分類討論思想在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用

摘要：近年來，分類討論的問題已經(jīng)成為各地中考壓軸試題的熱門考點， 這類問題學生在解答中極易出現(xiàn)漏解.本文中就分類討論思想在初中數(shù)學各個專題中的應(yīng)用淺談應(yīng)用策略.

關(guān)鍵詞：分類討論；初中數(shù)學；解題；應(yīng)用

在初中數(shù)學教學過程中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生對分類討論思想了解不夠深入，把握不夠牢固，分析問題比較片面，導(dǎo)致問題解決不徹底.本文中筆者根據(jù)自身教學實踐，就分類討論思想在初中數(shù)學各個專題中的應(yīng)用進行探討研究.

1 分類討論思想在絕對值問題中的運用

由絕對值的概念可知，絕對值可用來表示數(shù)軸上兩點之間的距離，但無法明確這兩點的具體位置，對此類問題，我們就需要進行分類討論后再確定相應(yīng)的值.

例1 解決下面的問題：

（1）如果|x+1|=2，求x的值；

（2）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-3與5之間，求|a+3|+|a-5|的值；

（3）當a="" 時，|a-1|+|a+5|+|a-4|的值最小，最小值是"""" ．

點撥：顯然，例1中的每一個問題都涉及到了絕對值，由于絕對值里的式子不知是正還是負，因此需要進行分類討論.

（1）由|x+1|＝2，可得x+1=2，或x+1=-2，解得x=1，或x=-3.

（2）中因為已經(jīng)明確表示數(shù)a的點位于-3與5之間，故可以判斷a+3和a-5的正負，則不需要進行分類討論，可直接根據(jù)正負情況去掉絕對值進行解答.

（3）中沒有明確數(shù)a的具體大小，無法直接判斷a-1，a+5，a-4的正負，這就需要利用三個零點從四個方面進行分類討論，再根據(jù)具體的取值分析最小值即可.

從例1的分析可知，在遇到數(shù)軸上點的位置不明確時，就需要考慮使用分類討論思想進行解答，從而將絕對值符號去掉并輕松解題［1］.

2 分類討論思想在二次根式中的運用

在涉及有關(guān)二次根式的計算與化簡問題時，常常會遇到形如a2的式子，如何對這類式子進行化簡，則需要進行分類討論.

例2 若代數(shù)式（2-a）2+（a-4）2=2，求a的值．

點撥：若對代數(shù)式進行化簡，則要去掉根號，根據(jù)a2=a，將問題轉(zhuǎn)化為含有絕對值的問題來處理，結(jié)合例1的分析可考慮利用分類討論思想解題.

（2-a）2+（a-4）2＝|2-a|+|a-4|，再分別從a＜2，2≤a＜4，a≥4三個方面進行分類討論，進而化簡求值.

在解決與二次根式有關(guān)的求數(shù)的平方根或者化簡二次根式等問題都要注意分類討論思想的運用.

3 分類討論思想在方程中的運用

在一些與方程有關(guān)的問題中，若方程含有字母參數(shù)，根據(jù)題干我們無法直接判斷參數(shù)的情況，從而無法判斷方程的類型，對下一步的問題解答造成麻煩，這個時候就需要進行分類討論［2］.

例3 已知關(guān)于x的方程（m+1）x2-（m-2）x+m4＝0．

（1）若方程有實數(shù)根，求m的取值范圍；

（2）已知x1，x2為方程的兩個實數(shù)根，且x21-x22＝0，求m的值．

點撥：第（1）問只是說明這是關(guān)于x的方程，從方程式可以看出未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，但由于二次項系數(shù)m+1有可能為0，因此可以從m+1≠0和m+1=0兩方面判斷該方程是一元二次方程或者一元一次方程.根據(jù)方程特點，可整理分析得到Δ≥0或m+1＝0兩種情況，再解不等式或方程求出m的取值范圍即可．

此類題型主要問題是概念指代不清，存在類似問題的還有函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，都需要考慮分類討論.

