提高初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的途徑

摘要：講究學(xué)習(xí)方法，提高學(xué)習(xí)效率是學(xué)生在初中階段學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵要素.在學(xué)習(xí)時(shí)，有意識(shí)尋找數(shù)學(xué)的美，便會(huì)激起學(xué)生的情感體驗(yàn)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；對(duì)一些具有典型性、規(guī)律性和普遍性的錯(cuò)誤題例進(jìn)行深入剖析，有利于提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；從巧思妙解中得到啟發(fā)，可以發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，不斷形成學(xué)生個(gè)人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)；合理使用評(píng)價(jià)表，讓學(xué)生以榜樣同學(xué)為參照，精準(zhǔn)把握自己的不足，使學(xué)習(xí)更有指向性.

關(guān)鍵字：學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；收集錯(cuò)例；巧思妙解；自我評(píng)價(jià)

近幾年隨著學(xué)生關(guān)鍵能力培養(yǎng)方式的不斷推進(jìn)，學(xué)習(xí)與考試評(píng)價(jià)中突出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的地位與意義.受傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式的影響，很多學(xué)生把握不好數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通，主觀上都能認(rèn)真按教師的要求去做，但由于方法不當(dāng)，學(xué)習(xí)效率低下，因而數(shù)學(xué)成績(jī)一直未能提高.時(shí)間久了，付出的努力很多，但隨著學(xué)業(yè)質(zhì)量檢測(cè)效果不佳次數(shù)的增加，最終也失去了學(xué)習(xí)信心.

在初中學(xué)段，講究學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率是每位學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵要素之一.下面談一談筆者在多年教學(xué)中的一些看法和見解.

1 激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣

任何有意義的活動(dòng)都是有動(dòng)機(jī)的，而動(dòng)機(jī)是由需要引起的，動(dòng)機(jī)是連續(xù)需要和有意義的活動(dòng)的媒介，需要包括社會(huì)的和精神的.就學(xué)習(xí)而論，可以是為報(bào)效祖國(guó)學(xué)好本領(lǐng)而學(xué)習(xí)，為將來(lái)考入大學(xué)而學(xué)習(xí)，為得到家長(zhǎng)、親戚、朋友、老師的好評(píng)而學(xué)習(xí)，為獲得同學(xué)的好評(píng)而學(xué)習(xí)，等等.

引起動(dòng)機(jī)的主要因素有內(nèi)部動(dòng)力因素、目標(biāo)引力因素、外部壓力因素，這三種因素互相聯(lián)系，不可分割，它們對(duì)產(chǎn)生高尚、正確、積極的動(dòng)機(jī)都起著促進(jìn)作用.

由于數(shù)學(xué)的抽象性容易給人以枯燥乏味的感覺，而且數(shù)學(xué)課程前后知識(shí)間的鏈接關(guān)系較為明顯，因此激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣尤為重要.

例如，當(dāng)學(xué)生解一道對(duì)他來(lái)說(shuō)比較困難的數(shù)學(xué)題時(shí)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間的思考后，他終于獨(dú)立地解出來(lái)了.這時(shí)，他體驗(yàn)到一種成功感，這種情感是從體驗(yàn)困難到體驗(yàn)成功的突變中獲得的.教師要善于引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的努力，發(fā)展發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，并能一步步地強(qiáng)化和提高這種能力，使之形成引導(dǎo)學(xué)生成長(zhǎng)的內(nèi)在需求，直至上升到興趣層面、情感層面，使之在學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展中起到巨大的作用.

同樣，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美時(shí)，便會(huì)激起其情感體驗(yàn)，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，推動(dòng)其繼續(xù)向前探索！

例1 如圖1，以直角三角形的三條直角邊為直徑，在同一側(cè)向外作半圓，證明：所得到兩個(gè)月形面積之和等于直角三角形的面積.

證明：設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，兩個(gè)月形面積分別為S1，S2，直角三角形的面積為S.則

S1+S2

=12πa22+12πb22-12πc22-S

=18π（a2+b2-c2）+S.

