初中數(shù)學(xué)幾何直觀想象能力的培養(yǎng)教學(xué)策略

摘要：在初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中，“代數(shù)”“幾何”都是發(fā)展幾何直觀想象能力的重要載體.幾何直觀想象能力的培養(yǎng)是初中階段數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)，它影響著學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的理解、對知識體系的構(gòu)建、對解題難點(diǎn)的突破.因此，在課堂教學(xué)中，根據(jù)不同的課型，教師可引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)的問題用形的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，借助幾何直觀預(yù)測解題思路，構(gòu)建基本幾何圖形解決復(fù)雜圖形的問題，化難為易，高效完成學(xué)習(xí)任務(wù).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；幾何直觀；教學(xué)策略

直觀想象能力，可以理解為通過空間想象認(rèn)識事物和聯(lián)系相關(guān)知識儲備，借助幾何直觀分解問題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.

它有助于學(xué)生把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑［1］，預(yù)測問題的結(jié)果.直觀想象能力較強(qiáng)的學(xué)生，在今后遇到新問題挑戰(zhàn)時，能夠更加從容、迅速完成學(xué)法的遷移，應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的形成也更有優(yōu)勢.下面，筆者根據(jù)不同課型談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生幾何直觀想象能力的教學(xué)策略.

1 概念課教學(xué)策略

1.1 滲透“數(shù)形結(jié)合”思想

數(shù)缺形時少直觀，在進(jìn)行新課教學(xué)時，對于數(shù)學(xué)概念，通過幾何圖形，可以讓“抽象的代數(shù)”變得更直觀，學(xué)生更易理解概念形成的過程.如“相反數(shù)”“絕對值”的概念，通過數(shù)軸上點(diǎn)的位置變化，學(xué)生直觀感受到由點(diǎn)的位置的特殊性所產(chǎn)生的規(guī)律，從而形成概念，降低學(xué)生對抽象代數(shù)的理解，達(dá)到“以形助數(shù)”的目的.又如“完全平方公式”和“平方差公式”，借助直觀的圖形面積表示，讓學(xué)生易于理解等式變形的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生對公式的理解記憶.對比沒有滲透數(shù)形結(jié)合思想的“乘法公式”的課堂教學(xué)，學(xué)生對兩個公式更多地停留在機(jī)械性的記憶上，在后續(xù)的作業(yè)反饋中，很容易階段性地出現(xiàn)“（a+b）2=a2+b2”的錯誤，而有滲透數(shù)形結(jié)合思想的“乘法公式”的課堂教學(xué)中，這種錯誤出現(xiàn)的情況明顯較少.

1.2 滲透“類比”思想

在“函數(shù)”的概念教學(xué)中，學(xué)生在八年級下冊已經(jīng)研究過“一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)”，在九年級研究“反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象及性質(zhì)”時，可以引導(dǎo)學(xué)生回憶“正比例函數(shù)y=kx（k≠0）”數(shù)與形之間的關(guān)系，如“當(dāng)x=0時，y=0”即正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，0）.對比反比例函數(shù)y=kx（k≠0），在還未列表前，大膽預(yù)測圖象的位置，想象反比例函數(shù)的圖象與x軸、y軸沒有交點(diǎn)的特征.

1.3 借助信息技術(shù)感知圖形的運(yùn)動和變化

現(xiàn)今信息技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)中交互式電子白板的推廣與應(yīng)用，大大提高了教師的課堂教學(xué)效率.

例如，在“函數(shù)的性質(zhì)”教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線畫出圖象的過程感知函數(shù)的性質(zhì).為了能讓學(xué)生充分感受圖象的變化規(guī)律，理解數(shù)與形的關(guān)聯(lián)，運(yùn)用幾何畫板呈現(xiàn)圖象的運(yùn)動過程，可以提高課堂效率，加深學(xué)生對知識的理解，也能提升學(xué)生對數(shù)學(xué)研究的興趣.又如，在“幾何變換”的教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生對變換性質(zhì)進(jìn)行研究，運(yùn)用幾何畫板呈現(xiàn)圖形的“平移、對稱、旋轉(zhuǎn)”，可以讓學(xué)生更直觀地感受變化過程中圖形構(gòu)成要素之間所形成的數(shù)量和位置的特殊關(guān)系，并對幾何變換的性質(zhì)進(jìn)行有序有向的預(yù)測，培養(yǎng)他們的直覺思維［2］.

