削枝強干，讓幾何教學(xué)突顯學(xué)段特征

摘要：本文中對于三角形起始課的教學(xué)，在小學(xué)所學(xué)三角形的概念、三角形的分類基礎(chǔ)上，給出三角形的嚴(yán)謹(jǐn)定義，并根據(jù)三角形邊、角不同的標(biāo)準(zhǔn)對三角形重新分類，同時對三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說理證明.

關(guān)鍵詞：三角形；單元教學(xué)；學(xué)段特征；削枝強干；結(jié)構(gòu)化板書

單元教學(xué)起始課是近年來初中數(shù)學(xué)教研熱點，這類課型的教學(xué)除了生成新知，還要向?qū)W生傳遞和滲透“研究套路”，讓學(xué)生掌握研究一類幾何對象的方法和路徑.本文中以筆者最近在教研組內(nèi)開設(shè)的一節(jié)公開課——“三角形”單元教學(xué)起始課為例，分享并解讀課例的教學(xué)立意，為一線教師提供研討.

1 “三角形”單元教學(xué)起始課教學(xué)流程

1.1 活動一：三角形的定義及相關(guān)概念

筆者先在黑板上畫出一個三角形（如圖1），并標(biāo)出各頂點的字母A，B，C.

教學(xué)組織（師生合作概括三角形的定義）：這是同學(xué)們在小學(xué)就熟悉的三角形，我們將它表示為“△ABC”，讀作“三角形ABC”.但小學(xué)時并沒有給出三角形的定義，大家能否用我們已有的幾何概念（如線段）來概括三角形的定義？

先安排學(xué)生獨立思考，然后小組討論，再全班交流.這里概括三角形定義的難點是三條線段“首尾順次相接”，如果缺少這樣的關(guān)鍵詞句，再在PPT上出示圖2、圖3這樣的“反例圖形”，引導(dǎo)學(xué)生完善三角形的定義.（教師同步進(jìn)行板書與調(diào)整、完善.）

在三角形的定義概括、板書之后，再類比角的表示方法與相關(guān)概念，直接講授三角形的表示方法和相關(guān)概念（如邊、頂點、內(nèi)角等），這些相關(guān)概念不需要安排學(xué)生討論、探究.

鞏固練習(xí)：講授完三角形的表示方法及相關(guān)概念之后，筆者要求學(xué)生找出圖4中的所有三角形，并用符號表示出來，同時指出各個三角形的邊、內(nèi)角等.并隨機安排學(xué)生進(jìn)行交流.

1.2 活動二：三角形的分類

過渡語：在小學(xué)我們就研究過三角形的分類，現(xiàn)在請同學(xué)們從三角形的兩個“要素”（邊和角）出發(fā)，對三角形進(jìn)行分類.

教學(xué)組織：按角的大小來分類，可將三角形分成銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.這三類三角形教師可用PPT展示出來，暫不深究.按是否有邊相等來分類，可將三角形分為等腰三角形、等邊三角形、三邊都不相等的三角形.這里可提醒學(xué)生用“大括號”來歸類這三種類型的三角形.然后，完善成“兩大類”（即等腰三角形與三邊都不等的三角形，其中等邊三角形是等腰三角形的一種特殊情形）.

筆者出示如下的“集合圖”（如圖5），讓學(xué)生更加直觀地理解它們之間的包含關(guān)系.

鞏固練習(xí)：一副三角板（如圖6、圖7）中所包含的兩個三角形都是特殊的三角形，如圖6所示的通常稱為“等腰直角三角形”，你認(rèn)為這個“稱呼”是基于哪種分類標(biāo)準(zhǔn)來命名的？

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道練習(xí)源于日常教學(xué)工具，會讓學(xué)生倍感親切、真實，同時這個“等腰直角三角形”的稱呼又可以加深學(xué)生對剛剛研究的三角形不同分類標(biāo)準(zhǔn)的理解.

1.3 活動三：三角形的三邊關(guān)系

過渡語：剛剛基于邊、角的不同分類標(biāo)準(zhǔn)，對三角形進(jìn)行了分類，接下來研究三角形的三邊關(guān)系.

教學(xué)組織：先安排學(xué)生獨立研究，提出“三角形的兩邊之和大于第三邊”“三角形的兩邊之差小于第三邊”等結(jié)論，并組織學(xué)生運用不等式的變形對這兩個命題進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化.需要指出的是，小學(xué)階段學(xué)生就熟悉了三角形三邊之間的大小關(guān)系，但并沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，初中階段要引導(dǎo)學(xué)生運用基本事實“兩點之間線段最短”進(jìn)行說理，進(jìn)一步強化幾何證明的教學(xué)價值.

例題教學(xué)：用18 cm的繩子圍成一個等腰三角形.