因?yàn)閍2+b2=c2，所以a2+b2-c2=0.

故S1+S2=S.

這個(gè)命題是希臘著名幾何學(xué)家希波克拉圖提出來(lái)的.題目中圖形曲直映襯，簡(jiǎn)潔而委婉，呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)獨(dú)特的美麗，但學(xué)生看到這么復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，會(huì)產(chǎn)生畏難情緒.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察、感知、理解圖形與數(shù)量關(guān)系的過(guò)程中，找出“美麗”背后的“本質(zhì)”，一步步剝繭抽絲，最終豁然開朗，得到簡(jiǎn)單易懂的證明過(guò)程，讓學(xué)生既受到鼓舞，也能印象深刻.

例2 如圖2，A，B兩村要在公路l旁建一個(gè)糧倉(cāng).問要建在什么地方才能使糧倉(cāng)到兩村的路程和最短？

解：如圖3，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)C，則只要在C處建糧倉(cāng)就可以滿足要求.

理由很簡(jiǎn)單，只要在l上任選一點(diǎn)C′，則有AC+BC=A′C+BC=A′B≤A′C′+C′B.

這種解法簡(jiǎn)單，且具有實(shí)際意義，可以讓學(xué)生體會(huì)生活中無(wú)處不在的數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活實(shí)際中去.同時(shí)，例2也是解決幾何圖形中求距離和最小值問題的一種經(jīng)典模型，通過(guò)此例引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，以便于求解此類問題.

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)了解神秘世界是一種重要的方法時(shí)，就會(huì)極大地增強(qiáng)他們的興趣.數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用性，激發(fā)了學(xué)生對(duì)自然界的探秘心理，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.我們都有過(guò)這樣的心理歷程：越是不讓我們知道的東西，我們?cè)礁械胶闷妫驮较胫?，我們?duì)自然界的認(rèn)識(shí)也是如此.同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣的途徑還很多，如閱讀數(shù)學(xué)家軼事、數(shù)學(xué)史書籍等.

2 收集經(jīng)典錯(cuò)例，提升解決問題能力

科學(xué)家的任何成功大多是建立在前人失敗的基礎(chǔ)上.科學(xué)家不僅要了解前人在自己所研究的領(lǐng)域里做了什么，更要了解他們?cè)谔剿餮芯恐杏心男┓矫媸鞘〉?如愛因斯坦創(chuàng)立相對(duì)論之前，就對(duì)前人的研究做了大量的歸納總結(jié)，其中有相當(dāng)一部分是失敗的經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行探索研究才創(chuàng)立了相對(duì)論.再如，羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何時(shí)，對(duì)前人近兩千年有關(guān)幾何“第五公社”問題的研究做了大量總結(jié)思考，從前人研究的大量失敗經(jīng)驗(yàn)中得到啟示：“第五公社”不可證！“第五公社”是歐幾里德幾何的標(biāo)志，他大膽地進(jìn)行了探索，終于成功地提出了羅巴切夫斯基幾何.

這都說(shuō)明，了解總結(jié)自己和他人的經(jīng)驗(yàn)、錯(cuò)誤，對(duì)于生活也好，科學(xué)也好，都是非常重要的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更是如此，有些學(xué)生在解題時(shí)，由于概念模糊，或思考不周，或主觀臆斷，或偷換論題，造成解題和證題的種種失誤.如果我們?cè)趯W(xué)習(xí)中能夠根據(jù)自己的實(shí)際，及時(shí)收集類似的經(jīng)典案例，并對(duì)這種具體典型的錯(cuò)誤題例深入地剖析，找出錯(cuò)誤，并通過(guò)進(jìn)一步分析歸納比較，得出正確的解題思路和解題方法，那么今后類似的錯(cuò)誤肯定能大大減少.當(dāng)然，這對(duì)于提高學(xué)生精準(zhǔn)有效的分析問題和解決問題的能力也具有很大的作用.

例3 計(jì)算：x-3x2-1-2x+1.

