關(guān)注過(guò)程 提升素養(yǎng)

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師除了知識(shí)的講授，還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷知識(shí)的演進(jìn)過(guò)程來(lái)感悟數(shù)學(xué)背后的人文價(jià)值，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.本文中以“函數(shù)的概念”教學(xué)為例，通過(guò)融入數(shù)學(xué)史引領(lǐng)學(xué)生親歷函數(shù)概念的演進(jìn)過(guò)程，有效地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，提高數(shù)學(xué)教學(xué)有效性.

關(guān)鍵詞：過(guò)程；數(shù)學(xué)史；教學(xué)有效性

眾所周知，函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一.學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解影響著后期函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，因此，教師應(yīng)重視函數(shù)概念的教學(xué).從內(nèi)容上看，函數(shù)所研究的是兩個(gè)變量之間的依賴(lài)關(guān)系，是由常量到變量認(rèn)識(shí)上的一次質(zhì)的飛躍.在具體教學(xué)中，大多教師以教材為依托，借助具體例子讓學(xué)生理解兩個(gè)變量間的依賴(lài)關(guān)系，然后直接引出概念讓學(xué)生記憶.從教學(xué)過(guò)程來(lái)看，直接讓學(xué)生面對(duì)一些變化過(guò)程似乎超出了他們的最近發(fā)展區(qū)，因此學(xué)生在概念的理解上難免會(huì)遇到障礙，繼而影響后續(xù)的應(yīng)用.那么，在實(shí)際教學(xué)中，如何以生為本，讓學(xué)生真正理解概念呢？筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)史，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成和發(fā)展的過(guò)程，以此讓學(xué)生深刻地理解知識(shí)，形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān).現(xiàn)將“函數(shù)的概念”教學(xué)過(guò)程整理成文，以期拋磚引玉.

1 新課引入

教師以學(xué)生已有知識(shí)為起點(diǎn)，借助具體實(shí)例讓學(xué)生回憶“字母表示數(shù)”.具體問(wèn)題如下：

（1）比x的3倍大1的數(shù)；

（2）x平方的倒數(shù)減2；

（3）8減x的13的差；

（4）媽媽的年齡是小紅年齡的3倍大2歲，設(shè)小紅的年齡為x歲，則媽媽的年齡是多少？

以上問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，學(xué)生可以輕松地給出答案.接下來(lái)，教師讓學(xué)生觀(guān)察以上關(guān)系式的特征，由此得到以上代數(shù)式為“含有x的代數(shù)式”.最后，教師引入歷史材料，讓學(xué)生了解函數(shù)名稱(chēng)，從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

師：數(shù)學(xué)家李善蘭將含有x的代數(shù)式稱(chēng)為函數(shù)，那么上面給出的4個(gè)代數(shù)式可以稱(chēng)為什么呢？

生齊聲答：函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：教師以學(xué)生的已有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用歷史材料對(duì)函數(shù)名稱(chēng)的來(lái)歷進(jìn)行講解，以此豐富學(xué)生的認(rèn)知.另外，學(xué)生經(jīng)歷以上過(guò)程可能會(huì)形成這樣的疑問(wèn)——直接叫代數(shù)式不就可以了嗎？為什么要起個(gè)新名字呢？函數(shù)與代數(shù)式有何不同嗎？由此為深入探究埋下伏筆.

2 概念生成

為了讓學(xué)生體驗(yàn)一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量而變化的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生為x賦值，通過(guò)經(jīng)歷過(guò)程獲得感悟，為概念生成作鋪墊.具體過(guò)程如下：

師：?jiǎn)栴}（4）的代數(shù)式為3x+2，小紅的年齡x可以取何值？

生1：小紅的年齡x應(yīng)該是整數(shù).

師：很好，也就是說(shuō)x允許的范圍是整數(shù).

師：為了便于表達(dá)，小紅媽媽的年齡用字母y來(lái)代替，即y=3x+2，請(qǐng)給x賦以不同的值，看看y有何變化？（學(xué)生積極參與.）

生2：媽媽的年齡y隨著小紅年齡x的變化而變化，如果小紅的年齡x確定了，那么小紅媽媽的年齡y也就確定了.

師：說(shuō)得很好！這里我們就稱(chēng)y是x的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：從具體實(shí)例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)賦值體驗(yàn)變量間的依賴(lài)關(guān)系，由此給出函數(shù)的“依賴(lài)關(guān)系”定義.

3 概念辨析

師：以下關(guān)系式中，變量y是否為x的函數(shù)呢？（教師PPT給出關(guān)系式.）

①y=x2； ②y=2x； ③y2=x.

問(wèn)題給出后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生思考與交流，以此深化概念理解.問(wèn)題①研究片斷如下.

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)問(wèn)題①？

生3：y不是x的函數(shù).