（1）若圍成的等腰三角形的腰長是底邊長的2倍，求底邊長；

（2）小明發(fā)現(xiàn)用這根繩子不能圍成有一條腰長是4 cm的等腰三角形.請判斷“小明的發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說明理由.

教學(xué)組織：第（1）問可以恰當(dāng)設(shè)元，通過引入方程進(jìn)行求解；第（2）問由“兩邊之和大于第三邊”從而判斷“小明的發(fā)現(xiàn)”正確.

在此基礎(chǔ)上，筆者進(jìn)一步給出變式追問：能否將“小明的發(fā)現(xiàn)”改一個字，使得“小明的發(fā)現(xiàn)”是錯誤的？（將“腰長”改為“邊長”.）

1.4 活動四：課堂小結(jié)及完善板書

小結(jié)問題1 本課所學(xué)三角形的有關(guān)新知識與小學(xué)內(nèi)容相比，有哪些聯(lián)系和不同？

小結(jié)問題2 根據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，可將三角形進(jìn)行不同的分類.以等腰三角形為例，再按頂角的大小分類，能分為哪幾類？（頂角分別為銳角、直角、鈍角的等腰三角形.）

小結(jié)問題3 在判斷三條線段能否圍成一個三角形時，有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)，比如三條線段的長分別為1，5，3，可以得到1+5gt;3（滿足其中兩邊之和大于第三邊），但這三條線段并不能圍成三角形.你在解決這類問題時，有什么好的經(jīng)驗嗎？（可以用“兩條較小邊的和必須大于第三邊”來判斷.）

三角形（第1課時）

在師生進(jìn)行課堂小結(jié)的同時，完善本課時的“結(jié)構(gòu)化板書”（如圖8）.

2 教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

2.1 對話追問，基于問題驅(qū)動教學(xué)進(jìn)程

從上文課例的教學(xué)流程來看，在每個教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者都預(yù)設(shè)了一段“過渡語”，起到了“問題驅(qū)動”的教學(xué)效果.在這些問題驅(qū)動之下，依次組織學(xué)生概括三角形定義以及三角形的相關(guān)概念，再研究三角形的分類以及三邊關(guān)系.對于重點內(nèi)容，通過師生對話，以及必要的追問，學(xué)生在復(fù)述中加深理解.關(guān)于例題教學(xué)，也可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪?，使例題教學(xué)成為問題驅(qū)動，將更多學(xué)生的思維引入到新知運用中.

2.2 削枝強干，使三角形教學(xué)更有幾何味

在三角形單元起始課教學(xué)中，筆者盡量沒有選編生活情境，主要是考慮到小學(xué)、初中的學(xué)段特征，小學(xué)圖形學(xué)習(xí)更側(cè)重于感性認(rèn)知，而初中幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)主要是以歐氏幾何為背景，也是讓三角形教學(xué)更有幾何味的一種教學(xué)立意.具體來說，小學(xué)就接觸過三角形，但沒有定義三角形，所以開課階段的教學(xué)重點是組織學(xué)生概括三角形的定義（用“低維概念”——線段來定義“高維概念”——三角形）.小學(xué)階段學(xué)生也知道“三角形兩邊之和大于第三邊”，但沒有證明，本課的教學(xué)重點就是引導(dǎo)學(xué)生證明這個“顯然”的結(jié)論，“反復(fù)”促進(jìn)學(xué)生體會證明的價值（本課之前曾經(jīng)證明過“對頂角相等”）.

2.3 層次分明，讓結(jié)構(gòu)化板書漸次展開

單元教學(xué)配合結(jié)構(gòu)化板書，可以使得單元教學(xué)的知識體系、研究路徑得到更形象化的展現(xiàn).關(guān)于結(jié)構(gòu)化板書，需要教師先在備課階段對本課時教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行思維導(dǎo)圖式的梳理，然后結(jié)合學(xué)程推進(jìn)，漸次生成結(jié)構(gòu)化板書.關(guān)于“漸次生成”，具體來說，就是板書需要伴隨課堂進(jìn)程有序書寫，有時板書內(nèi)容要結(jié)合學(xué)情相機書寫.比如上文課例中，對于教師提出的問題“如何對三角形進(jìn)行分類”，可能學(xué)生先回答的是按“角”分類，則教師書寫板書時就要將按“邊是否相等”的分類進(jìn)行留白，待后續(xù)再對板書進(jìn)行“補白”書寫.另外，有些結(jié)構(gòu)化示意的“聯(lián)接線”在學(xué)程推進(jìn)過程中，也是漸次添加的，甚至有些“聯(lián)接線”是在課堂小結(jié)階段再補全成一幅完整的、層次分明的結(jié)構(gòu)化板書.