錯(cuò)解：原式=x-3（x+1）（x-1）-2（x-1）（x+1）（x-1）

=x-3-2（x-1）①

=x-3-2x+2

=-x-1.

上述計(jì)算過(guò)程，從①式開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是分式計(jì)算沒有遵循分式的基本性質(zhì)，沒有與等式性質(zhì)區(qū)分開來(lái)，而是直接去掉分母.認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的本質(zhì)對(duì)學(xué)生更好地掌握等式和分式的有關(guān)性質(zhì)很有意義.

正解：原式=x-3（x+1）（x-1）-2（x-1）（x+1）（x-1）

=x-3-2（x-1）（x+1）（x-1）

=-x-1（x+1）（x-1）

=-1x-1.

例4 等腰三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD=12BC，則△ABC頂角的度數(shù)為"" .

本題答案為90°或30°或150°，學(xué)生的回答幾乎都不完整，忽略了BC邊也可能為腰的情況或等腰三角形為鈍角的情況.

圖解如圖4～6所示：

例4是有關(guān)分類討論、一題多解類習(xí)題常見的錯(cuò)誤題例，出錯(cuò)的原因就在于解這類幾何問題時(shí)概念模糊，思維定式，思考不周.因此，我們平時(shí)發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤后，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行總結(jié)、分析與探討，確保思維嚴(yán)密性得以提高.

3 啟發(fā)巧思妙解，發(fā)展創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)發(fā)展史是人類創(chuàng)造史的縮影.數(shù)學(xué)知識(shí)、技巧、方法的發(fā)現(xiàn)是人類智慧的結(jié)晶.中學(xué)數(shù)學(xué)中，到處都閃爍著聰明智慧的火花，其中最引人注目、發(fā)人深思的，就是一些巧思的妙解.通過(guò)收集巧思妙解可以從中得到啟發(fā)，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，發(fā)展其創(chuàng)新意識(shí).而培養(yǎng)創(chuàng)新能力是時(shí)代發(fā)展的需要，那么，從何處收集巧思妙想呢？

首先是挖掘教材，從中發(fā)現(xiàn)巧思妙想.數(shù)學(xué)教材的知識(shí)體系突出了邏輯發(fā)展的主干關(guān)系，其中蘊(yùn)含著抽象概括、分析綜合、歸納演繹等數(shù)學(xué)基本思想方法，學(xué)習(xí)時(shí)，我們應(yīng)該認(rèn)真地去挖掘，然后記錄下來(lái).其次是記錄教師巧妙的思維方法.教師上課時(shí)是以教材為基礎(chǔ)，但卻沒有照本宣科，而是根據(jù)具體情況把問題轉(zhuǎn)化成學(xué)生容易理解與接受，并能夠記憶的活的知識(shí)，其中就不乏巧思妙想.

例5 若直線y=-2x-1與直線y=3x+m相交于第三象限，請(qǐng)確定實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解法一：由y=-2x-1，

y=3x+m，

解得x=-m+15，

y=2m-35.

由于交點(diǎn)在第三象限，

因此x＜0，y＜0，即得

-m+15lt;0，

2m-35lt;0，解得-1＜m＜32.

因此m的取值范圍為-1＜m＜32.

解法二：易得直線y=-2x-1與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-12，0）和（0，-1），而直線y=3x+m與y軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)為m，且無(wú)論m為何值，所有直線都平行.如圖7，先畫出直線y=3x，上下平移圖象，當(dāng)直線分別過(guò)點(diǎn)-12，0和點(diǎn)（0，-1）時(shí)恰為臨界直線.

將點(diǎn)-12，0，（0，-1）分別代入y=3x+m，得m=32，m=-1.由圖7易知，要使它們交點(diǎn)在第三象限，則m的取值范圍為-1＜m＜32.

顯然解法二中的計(jì)算偏簡(jiǎn)單，不易錯(cuò)，這種解法的關(guān)鍵是能看懂函數(shù)圖象，了解一次函數(shù)的圖象特征.解法二充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，解題方法簡(jiǎn)明扼要，更能提升學(xué)生思維.

