在知識的應(yīng)用過程中培養(yǎng)建模能力

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》在課程目標中指出：“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要從三個方面著手，即讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.”

義務(wù)教育階段，應(yīng)用意識是數(shù)學(xué)語言的表現(xiàn)形式之一，教師通過應(yīng)用課的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界的過程，逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)建模的習(xí)慣，形成學(xué)科應(yīng)用意識，提升綜合實踐能力.

1 教學(xué)設(shè)計片段

數(shù)學(xué)建模是指利用形式化的數(shù)學(xué)語言把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程.在教學(xué)與函數(shù)的應(yīng)用有關(guān)內(nèi)容時，要結(jié)合具體內(nèi)容，精心設(shè)計一些能通過建立函數(shù)模型解決的實際問題，不斷培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)生在經(jīng)歷建立函數(shù)模型解決問題的過程中，一方面可以加深對函數(shù)的理解，另一方面還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

函數(shù)的學(xué)習(xí)通常經(jīng)歷函數(shù)的概念、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用三個環(huán)節(jié)，在函數(shù)的應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過對實際問題進行分析，建立函數(shù)模型，繼而解決問題.本文中以“反比例函數(shù)的應(yīng)用（第2課時）”為例，談?wù)勅绾卧谥R的應(yīng)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模欲望

情境 公元前3世紀，古希臘學(xué)者阿基米德發(fā)現(xiàn)了著名的“杠桿原理”：阻力×阻力臂=動力×動力臂.阿基米德曾豪言：給我一個支點，我就能撬起整個地球.你能解釋其中的道理嗎？

設(shè)計意圖：這樣的問題情境設(shè)計能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在產(chǎn)生認知沖突的過程中激發(fā)學(xué)生探究的欲望.教師引導(dǎo)學(xué)生感受反比例函數(shù)在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，感悟?qū)W習(xí)反比例函數(shù)的必要性，一開始學(xué)生可能無法用數(shù)學(xué)語言來解釋這樣的現(xiàn)象，但通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)后恍然大悟，增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的成就感.

1.2 問題驅(qū)動，感知函數(shù)模型

活動1 已知壓力F一定時，壓強P是受力面積S的反比例函數(shù).小華通過實驗測量出某冰面能夠承受的最大壓強P為800 Pa，他想借助于木板安全站立在冰面上，若小華和木板對冰面的壓力F為560 N，求木板的最小面積是多少？

問題1 題目中有幾個變量？

問題2 這幾個變量滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系？寫出函數(shù)表達式.

問題3 你能利用函數(shù)的性質(zhì)解決活動1的問題嗎？

學(xué)生活動：對問題進行層層遞進式地思考，逐個擊破.

預(yù)設(shè)答案：（1）題目中有兩個變量，分別是受力面積和壓強；（2）兩個變量滿足反比例函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式為P=FS;（3）因為F一定，且Fgt;0，則P，S也大于0，所以函數(shù)的圖象在第一象限，并且S隨著P的增大而減小.因此可以通過臨界值（極端值）的代入來確定答案.

設(shè)計意圖：活動1的設(shè)計旨在讓學(xué)生感知反比例函數(shù)在物理學(xué)科中的應(yīng)用，感悟利用數(shù)學(xué)知識跨學(xué)科解決問題的積極意義.通過3個問題的呈現(xiàn)，教會學(xué)生解決函數(shù)類應(yīng)用題的一般路徑和方法，養(yǎng)成分析問題和解決問題的習(xí)慣.

活動2 一個密閉的容器中裝有一定質(zhì)量的氣體，密度為ρ，當體積擴大為原來的3倍時，則容器中氣體密度為多少？（用含有ρ的式子表示）

問題1 題目中有幾個變量？

問題2 這幾個變量滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？嘗試著把它寫下來.

問題3 它們滿足什么函數(shù)關(guān)系？你能根據(jù)這種函數(shù)的性質(zhì)解決活動2的問題嗎？

學(xué)生活動：獨立思考，交流發(fā)言.觀察題目中的變量，思考變量之間的關(guān)系，嘗試用反比例函數(shù)的相關(guān)知識解決問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）題目中有兩個變量，分別是密度和體積；（2）這兩個變量滿足一個變量變化導(dǎo)致另一個變量變化，具體來說一個變量變大，另一個變量變?。唬?）它們滿足反比例函數(shù)關(guān)系，列出反比例函數(shù)關(guān)系式就可以解決問題.

設(shè)計意圖：活動2通過分層遞進的問題設(shè)計，由淺入深地帶領(lǐng)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，讓更多的學(xué)生能夠參與到課堂活動中來，感知數(shù)學(xué)來源于生活，感悟數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的價值與意義，提升問題解決的成就感.讓學(xué)生切實感受到函數(shù)是解決現(xiàn)實世界問題的有效模型.

1.3 能力提升，建構(gòu)應(yīng)用模型

活動3 小亮在探究“電壓U一定時，電流I與電阻R的關(guān)系”時，做了如下實驗：將滑動變阻器接入電路，閉合開關(guān)，不斷改變滑片的位置，并記載電流表的示數(shù)，實驗數(shù)據(jù)記錄如表1所示.

（1）把表1中（R，I）的各組對應(yīng)值作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應(yīng)的點，并畫出函數(shù)圖象；

（2）觀察所畫的圖象，求出R與I之間的函數(shù)表達式；

（3）當電阻R為50 Ω時，此時的電流是多少？

（4）已知當滑動變阻器向右移動時，電路中的電阻會變大，向左移動時，電路中的電阻會變小，移動過程中，小亮看到電流示數(shù)逐漸在變大，問：此時滑動變阻器是在向哪邊進行移動？

學(xué)生活動：學(xué)生通過描點、連線感悟反比例函數(shù)的另一種呈現(xiàn)形式（表格），猜想兩個變量之間滿足反比例函數(shù)關(guān)系，從而建立反比例函數(shù)模型去解決問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）（2）略；（3）當R=50時，I=0.6；（4）向左.