師：說(shuō)說(shuō)你的理由.

生3：當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=-1時(shí)，y=1，可見(jiàn)當(dāng)x由1變成-1時(shí)，y沒(méi)有發(fā)生變化.

可見(jiàn)，根據(jù)函數(shù)依賴(lài)關(guān)系的定義并不能解決學(xué)生的困惑，該定義存在一定的局限性.

師：其實(shí)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷也遇到過(guò)同樣的困惑，認(rèn)為歐拉給出的“依賴(lài)關(guān)系”定義存在一定的局限性，于是進(jìn)行了進(jìn)一步修正.如果你是狄利克雷，你會(huì)如何修正呢？

問(wèn)題給出后，學(xué)生一時(shí)不知如何入手.基于此，教師以歷史材料為依托，在原有基礎(chǔ)上作出修正，引出“對(duì)應(yīng)關(guān)系”的定義，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)新定義進(jìn)行辨析，從而確定y=x2是一個(gè)函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，讓學(xué)生知曉數(shù)學(xué)知識(shí)存在一定的局限性，需要在應(yīng)用中不斷修正與完善，由此啟發(fā)學(xué)生用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).

接下來(lái)，為了讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，突破代數(shù)式的局限，教師給出圖象和表格讓學(xué)生辨析.問(wèn)題如下：

問(wèn)題1 如圖1中的心電圖，橫坐標(biāo)x表示時(shí)間，縱坐標(biāo)y表示生物電流.那么，y是x的函數(shù)嗎？

生4：我感覺(jué)不是，看不出規(guī)律，沒(méi)有規(guī)律也就無(wú)法用代數(shù)式來(lái)表達(dá)，所以不是函數(shù).

師：是嗎？我們結(jié)合函數(shù)的定義思考一下，是不是沒(méi)有代數(shù)式就一定不是函數(shù)呢？

生5：結(jié)合圖象及函數(shù)的定義可知，此時(shí)y隨x的變化而變化，且對(duì)于每一個(gè)確定的x，都有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，所以它們之間存在著確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此y是x的函數(shù).

師：很好！由此我們知道了什么？

生6：除了代數(shù)式，圖象也能表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系.

問(wèn)題2 表1是我國(guó)人口統(tǒng)計(jì)表，年份記作變量x，人口數(shù)記作變量y，那么y是x的函數(shù)嗎？

問(wèn)題2給出后，學(xué)生根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)很快得出人口數(shù)隨著年份的變化而變化，確定它們之間存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以y是x的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2幫助學(xué)生突破代數(shù)式的局限，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)函數(shù)的三種表示方法，即代數(shù)式、圖象和表格，以此完善學(xué)生的認(rèn)知，深化對(duì)概念的理解.

4 練習(xí)鞏固

練習(xí)1 判斷以下兩個(gè)變量是否存在依賴(lài)關(guān)系，哪個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)？

（1）學(xué)生成績(jī)與學(xué)生的體重；

（2）正常嬰兒的體重與出生月數(shù)；

（3）汽車(chē)加油的費(fèi)用與加油量；

（4）汽車(chē)速度與駕駛員的身高.

練習(xí)2 判斷以下問(wèn)題中兩個(gè)變量之間是否存在確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出它的函數(shù)解析式.

（1）圓的面積S與圓的半徑r；

（2）等腰三角形的頂角y與底角x；

（3）已知筆的單價(jià)為5元，購(gòu)買(mǎi)n支筆的價(jià)格與總價(jià)S.

從練習(xí)的反饋來(lái)看，學(xué)生可以結(jié)合已有知識(shí)輕松地判斷兩個(gè)變量間是否存在依賴(lài)關(guān)系，不過(guò)在判斷哪一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)時(shí)遇到障礙.在教師的啟發(fā)下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)變化過(guò)程，兩個(gè)變量可以分別作為自變量，如對(duì)于練習(xí)1中的問(wèn)題（3），若描述成加油量隨著加油費(fèi)用的變化而變化，此時(shí)加油量是加油費(fèi)用的函數(shù)；反之，若將其描述成加油費(fèi)用隨著加油量的變化而變化，此時(shí)加油量是加油費(fèi)用的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)練習(xí)反饋發(fā)現(xiàn)學(xué)生在概念理解上存在的問(wèn)題，以便通過(guò)針對(duì)性的啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生全面、系統(tǒng)地理解概念，掌握概念的本質(zhì)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

5 課堂小結(jié)

課堂小結(jié)環(huán)節(jié)教師將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)小結(jié)進(jìn)一步理解函數(shù)概念.當(dāng)然，在此過(guò)程中，教師也要進(jìn)行一定的啟發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)回顧函數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的博大精深，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)觀(guān)和價(jià)值觀(guān).