“及時小結(jié)”：啟發(fā)式教學(xué)的重要環(huán)節(jié)

摘要：我國著名數(shù)學(xué)教育家鐘善基先生在上個世紀(jì)末進(jìn)行的全國初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀課展評活動上指出，啟發(fā)式教學(xué)要重視“及時小結(jié)”．具體落實在新授課教學(xué)中，則要在復(fù)習(xí)引入時、新知生成時、例題講評時、變式訓(xùn)練時、課堂小結(jié)時、當(dāng)堂反饋時等環(huán)節(jié)重視“及時小結(jié)”．

關(guān)鍵詞：及時小結(jié)；啟發(fā)式教學(xué)；新授課

近期讀鐘善基[1]先生的一篇舊文《從教師的角度談數(shù)學(xué)教學(xué)對教師的幾項基本要求》，文中特別提到要重視啟發(fā)式教學(xué)，并指出啟發(fā)式教學(xué)的一個重要環(huán)節(jié)——及時小結(jié)．筆者深有共鳴，結(jié)合初中數(shù)學(xué)新授課教學(xué)活動中的一些“及時小結(jié)”，筆者整理出對不同教學(xué)活動中“及時小結(jié)”的初步思考，以供交流討論．

1 復(fù)習(xí)舊知時的“及時小結(jié)”

“復(fù)習(xí)舊知，引出新知”是很多新授課開課階段的教學(xué)環(huán)節(jié)，既可以反饋學(xué)生對之前所學(xué)內(nèi)容的掌握情況，又可將舊知的情境作為生長點，引申出新知的學(xué)材．而復(fù)習(xí)舊知環(huán)節(jié)時的“及時小結(jié)”，往往能更好地引出新知．比如，為了研究“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”（即“韋達(dá)定理”），開課階段一般都會安排幾道簡單的解一元二次方程（二次項系數(shù)為1）的訓(xùn)練題，在學(xué)生求出它們的解之后，教師需要“及時小結(jié)”，提出兩個小結(jié)問題.

小結(jié)問題1 請同學(xué)們觀察這些一元二次方程的兩個根與各自方程的系數(shù)有怎樣的關(guān)系？（學(xué)生往往能觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩根之和等于一次項系數(shù)的相反數(shù)，兩根之和等于常數(shù)項.）

小結(jié)問題2 若關(guān)于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（p，q為常數(shù)）的兩實數(shù)根分別為x1，x2，你能否根據(jù)上面的觀察和發(fā)現(xiàn)，寫出兩根之和、之積與系數(shù)之間的關(guān)系，并證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．

設(shè)計意圖：這兩個針對復(fù)習(xí)舊知的“及時小結(jié)”問題，就是探究發(fā)現(xiàn)新知的情境．在此基礎(chǔ)上，學(xué)生從特例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，為繼續(xù)“一般化研究”提供了鋪墊和基礎(chǔ)．

2 新知生成時的“及時小結(jié)”

在師生對教學(xué)情境完成解讀、探究、分析之后，學(xué)生可歸納概括出新知，這時教師應(yīng)開展“及時小結(jié)”.具體包括對所得新知進(jìn)行更加規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈淖指爬?、必要的板書，對所對?yīng)的圖形語言或符號語言進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)，等等，使得新知以更加豐富的面貌呈現(xiàn)在學(xué)生面前．如，學(xué)習(xí)“等腰三角形的性質(zhì)”時，學(xué)生經(jīng)過猜想并運用不同的輔助線證明得到“等邊對等角”之后，教師就可有序進(jìn)行如下“及時小結(jié)”．

第一步：板書定理.等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．

第二步：符號語言表達(dá).如圖1，因為AB＝AC，所以∠B＝∠C．

第三步：擴大成果．繼續(xù)提問學(xué)生——剛剛在證明過程中，同學(xué)們有不同的輔助線添加方式（如作頂角的平分線，作BC邊上的高，作BC邊上的中線），最終都能證明三角形全等，實現(xiàn)問題的解決．分析發(fā)現(xiàn)“這三條線段”應(yīng)該是同一條線段，即它們互相重合，那么我們就能得到等腰三角形又一個重要的性質(zhì)——“三線合一”．同學(xué)們能用完整的語言敘述該性質(zhì)嗎？（等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合.）接下來教師板書“三線合一”性質(zhì)的符號語言．