4 分類討論思想在不等式中的運用

在解決不等式的有關(guān)問題時，也常常遇到由abgt;0或ablt;0來判斷a，b符號的問題，根據(jù)同號為正、異號為負的法則，需要我們針對具體情況進行分類討論，

如當ab＞0時，有agt;0，bgt;0，或alt;0，blt;0.兩種情況.

例4 解一元二次不等式：x2-4＞0.

點撥：將x2-4分解因式，得x2-4＝（x+2）·（x-2），則原不等式轉(zhuǎn)化（x+2）（x-2）＞0即可.根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，進行分類討論，

則有x+2gt;0，x-2gt;0，或x+2lt;0，x-2lt;0，進而解得一元二次不等式x2-4＞0的解集為x＞2或x＜-2．

在計算過程中出現(xiàn)同號為正、異號為負的情況時，都需要從兩個方面進行計算，此時要關(guān)注分類討論思想的體現(xiàn)，以防漏解或缺解.

5 分類討論思想在幾何圖形中的應(yīng)用

幾何圖形中常見的分類討論往往集中在等腰三角形的判定、相似三角形的判定、與圓相關(guān)的圖形位置判斷等方面.涉及幾何圖形的分類討論問題往往融合在函數(shù)中，故處理相關(guān)問題時也要注意分類討論［3］.

例5 已知∠AOB＝80.5°，∠AOD＝12∠AOC，∠BOD＝3∠BOC（∠BOC＜50°），求∠BOC的度數(shù)．

點撥：根據(jù)題干敘述，無法直接判斷OC，OD的位置，從而無法進行計算，因此本題需要根據(jù)題干情況進行分類討論. 根據(jù)題意分析，可以得到符合要求的有三種情況，針對存在的三種情況，畫出相應(yīng)的圖形，然后進行計算，即可得到∠BOC的度數(shù)［4］．

例6 如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，AD＝21，DC＝12，動點P從點D出發(fā)，沿線段DA方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB以每秒1個單位長度的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動，設(shè)運動時間為t s．

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

點撥：顯然，第（2）問中以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，需要分三種情況討論：①PQ＝BQ；②BP＝BQ；③PB＝PQ．根據(jù)勾股定理最終求得t＝72或t＝163時，以B，P，Q三點為頂點三角形是等腰三角形．

例7 如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，Q為BC的中點，動點P在線段AD邊上以每秒2個單位長度的速度由點A向點D運動，設(shè)動點P的運動時間為t s．在AD邊上是否存在一點R，使得以B，Q，R，P四點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

點撥：題目中要求探究的點R在什么位置，我們一下子搞不清，故考慮分類討論，可分為兩種情況.一是點P在點R的左側(cè)，四邊形BQRP是菱形，此時BP=BQ=10，根據(jù)勾股定理求得AP＝6，則DP=12，再列方程求出此時的t值即可；二是點R在點P的左側(cè)，四邊形BQPR是菱形，此時BR=BQ=10，AP＝6+10＝16，再列方程求出t值.

結(jié)合上述五個方面的研究發(fā)現(xiàn)，在解答數(shù)學問題的過程中遇到一些點或線位置不明確、圖形不固定的情況時，要考慮分類討論，讓問題解答更加全面.

總之，在初中數(shù)學問題研究中，充分運用分類討論思想更能深刻挖掘?qū)W生的生活體驗，引導(dǎo)他們從多個角度感知、分析問題情境，更多地激勵學生開動腦筋，運用新思想新方法，拓展思維，從而培養(yǎng)學生多角度全方位的解題習慣，全面提升數(shù)學核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］顧宣峰.分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用［J］.高中數(shù)理化，2021（S1）：20.

［2］任建平.分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用探究［J］.數(shù)理天地（初中版），2023（13）：37-38.

［3］王珍.分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用［J］.中學數(shù)學，2023（12）：73-74.

［4］孫高傳.分類討論思想在初中數(shù)學解題教學中的運用［J］.第二課堂（D），2022（2）：38-39.