又如，在“圓”的章節(jié)學(xué)習(xí)中，探究圓的對稱性、垂徑定理、圓周角和圓心角的關(guān)系、切線定理以及圓內(nèi)接多邊形時，概念內(nèi)容都不容易理解，但是通過幾何畫板，在圓上作輔助線，就可以很容易理解定理的由來.像垂徑定理——垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧，可以運(yùn)用幾何畫板一步步進(jìn)行探索.先隨意作出兩條弦，發(fā)現(xiàn)二者毫無關(guān)系；再在圓上任意兩處作兩條互相垂直的弦，關(guān)系也不是很明顯；當(dāng)兩條相互垂直的弦有一條是直徑時，就可以發(fā)現(xiàn)它們之間存在著特殊的數(shù)量與位置關(guān)系了.

交互式電子白板可以允許觸屏操作，這樣不僅教師可以動態(tài)地為學(xué)生展示幾何圖形，學(xué)生亦可以嘗試動手操作，且學(xué)生自己操作印象更深刻、更容易有所發(fā)現(xiàn).因此，教師可以開設(shè)一些信息實(shí)驗(yàn)活動課，讓學(xué)生自主進(jìn)行有關(guān)幾何圖形的探索，在立體空間想象的過程中，實(shí)現(xiàn)新思路的開拓.

2 復(fù)習(xí)課教學(xué)策略

幾何直觀問題之所以讓學(xué)生和教師頭疼，是因?yàn)閹缀沃庇^本身的特點(diǎn)所致.幾何直觀并不像概念和理論知識一樣，可以將要表述的知識非?？陀^地表現(xiàn)出來，幾何的學(xué)習(xí)要加入學(xué)生的獨(dú)立思考和空間思維的想象［3］，所以在平常的學(xué)習(xí)中，教師可以加入動手操作的內(nèi)容，讓學(xué)生更加直觀地理解幾何.在幾何圖形單元復(fù)習(xí)課上，教師可以設(shè)計畫圖操練的活動，喚醒學(xué)生“心中有圖、大膽想圖”的意識.

例如，“圓”的單元復(fù)習(xí)課上，設(shè)計下面的活動：

用一把無刻度的直尺，按下列題目要求作圖，并說出（或?qū)懗觯┳鲌D背后的數(shù)學(xué)原理.

（1）如圖1，作出兩個直角；

（2）如圖2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)E在弦AB的延長線上，在圓中作出一個與∠CBE相等的圓周角；

（3）如圖3，AB是⊙O的弦，OA是半徑，OC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，在圖中作出與∠AOC相等的兩個不同類型的角（圓周角、周心角）；

（4）如圖4，在△ABC和△ABD中，∠ADB=∠ACB=90°．求作一個等于∠ABD的角，并寫出作圖背后的數(shù)學(xué)原理.

設(shè)計意圖：通過無刻度直尺作圖的過程，以及數(shù)學(xué)原理的說明，促使學(xué)生回憶與圓有關(guān)的圖形，思考作圖背后的數(shù)學(xué)原理，考查學(xué)生對“圓的有關(guān)概念”“垂徑定理”“圓心角與弧的關(guān)系”“圓周角定理及推論”的理解，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力和幾何直觀素養(yǎng).

又如，在“相似三角形”的單元復(fù)習(xí)課上，讓學(xué)生結(jié)合平時的作業(yè)，畫出常見相似三角形的基本圖形并分類，小組間相互補(bǔ)充.在學(xué)生畫完以后，教師借助幾何畫板進(jìn)行演示，通過圖形中某些元素位置的改變，從中尋找圖形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在自己畫的圖上用箭頭進(jìn)行標(biāo)記并歸類（如圖5），有利于減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，也可以激發(fā)學(xué)生地進(jìn)一步想象.

設(shè)計意圖：通過畫圖、歸類，學(xué)生能夠?qū)D形的靜態(tài)呈現(xiàn)形式產(chǎn)生動態(tài)化關(guān)聯(lián)想象，能夠更深入地認(rèn)識圖形的本質(zhì)特征，從而減少記憶負(fù)擔(dān)，培養(yǎng)了發(fā)散思維和創(chuàng)新意識.

3 習(xí)題課教學(xué)策略

3.1 重視題組設(shè)計鋪設(shè)臺階

在解決幾何問題時，經(jīng)常會用到圖形的性質(zhì)，而有時候圖形有殘缺，學(xué)生不知道如何添加輔助線.因此，借助題組訓(xùn)練，將問題由易到難進(jìn)行分解，學(xué)生就能解決一道復(fù)雜問題.例如，圓中有不少定理，我們可以讓學(xué)生首先積累定理對應(yīng)的基本圖形，再進(jìn)行靈活運(yùn)用.如，“切線的性質(zhì)”這節(jié)課的作業(yè)設(shè)計，可設(shè)置如下的一個題組：

（1）如圖6-1，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，BC與⊙O交于點(diǎn)D，連接OD．若∠C＝50°，則∠AOD的度數(shù)為""" .