設(shè)計意圖：探究等腰三角形“等邊對等角”的性質(zhì)時，學(xué)生的主要任務(wù)是先完成“一題多證”，教師在此基礎(chǔ)上“及時小結(jié)”，規(guī)范定理的表述并進(jìn)行多種數(shù)學(xué)語言的示范講授，通過追問，將成果擴大到“三線合一”這一性質(zhì)上．這種針對新知生成階段的“及時小結(jié)”，本質(zhì)上也是新知探究和生成環(huán)節(jié)中教師主導(dǎo)作用的體現(xiàn)．

3 例題講評時的“及時小結(jié)”

數(shù)學(xué)新授課在新知生成之后，往往都會安排例題講評，主要是鞏固和運用新知．在例題講評的最后進(jìn)行“及時小結(jié)”，有點類似著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出的“解后回顧”．比如，三角形中位線性質(zhì)定理探究生成之后，安排學(xué)生探究并證明有關(guān)“中點四邊形”的例題．

例題 已知四邊形ABCD的四邊中點分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接這四個點，得到四邊形EFGH，猜想并證明四邊形EFGH的形狀．

教學(xué)組織：學(xué)生一般經(jīng)過5分鐘左右就能猜想出四邊形的形狀并獨立探究出不同的證明方法，包括添加四邊形ABCD的一條對角線或兩條對角線，進(jìn)而運用三角形中位線性質(zhì)定理、平行四邊形的判定方法得到證明．在證明成功之后，教師可以進(jìn)行如下“及時小結(jié)”．

小結(jié)問題：在證明例題的“中點四邊形”為平行四邊形的過程中，哪一步最為關(guān)鍵？你們是怎么想到“連接對角線”這樣的輔助線作法的？

回答預(yù)設(shè)：連接對角線，構(gòu)造出三角形中位線的基本圖形，運用三角形中位線性質(zhì)可溝通不同三角形中兩條中位線之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．基于兩個中點想到連接對角線可以出現(xiàn)第三邊，帶來三角形中位線的基本圖形，是添加輔助線的念頭．

4 變式訓(xùn)練時的“及時小結(jié)”

課堂教學(xué)進(jìn)入“下半場”時，常常要針對例題教學(xué)開展變式或拓展提升的練習(xí)，這類訓(xùn)練對于促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解新知、靈活運用新知能起到重要作用．由于變式或拓展練習(xí)的難度要顯著高于例題，學(xué)生很容易遇到解題障礙，忽視易錯點，因此進(jìn)行必要的“及時小結(jié)”就顯得尤為重要了．比如，在學(xué)習(xí)“完全平方公式”后，習(xí)題訓(xùn)練常常是將（3x－2y）2進(jìn)行“二項式的展開”，學(xué)生一般會直接運用公式（a－b）2＝a2－2ab＋b2展開；進(jìn)一步，我們還可提出變式追問“能否通過恰當(dāng)時改寫或變形，運用公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展開呢？”啟發(fā)學(xué)生將（3x－2y）2變形為[3x＋（－2y）]2的形式，再展開．在隨后的變式練習(xí)中，可進(jìn)一步給出（x－2y＋3z）2，讓學(xué)生展開，由于之前視為整體的“鋪墊追問”，學(xué)生容易想到將（x－2y＋3z）2變形為[（x－2y）＋3z]2，再運用完全平方公式展開．學(xué)生成功解題之后，教師要進(jìn)行“及時小結(jié)”，提醒學(xué)生靈活運用整體處理的解題策略，這樣往往能夠化繁為簡、突破思路．如果學(xué)生在展開過程中出現(xiàn)錯誤，要將其作為“生成性資源”投影展示到大屏幕上，開展糾錯與究錯教學(xué)，提醒學(xué)生積累經(jīng)驗、反思教訓(xùn)，這也是變式訓(xùn)練環(huán)節(jié)“及時小結(jié)”的重要內(nèi)容．