設(shè)計意圖：活動3的設(shè)計旨在讓學(xué)生通過對表格內(nèi)數(shù)據(jù)的分析感知反比例函數(shù)的另一種呈現(xiàn)方式，同時體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系.學(xué)生在經(jīng)歷“實際問題—數(shù)學(xué)問題—建立模型—拓展應(yīng)用”的過程中，感悟數(shù)形結(jié)合思想，進一步提升用函數(shù)解決問題的能力，理解函數(shù)是解決實際問題的有力工具.

活動4 如圖1，阻力為1 000 N，阻力臂長為0.8 m.設(shè)動力為F（單位：N），動力臂為L（單位：m）.（圖中杠桿本身所受重力略去不計，杠桿平衡時：動力×動力臂＝阻力×阻力臂.）

（1）填寫表2，并根據(jù)表格寫出動力F（N）、動力臂L（m）之間的函數(shù)表達式.

（2）幾位同學(xué)利用以上杠桿玩撬石頭游戲，小明只有500 N的力量，他該選擇動力臂為多長的撬棍才能撬動這塊大石頭？

（3）當動力臂長擴大到原來的n倍時，所需動力將怎樣變化？

（4）“給我一個支點，我就能撬起整個地球”，這樣的豪言壯語可以實現(xiàn)嗎？

學(xué)生活動：通過填表，進一步感知L和F兩個變量之間的聯(lián)系，分析變量之間滿足的函數(shù)關(guān)系式，從而確定反比例函數(shù)的表達式，并利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來解決實際問題.

預(yù)設(shè)答案：（1）1 000，800，400，200，F(xiàn)=800L；（2）1.6 m；（3）當動力臂擴大到原來的n倍時，所需動力將縮小到原來的1n；（4）這樣的豪言壯語在動力臂無限長或者能夠找到一個合適支點的情況下是可以實現(xiàn)的.

設(shè)計意圖：活動4的設(shè)計旨在讓學(xué)生經(jīng)歷實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，養(yǎng)成建立模型求解的習(xí)慣，形成解決實際問題的一般路徑和方法，提高用函數(shù)解決問題的能力，進一步理解函數(shù)是解決實際問題的有力工具，發(fā)展用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界的核心素養(yǎng).

2 基于數(shù)學(xué)建模的教學(xué)思考

數(shù)學(xué)建模過程主要包括在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解，最終解決實際問題.數(shù)學(xué)建模的發(fā)展主要依靠日常教學(xué)的積累，選取合適的數(shù)學(xué)素材進行教學(xué)，通過恰當?shù)膯栴}引導(dǎo)，讓學(xué)生深度經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的各個過程.

2.1 情境引入，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題

合適的情境引入，不僅能夠開闊學(xué)生視野、吸引學(xué)生注意力，還能夠極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時教師加以點撥，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去審視生活中所遇到的問題.

本課時的教學(xué)以物理學(xué)中的阿基米德“杠桿原理”作為情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)并提出現(xiàn)實中的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望，學(xué)生通過問題的自然發(fā)現(xiàn)和提出，既提升了發(fā)現(xiàn)問題的能力，又為下一環(huán)節(jié)的感知模型奠定基礎(chǔ).

2.2 問題驅(qū)動，用數(shù)學(xué)的思維分析問題

課堂問題的設(shè)計與呈現(xiàn)遵循分層遞進、分步達標的基本思路，由淺入深設(shè)計問題串，適時進行追問，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去分析問題.

本課時的教學(xué)環(huán)節(jié)中，以“題目中有幾個變量？”“變量之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系？”“變量之間滿足什么函數(shù)關(guān)系？”這三個問題作為研究重點，引導(dǎo)學(xué)生分析物理量之間的聯(lián)系，學(xué)生自然能夠利用反比例函數(shù)模型來思考和分析.后面的過程則引導(dǎo)學(xué)生分析與整理，先確定變量后再找等量關(guān)系，通過等量關(guān)系構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用函數(shù)工具來分析，為下一環(huán)節(jié)的問題解決奠定方法基礎(chǔ).

2.3 拓展提升，用數(shù)學(xué)的語言解決問題

函數(shù)類應(yīng)用課的教學(xué)，要切實幫助學(xué)生歸納和總結(jié)好以下四個問題：（1）什么樣的問題需要借助于函數(shù)來解決？（2）為什么要使用函數(shù)來解決？（3）使用哪類函數(shù)來解決？（4）使用這類函數(shù)解決問題的一般步驟是什么？引領(lǐng)學(xué)生思考如何用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建模型進行求解.

本課時的教學(xué)，教師需要選擇學(xué)生感興趣且貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)資料作為課堂研究的對象，按以上四個問題進行深度探索，讓學(xué)生養(yǎng)成自主建構(gòu)函數(shù)模型解決問題的習(xí)慣.

3 結(jié)束語

函數(shù)類應(yīng)用課的教學(xué)，教師主要按照“分析變量關(guān)系—建立函數(shù)模型—利用圖象和性質(zhì)求解”的過程引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)利用反比例函數(shù)解決問題的一般思路和方法.在總結(jié)過程中，教師需注重對數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的滲透，幫助學(xué)生建構(gòu)知識體系，使之形成邏輯性強、靈活性高的思維，提升用數(shù)學(xué)語言解決實際問題的能力.