（2）如圖6-2，PA，PB是⊙O的切線，A，B分別為切點(diǎn)，∠OAB=38°，則∠P=""" °．

（3）如圖6-3，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC，PD與⊙O相切，切點(diǎn)分別為C，D．若AB＝6，PC＝4，則sin∠CAD=""" .

設(shè)計意圖：題（1）中，根據(jù)“AC是⊙O的切線，A為切點(diǎn)”，由切線的性質(zhì)可得AC⊥AB；題（2）中，由切線的性質(zhì)，通過添加輔助線“連接OB”，可得到BP⊥OB；題（3）中，由切線的性質(zhì)，通過添加輔助線“連接OC，OD”，可得到CP⊥OC，DP⊥OD.該題組的設(shè)計，讓學(xué)生通過訓(xùn)練，感悟切線的性質(zhì)中涉及的要素有“切線、過切點(diǎn)的半徑”，了解“切線”與“垂直”的關(guān)聯(lián).從完整圖形逐漸過渡到殘缺圖形，讓學(xué)生明白遇到“切線條件”如何快速補(bǔ)圖，從而達(dá)到培養(yǎng)幾何直觀的目的.

3.2 重視圖形分離預(yù)測結(jié)果

在復(fù)雜圖形中，學(xué)生很容易陷入思緒混亂的境地，如果在解題前學(xué)會分離圖中的基本圖形，再結(jié)合已知條件和所求目標(biāo)，就可以快速找到解題的關(guān)鍵點(diǎn).下面是2022年廈門市畢業(yè)班模擬檢測卷的第24題.

如圖7，點(diǎn)C是射線BM上的動點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∠DAC的平分線交邊DC于點(diǎn)P，交射線BM于點(diǎn)F，點(diǎn)E在線段PF上（不與點(diǎn)P重合），連接EC，若2∠ECF＋∠OBC＝180°.

證明：AE＝EF.

本題主要考查學(xué)生的幾何直觀想象能力，圖7中包含有以下基本圖形：

圖8-1是由“平行、角平分線”證出“等腰三角形”的圖形；圖8-2是“等腰三角形三線合一”的圖形；圖8-3是“矩形+菱形”的軸對稱圖形.如果學(xué)生能在解題前先借助幾何直觀進(jìn)行圖形分離，看出這三個常見圖形，本題就可以快速找到解題方向.因此，教師在平時教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生在解題前先學(xué)會觀察復(fù)雜圖形，找出其中隱藏的常見基本圖形，這也是培養(yǎng)幾何直觀想象能力的一個重要環(huán)節(jié).

3.3 重視動態(tài)變化問題的調(diào)圖處理

解題時，學(xué)生經(jīng)常會遇到幾何綜合題一題多問，且一般情況下題目條件表述幾何圖形的線段數(shù)量或位置關(guān)系發(fā)生了變化，所給圖形已經(jīng)不能幫助其進(jìn)行直觀解題分析.因此，解題教學(xué)時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小問題的條件重新畫圖，準(zhǔn)確的圖形才能有助于學(xué)生形成正確的推理分析.

3.4 重視無圖畫圖

函數(shù)問題或者幾何定理的文字證明題，經(jīng)常是沒有圖的，因此要讓學(xué)生養(yǎng)成無圖畫圖的習(xí)慣，從而提升將符號語言、文字語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力.圖形一旦生成，解題思路可能就隨之而來了.因?yàn)閳D形不僅僅是對現(xiàn)象的刻畫，而且還濃縮了很多信息.在做練習(xí)題的過程中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生多用畫圖的形式對題目的信息進(jìn)行分析，尋找解題的思路，進(jìn)而培養(yǎng)畫圖的良好習(xí)慣.

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀想象能力，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.幾何直觀想象能使抽象問題直觀化，幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)，從而解決問題；能促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，化復(fù)雜為簡單，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)新知的遷移與創(chuàng)造［4］.因此，教師需要有長程化的意識，對每個學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)要有計劃，也需要不斷地積累和挖掘有助于培養(yǎng)這項(xiàng)能力的素材，在課堂教學(xué)中進(jìn)行實(shí)踐，設(shè)計知識的生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，開展多樣的學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)的過程中形成正確的思維習(xí)慣，增強(qiáng)其發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.與此同時，學(xué)生還需要在聽課的過程中關(guān)注教師應(yīng)用圖形講解相關(guān)練習(xí)題的方式，通過模仿提高自己的讀圖能力、作圖能力和應(yīng)用圖形解決問題的能力，從而讓自己的解題過程更為順利.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］蔣玲.促進(jìn)直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的初中“圖形與幾何”教學(xué)策略研究［D］.重慶：重慶師范大學(xué)，2021.

［3］徐紹霞.基于智慧課堂的初中生直觀想象能力培養(yǎng)的研究［D］.濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2020.

［4］周娜.基于幾何直觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計研究［D］.蘇州：蘇州科技大學(xué)，2021.