例6 已知方程組2x+y=1-m，x+2y=2的解x，y滿足x+y＞0，求m的取值范圍.

解法一：由原方程組，得x=-23m，y=1+13m.

因?yàn)閤+y＞0，

所以-23m+1+13mgt;0，解得m＜3.

解法二：原方程組的兩個(gè)方程相加，得

3（x+y）=3-m.

由x+y＞0，得3-m＞0，

解得m＜3.

例6的解法二充分運(yùn)用了原方程組的結(jié)構(gòu)特征，體現(xiàn)了整體意識(shí)，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，得到與問題相關(guān)的變式，結(jié)果豁然開朗，解答過(guò)程非常簡(jiǎn)潔.

4 學(xué)會(huì)自我評(píng)價(jià)，提高學(xué)習(xí)效率

中學(xué)階段的任何科目的學(xué)習(xí)，教師都會(huì)根據(jù)學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)要求，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)給于評(píng)定，這種評(píng)定常常以終結(jié)性測(cè)試為主，過(guò)程為輔.教師有要求的內(nèi)容就作為測(cè)試內(nèi)容的主要依據(jù)，這樣難免會(huì)產(chǎn)生片面的考查結(jié)果，也因此缺乏客觀的評(píng)價(jià).

那么，學(xué)生怎樣對(duì)自己的學(xué)習(xí)作出恰當(dāng)?shù)脑u(píng)定呢？

首先，選取自己學(xué)習(xí)的榜樣.以榜樣同學(xué)為參照，了解他們平時(shí)上課、作業(yè)、測(cè)試、自學(xué)等方面的情況，再對(duì)照自己的實(shí)際，對(duì)自己的學(xué)習(xí)作出大致的評(píng)定，并作出改進(jìn).教師在教學(xué)中，應(yīng)多與學(xué)生進(jìn)行單獨(dú)溝通，引導(dǎo)學(xué)生尋找適合自己的榜樣.

其次，通過(guò)與教師共同探討，給自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià).教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)上的變化是最為敏感的，了解也是相對(duì)比較全面的.多與教師進(jìn)行溝通，容易更精準(zhǔn)地把握自己的不足，從而在學(xué)習(xí)中更有指向性.

第三，利用一些評(píng)價(jià)表進(jìn)行評(píng)定.利用北京市教科院基礎(chǔ)教育科學(xué)研究所梁威老師發(fā)明的數(shù)學(xué)分層測(cè)試卡，可以測(cè)出自己每節(jié)課的學(xué)習(xí)情況.每張卡中有三類題：第一類題——概括當(dāng)天所學(xué)知識(shí)要點(diǎn)，即應(yīng)該全部掌握的基礎(chǔ)知識(shí);第二類題——體現(xiàn)當(dāng)天所學(xué)知識(shí)應(yīng)達(dá)到的基本技能的要求；第三類題——結(jié)合本節(jié)課內(nèi)容的能力要求而編寫的有一定難度的題，每天只需做10～15分鐘，就可檢測(cè)出學(xué)生當(dāng)天數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況.

如果第一、第二類題的解答出現(xiàn)了問題，應(yīng)當(dāng)及時(shí)彌補(bǔ)知識(shí)的疏漏；如果第三類題的解答出現(xiàn)了問題，應(yīng)當(dāng)多思考，多開闊思維，在解題能力上多做努力.

以上是筆者在教學(xué)實(shí)踐中總結(jié)得到的一些提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的途徑與方法.在工作中，教師要結(jié)合不同學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行指導(dǎo).教師的工作對(duì)象是學(xué)生，每一個(gè)學(xué)生都有不同的情感世界、不同的家庭背景、不同的人生閱歷……正因?yàn)閷W(xué)生是豐富多彩的，教師的世界才是五彩繽紛的.教師要拓展自身的視野，充實(shí)專業(yè)知識(shí)，提高溝通技巧，體察學(xué)生的世界，尋求更科學(xué)的途徑，才能提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，為學(xué)生的成長(zhǎng)助力.