí)了一元二次方程后,小明給小強(qiáng)出了“解一元二次方程(x-1)2=2(x-1)”這道題.小強(qiáng)給出了如下求解過(guò)程:
方程兩邊同時(shí)除以x-1,得x-1=2.
移項(xiàng),得x=3.
所以方程的解為x1=x2=3.
小明知道小強(qiáng)的答案是錯(cuò)的,但是卻不知道到底錯(cuò)在哪里,你能幫幫他嗎?
這樣通過(guò)展示錯(cuò)誤讓學(xué)生主動(dòng)尋找錯(cuò)誤,“以錯(cuò)制錯(cuò)”有利于避免或減少錯(cuò)誤的再次發(fā)生.同時(shí),通過(guò)命題形式的變化,給枯燥乏味的解方程問(wèn)題增添了新鮮感,也有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
2.2 從學(xué)生的疑惑中提煉
學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中會(huì)對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行追問(wèn),可見(jiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生了疑惑和聯(lián)想,這是學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的表現(xiàn),這些內(nèi)容就是寶貴的命題資源.在教學(xué)中,教師要及時(shí)捕捉并加以合理利用,將其轉(zhuǎn)化為命題素材,以此通過(guò)具體應(yīng)用幫助學(xué)生排疑解惑,提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力.
例2 如圖1,在△ABC中,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=100°,求∠α的值.
本題給出后,教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考,然后進(jìn)行集中講解.在講解過(guò)程中,教師利用幾何畫(huà)板拖動(dòng)點(diǎn)C,學(xué)生會(huì)觀察到∠A和∠α的度數(shù)也會(huì)隨著點(diǎn)C的變化而變化,此時(shí)學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn),∠A和∠α的度數(shù)會(huì)不會(huì)存在某種數(shù)量關(guān)系呢?觀察圖1可知,∠α是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線所構(gòu)成的角,若它是外角的角平分線所構(gòu)成的,又會(huì)存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?若一個(gè)角是外角,一個(gè)角是內(nèi)角呢?基于以上疑問(wèn),教師將其改編成具體問(wèn)題,讓學(xué)生通過(guò)具體操作去思考和領(lǐng)悟.
改編1 如圖2,在△ABC中,OB,OC分別平分∠ABC和∠ACB,探究∠A和∠BOC的數(shù)量關(guān)系.
改編2 如圖3,已知BO平分∠DBC,CO平分∠BCE.
①若∠A=80°,則∠O=""" ;②∠A與∠O存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?
改編3 如圖4,已知BO平分∠ABC,CO平分∠ACD,∠A與∠O存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?
這樣將學(xué)生的疑問(wèn)轉(zhuǎn)化為專題,使零散的知識(shí)點(diǎn)變得系統(tǒng)化,有利于完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在教學(xué)中,教師要鼓勵(lì)學(xué)生去聯(lián)想、去類比、去探索,讓學(xué)生在探究中掌握新知識(shí),形成新的數(shù)學(xué)思想.
2.3 根據(jù)教材中的定理拓展
在概念、定理等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中,為了調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂的積極性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷概念、定理等內(nèi)容的形成過(guò)程,在此過(guò)程中學(xué)生也會(huì)提出許多問(wèn)題,在答疑解惑的過(guò)程中,也可以形成許多命題素材[3].
在學(xué)習(xí)了角平分線性質(zhì)定理的逆定理后,學(xué)生提出了這樣的疑問(wèn):為什么一定要強(qiáng)調(diào)角內(nèi)部的點(diǎn)呢?基于學(xué)生的疑問(wèn),筆者設(shè)計(jì)如下探究題供學(xué)生探究.
例3 有的學(xué)生認(rèn)為,對(duì)于“在角的內(nèi)部,到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”這一命題中,不需要提及“在角的內(nèi)部”.那么,這個(gè)條件是否真的“多余”呢?現(xiàn)在我們結(jié)合具體問(wèn)題一起來(lái)研究一下.問(wèn)題如下:
(1)如圖5,已知直線l1,l2相交于點(diǎn)O,請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)畫(huà)出所有到l1,l2距離相等的點(diǎn)所在的直線.
(2)如圖6,請(qǐng)?jiān)谄矫鎯?nèi)找一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到l1,l2,l3三條直線的距離均相等,這樣的點(diǎn)P共有幾個(gè)?
這樣,通過(guò)深度探究既讓學(xué)生理解了定理中給出“角的內(nèi)部”的必要性,又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個(gè)點(diǎn)若在外部會(huì)存在怎樣的結(jié)論,有效拓寬了學(xué)生的思維,提升了思維的靈活性和變通性.
2.4 根據(jù)教材中的習(xí)題改編
例習(xí)題是鞏固知識(shí)、強(qiáng)化技能、發(fā)展思維的重要載體.因此,在教學(xué)中教師應(yīng)認(rèn)真研究例習(xí)題,并通過(guò)有效的變式改編發(fā)揮例習(xí)題的示范、啟發(fā)作用,讓學(xué)生更好地理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí),提高教學(xué)有效性.
例4 如圖7,△ABC和△ECD均為等邊三角形,△EBC可以看作是△DAC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱得到的,請(qǐng)說(shuō)明得到△EBC的過(guò)程.
學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)△EBC可以看作是△DAC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的.大多數(shù)學(xué)生獨(dú)立完成后,筆者將題目進(jìn)行改編,形成一個(gè)更具探究性的問(wèn)題.
變式 已知點(diǎn)C,A,D在同一條直線上,∠ABC=∠ADE=α,線段BD,CE交于點(diǎn)M.
(1)如圖8,若AB=AC,AD=AE,問(wèn):①線段BD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系?②求∠BMC的大小(用α表示);③連接AM,求證:AM平分∠CMD.
(2)如圖9,若AB=BC=kAC,AD=ED=kAE,則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為""" ,∠BMC=""" (用α表示).
該題是例4的一種變形,在變形的過(guò)程中削弱了已知條件,將等邊三角形變?yōu)榈妊切?已知條件弱化后,其難度有所提升,不過(guò)因?yàn)橛星懊骖}目的鋪墊,學(xué)生可以通過(guò)類比順利找到解決問(wèn)題的突破口.這樣既鞏固了學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn),又發(fā)散了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)了學(xué)生歸納類比的數(shù)學(xué)思想,有利于學(xué)生解題能力的提升.
可見(jiàn),學(xué)生和教材就是高品質(zhì)的命題來(lái)源,教師應(yīng)該善于傾聽(tīng)學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑和爭(zhēng)議,善于挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤,進(jìn)而通過(guò)對(duì)這些課堂生成性資源的深度挖掘,豐富命題資源.同時(shí),教師要認(rèn)真分析教材,通過(guò)對(duì)命題的拓展延伸和例習(xí)題的多角度探究來(lái)獲得命題靈感,理解設(shè)計(jì)者的真正意圖,以此讓試題更適合學(xué)情,更接地氣,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)素養(yǎng)獲得全面提升.