基于“四個理解”的教學設計與思考

摘要：本文中在章建躍博士提出的“理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術”的基礎上，對“正多邊形和圓”一課進行教學設計和深入思考，通過深入理解教材，分析學生的認知特點，借助Geogebra，從數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程角度來構建教學設計，引導學生學習.

關鍵詞：正多邊形和圓；四個理解；教學設計

數(shù)學教學的關鍵是教師，而理解數(shù)學、理解學生、理解教學、理解技術（以下簡稱“四個理解”）是教師專業(yè)化發(fā)展的基石.但是，在平時的備課中很多教師沒有在“四個理解”上下功夫，而是更多地關注于研究“怎么教”卻忽略了“教什么”，因為對課程內容的理解不夠深入，導致教學設計出現(xiàn)問題.在一次市級初中數(shù)學教學現(xiàn)狀調研中，筆者執(zhí)教了“24.3正多邊形和圓”的公開課，現(xiàn)將本節(jié)課的教學設計和思考整理成文予以呈現(xiàn)，供大家探討.

1 基于“四個理解”的教學分析

1.1 基于理解數(shù)學的教學內容解析

本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了正多邊形的概念和圓的相關知識之后，進一步利用圓的性質研究正多邊形的相關問題，把圓分成一些相等的弧，就可以作出這個圓的內接正多邊形．正多邊形的相關概念也與正多邊形的外接圓關系密切，這些知識是正多邊形的畫法和計算的基礎，也是幾何中的基礎知識[1].準確計算簡單正多邊形相關元素之間的數(shù)量關系是培養(yǎng)學生幾何直觀和推理能力的重要途徑，還可以讓學生體會“類比”和“特殊到一般”的研究方法.

1.2 基于理解數(shù)學的教學目標

（1）了解正多邊形的概念及正多邊形和圓的關系.

（2）理解正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角等概念，會計算簡單正多邊形的邊長、半徑、邊心距、中心角、周長和面積.

1.3 基于理解學生的學情分析

本節(jié)課前學生已經(jīng)學習了正多邊形的概念，深入研究了等邊三角形、正方形的相關知識.但對于正多邊形，學生腦海中還停留在一些具體的正五邊形、正六邊形等邊數(shù)較小的圖形上，對邊數(shù)趨近于無窮大的正多邊形無限趨近于圓的現(xiàn)象缺乏認識，因此應用圓的有關知識研究正多邊形的問題學生并不能理解.同時正多邊形的相關概念都是通過正多邊形外接圓來認識的，學生很容易混淆.因此，教學中需要借助多媒體畫圖軟件，展示正多邊形邊數(shù)無限增大時，正多邊形將無限趨近于圓，揭示正多邊形與圓的內在聯(lián)系，體會類比歸納的基本思想.

1.4 基于理解技術的多媒體使用

只要將圓分成一些相等的弧，再依次連接各分點，就可以作出這個圓的內接正多邊形，但是讓學生僅用直尺、圓規(guī)等傳統(tǒng)工具等分弧的難度較大.隨著計算機和信息技術的發(fā)展，在生產(chǎn)生活中，工藝美術設計、機械制圖也大都采用軟件繪圖，因此，可以考慮課堂上向學生展示用Geogebra等分弧來畫正多邊形，讓學生觀察隨著正多邊形邊數(shù)n的增加，正多邊形接近于圓的現(xiàn)象，揭示正多邊形和圓的內在聯(lián)系，體會正多邊形相關概念定義的合理性，從而突破難點.

2 基于“四個理解”的過程設計

2.1 復舊孕新，滲透方法

問題1 在前面我們研究了圓的性質，你能說說同弧或等弧所對的弦有什么關系嗎？

追問：在圓中，弦長a、弦心距d、半徑r之間滿足什么數(shù)量關系？依據(jù)是什么？

問題2 正多邊形和圓都是常見的幾何圖形，它們的聯(lián)系非常密切，這一節(jié)課我們就利用圓的有關知識來研究正多邊形，首先請回憶一下什么是正多邊形？

追問：各邊都相等的多邊形一定是正多邊形嗎？你能舉例說明嗎？各角都相等的多邊形呢？

2.2 類比歸納，構建新知

問題3 你會畫一個正五邊形嗎？能不能借助圓來畫正五邊形呢？如何說明畫出的圖形一定是正五邊形呢？

追問：如何證明各邊、各角都相等？你能通過同樣方法證明得到的六邊形是正六邊形嗎？

設計意圖：如圖1（1），利用Geogebra展示等分弧、依次連接各分點畫正多邊形的過程，并以正五邊形為例進行證明，幫助學生理清證明的思路.由弧相等可以推出弦相等、圓周角相等，即多邊形各邊相等、各角也相等，得到的五邊形是正五邊形.再演示將圓六等分，連接各分點得到正六邊形，如圖1（2）.