5 課堂小結(jié)時的“及時小結(jié)”

觀摩一些公開課教學(xué)，發(fā)現(xiàn)有些課堂小結(jié)經(jīng)常是“通用幾句話”：本課學(xué)到了什么？本課你有哪些收獲？你感悟了哪些思想方法？你還有哪些困惑？等等．個別優(yōu)秀學(xué)生配合回答，然后就完成了課堂小結(jié)．但筆者認(rèn)為，課堂小結(jié)在課前一定要加強設(shè)計，所設(shè)計的小結(jié)問題一定要精準(zhǔn)針對本課所學(xué)，不要出現(xiàn)上述“通用幾句話”的小結(jié)現(xiàn)象．以“有理數(shù)的加法”第1課時教學(xué)為例，課堂小結(jié)時可預(yù)設(shè)以下“小結(jié)問題”．

小結(jié)問題1 根據(jù)本課所學(xué)的有理數(shù)加法法則，兩個有理數(shù)相加時，你們會怎樣處理？有哪些關(guān)鍵步驟？哪一步要優(yōu)先考慮？可舉例說說．

小結(jié)問題2 初中階段兩個有理數(shù)相加時，關(guān)鍵是符號問題，你在確定符號上積累了哪些經(jīng)驗？

小結(jié)問題3 本節(jié)課有多道計算題，其中少數(shù)同學(xué)出現(xiàn)了計算錯誤，你對哪道錯題印象較深，你認(rèn)為糾錯的關(guān)鍵是什么？怎樣避免這類錯誤的發(fā)生？

設(shè)計意圖：通過以上3個小結(jié)問題，引導(dǎo)學(xué)生先自主小結(jié)，再小組內(nèi)交流，然后每個小組推薦代表在全班進(jìn)行匯報．可見，這個環(huán)節(jié)教師并不需要過多干預(yù)，教師的功夫應(yīng)花在課前對小結(jié)問題的設(shè)計上．

6 課堂反饋時的“及時小結(jié)”

七八年級的不少新授課中，很多教師經(jīng)常在課堂小結(jié)之后安排5分鐘左右的當(dāng)堂檢測，以進(jìn)行課堂反饋．一般會設(shè)計3～5道小題，學(xué)生練習(xí)時，教師在小組行間巡視、及時批閱，隨后開展講評．講評之后，也要進(jìn)行“及時小結(jié)”．比如，由于最后階段是限時練習(xí)，有些速度較慢的學(xué)生可能還沒來得及全部完成，講評時教師可以針對具體習(xí)題的特點，請已完成的學(xué)生分享他們的解題經(jīng)驗，為什么能直接“看出答案”？為什么能快速想到“某條輔助線”，實現(xiàn)了問題證明？等等．為了引導(dǎo)優(yōu)秀學(xué)生課后圍繞某道習(xí)題繼續(xù)思考、挑戰(zhàn)，教師還可提出一些挑戰(zhàn)問題或拓展問題，供學(xué)生課后繼續(xù)思考．

7 寫在最后

本文是筆者研習(xí)鐘善基先生的一篇舊文引發(fā)的隨感．事實上，由筆者的閱讀經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)，很多老一輩數(shù)學(xué)教育學(xué)者的真知灼見、精彩觀點，并沒有隨著年代的更替而褪色．反觀當(dāng)下形形色色的教學(xué)主張、理念、模式、口號，更多地卻是翻著花樣在“玩概念”“造名詞”．像鐘善基先生用質(zhì)樸的話說著我們這些普通教師都能理解的“教師要重視及時小結(jié)”，需要我們在實踐中去落實、去修煉，并不斷精進(jìn)我們的專業(yè)功夫．讓我們共同努力，少一些口號，多一些務(wù)實的舉措［1］．

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘善基．從教師的角度談數(shù)學(xué)教學(xué)對教師的幾項基本要求[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，1997（1）：1-5.