問題4 這樣畫正五邊形的方法同樣可以推廣到正n邊形的情況.大家觀察Geogebra展示，當正多邊形的邊數(shù)n不斷增大時，會有什么現(xiàn)象出現(xiàn)？

追問：可以想象一下當正多邊形的邊數(shù)n逐漸增大時，正多邊形和它的外接圓有怎樣的關系？

設計意圖：通過Geogebra的動畫展示，隨著正多邊形邊數(shù)n的增加，正多邊形越來越趨近于圓，從而使學生理解正多邊形和圓的關系.

教師借助多媒體的動態(tài)演示，類比圓的相關概念（圓心、半徑、圓心角），歸納正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念，如圖2.然后通過閱讀教材、同學之間互相提問加深對概念的理解和記憶.

問題5 在圓中，過圓心作弦的垂線，利用垂徑定理和勾股定理可以求解半徑、弦長和弦心距的長.在正多邊形中，中心角、半徑、邊心距和邊長之間又有怎樣的數(shù)量關系呢？

2.3 應用舉例，感受新知

引導學生利用正多邊形的相關概念解決實際問題，如教材上的例題中計算亭子地基的周長和面積等.

2.4 課堂小結，梳理新知

問題6 本節(jié)課的學習經(jīng)歷了哪幾個環(huán)節(jié)？你學到了哪些新的知識？（可以是一個具體的知識點，也可以是你學習到的經(jīng)驗.）還有什么疑惑？這些知識可以幫助你解決什么問題？

3 教學思考

3.1 理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提

理解教材是當好數(shù)學教師的前提，而理解教材的關鍵是理解數(shù)學，了解數(shù)學概念的背景，把握概念的邏輯基礎，理解內容所反映的思想方法.例如，本節(jié)課的知識安排在圓的性質內容之后，以“圓”為載體去研究正多邊形的相關知識，所以教學中需要關注正多邊形和圓的知識的內在聯(lián)系，弄清教學內容“是什么”，明確“正多邊形和圓”這一教學內容的知識邏輯.

3.2 理解學生是課堂推進的基本保障

教師在進行教學設計時，需要了解學生的思維規(guī)律，把握學生的認知特點，分析學生已經(jīng)具備的認知經(jīng)驗和達成教學目標所需要具備的認知基礎，確定已有的基礎和需要達成的目標之間的差異，在此基礎上確定教學難點及突破難點的策略.

3.3 理解教學是教學方案合理性和科學性的保障

數(shù)學課堂是有規(guī)律的，教師需要理解教學的基本規(guī)律，按規(guī)律進行教學.這需要教師在理解數(shù)學、理解學生的基礎上，有效駕馭課堂，發(fā)揮教學智慧，采取合適的教學方法來指導學生學習，使學生的學習更高效.

3.4 理解技術使抽象的數(shù)學可操作、可視化

信息技術的運用已經(jīng)成為世界各國數(shù)學課程改革重視的方向.在教學中我們要合理地運用現(xiàn)代信息技術，充分了解信息技術的使用功能，對使用信息技術的目的做到心中有數(shù)：不是替代板書，而是為了解決教學上的難點.例如，本節(jié)課借助Geogebra直觀地呈現(xiàn)用傳統(tǒng)工具很難做到的等分弧，以及當正多邊形邊數(shù)趨近于無窮大時的圖形，幫助學生理解正多邊形和圓的關系.

4 結語

“四個理解”的水平是教師專業(yè)化發(fā)展水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高教學質量和效率的決定性因素，也是有效提升學生數(shù)學學科素養(yǎng)的必備條件[2].基于“四個理解”的教學設計有利于提高教師的專業(yè)水平，教師只有備課時在“四個理解”上做出努力，并落實到日常教學中去，才能使數(shù)學育人的目標落到實處.

參考文獻：

[1]陳飛，應雋.基于初中數(shù)學核心概念及其思想方法的概念教學設計——以“正多邊形與圓（1）”的實踐為例[J].上海中學數(shù)學，2016（11）：46-48.

[2]章建躍.核心素養(yǎng)導向的高中數(shù)學教材變革（續(xù)1）——《普通高中教科書·數(shù)學（人教A版）》的研究與編寫[J].中學數(shù)學教學參考，2019（19）：6-11.