“誤中悟”教學(xué)方式的一次有效嘗試

1 內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：圖形旋轉(zhuǎn)的定義及性質(zhì).

（1）內(nèi)容的上下關(guān)系

本節(jié)內(nèi)容有重要的地位和廣泛的應(yīng)用，在教學(xué)上起著承上啟下的作用.

承上：學(xué)生對圖形變換已經(jīng)有了一定的認(rèn)識，初步積累了圖形變換的活動經(jīng)驗(yàn).本課“旋轉(zhuǎn)”與“平移”“軸對稱”一樣，是圖形變換的又一種方式.

啟下：中心對稱圖形、圓等均是可以由旋轉(zhuǎn)變換得到的圖形，很多性質(zhì)定理均源于旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，它是后續(xù)內(nèi)容的認(rèn)知基礎(chǔ)，為解決幾何證明中的線段相等、角相等等提供了添加輔助線的解決方法.

（2）教學(xué)重點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的探究、試誤，“悟誤”是本節(jié)課的重點(diǎn).

（3）育人價(jià)值

本節(jié)內(nèi)容包含將抽象問題具體化，大問題轉(zhuǎn)化為小問題的化歸思想；包含“變”與“不變”的辯證思想和數(shù)形結(jié)合思想.可以培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣；通過數(shù)學(xué)活動的體驗(yàn)和不怕試誤的心態(tài)，增強(qiáng)對問題的感性認(rèn)知，在“悟誤”中享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣；培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理能力的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以及樂學(xué)、善學(xué)和勇于試誤的科學(xué)精神.

2 目標(biāo)和目標(biāo)解析

（1）了解旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)概念，理解旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及其運(yùn)用.

（2）在探究旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的過程中，感悟以幾何基本元素為載體進(jìn)行探究的方法，感知數(shù)形結(jié)合思想和由特殊到一般的探索未知的方法.

3 盲點(diǎn)和預(yù)設(shè)分析

（1）霧點(diǎn)分析

為什么要研究旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的適用條件，旋轉(zhuǎn)與平移和軸對稱之間的異同都是本節(jié)課的“霧”區(qū)．

（2）難點(diǎn)分析

學(xué)生一般能夠掌握旋轉(zhuǎn)前后全等部分的對應(yīng)邊、對應(yīng)角的等量關(guān)系，但是，對結(jié)構(gòu)不明顯的對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連接所構(gòu)成的角等于旋轉(zhuǎn)角，以及幾何定理綜合運(yùn)用等問題則很難理解，需要學(xué)生具備整體思想、模型思想.因此，本節(jié)課的難點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．

（3）誤點(diǎn)預(yù)判

“對應(yīng)點(diǎn)”是一切線段相等和角相等的根源，在幾何圖形中找準(zhǔn)“對應(yīng)點(diǎn)”是一個誤點(diǎn).

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1 博學(xué)情境

導(dǎo)語：從學(xué)生課前搜集的資料中，教師選取了下面兩組進(jìn)行對比，結(jié)合學(xué)過的有關(guān)知識和已有的經(jīng)驗(yàn)，尋找情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問題.

（1）對比“平移”與“旋轉(zhuǎn)”的異同

對比1：俄羅斯方塊游戲，播放動畫1（如圖1）.

問1：請你說說經(jīng)過哪些變換，可以把圖1①這個“L”形的模塊歸位？

問2：圖1②可以用同樣的方式歸位嗎？

歸納：新增圖形變換——旋轉(zhuǎn).

（2）對比旋轉(zhuǎn)角

對比2：展現(xiàn)兩臺電風(fēng)扇旋轉(zhuǎn)動畫2（如圖2）.

問1：對比圖2中的①②，你觀察到了什么？

問2：旋轉(zhuǎn)的不同之處有哪些？相同之處呢？

（圖2①：繞中心順時(shí)針每秒30°.圖2②：繞中心逆時(shí)針每秒60°.）

歸納：旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角在變，旋轉(zhuǎn)中心不變.

問3：除“變與不變”外，你還有什么疑問嗎？

問4：對比圖1中俄羅斯方塊旋轉(zhuǎn)的過程，你能找到不變的旋轉(zhuǎn)中心嗎？

悟中分析：通過游戲，引導(dǎo)學(xué)生主動回顧已學(xué)過的相關(guān)知識和已有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，在游戲中用數(shù)學(xué)的思維尋找問題，培養(yǎng)生活問題數(shù)學(xué)化的能力.

環(huán)節(jié)2 審問疑“霧”

導(dǎo)語：感知旋轉(zhuǎn)概念，引出課題“圖形的旋轉(zhuǎn)”.

（1）初識概念

觀察鐘表指針的旋轉(zhuǎn)過程，將其抽象為數(shù)學(xué)圖形中的線段和角，讓學(xué)生總結(jié)出“旋轉(zhuǎn)”的定義.

問1：觀察鐘表指針的旋轉(zhuǎn)過程，你認(rèn)為由指針的旋轉(zhuǎn)可以抽象出什么幾何圖形？

問2：在這個概念圖中，“某一點(diǎn)”指的是什么？

問3：“旋轉(zhuǎn)角”又是圖中哪個角？

（2）鞏固概念

利用動畫3“蕩秋千”（如圖3）的旋轉(zhuǎn)，將生活問題數(shù)學(xué)化，鞏固旋轉(zhuǎn)的概念和三要素.

問：你能用旋轉(zhuǎn)三要素來描述一下“蕩秋千”的場景嗎？怎么描述？

悟中分析：從生活“霧”區(qū)出發(fā)，基于目標(biāo)導(dǎo)向，設(shè)置不同對比，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)三要素，激發(fā)學(xué)生生疑破“霧”的興趣，從數(shù)學(xué)的視角（形狀、位置、大小、角度、方向等）提出問題、展示問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生聚焦本課的旋轉(zhuǎn)概念，答疑解惑.

環(huán)節(jié)3 慎思試誤

導(dǎo)語：探究一個三角板在旋轉(zhuǎn)過程中，會有哪些相等的線段和相等的角？

活動：觀察△ABC繞任意點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)過程.

操作：利用準(zhǔn)備好的彩色卡紙，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換作圖.

提示：自定義旋轉(zhuǎn)三要素，注意標(biāo)注對應(yīng)點(diǎn).

猜想：旋轉(zhuǎn)中有哪些相等的線段？相等的角？

測量：測量一下你認(rèn)為相等的線段和相等的角，并思考它們?yōu)槭裁词窍嗟鹊?

悟中分析：慎思就是要深思且慎取.問過以后還要仔細(xì)觀察分析，以數(shù)學(xué)悟感為基礎(chǔ)，充分發(fā)揮好奇心與想象力，大膽試誤，積極尋求有效的問題解決方案，并借助證據(jù)和合理推理進(jìn)行有效論證.這一過程就是參悟的過程，參悟是以悟感為基礎(chǔ).學(xué)生直面“核心問題”，獨(dú)立思考，自主探究，直覺猜想，大膽試誤；教師明察“霧”情，聚焦誤點(diǎn).通過實(shí)物感受，參與探究，勇于面對錯誤，體會圖形旋轉(zhuǎn)的真實(shí)過程，培養(yǎng)學(xué)生動手實(shí)踐和觀察、分析、比較、抽象、概括、表達(dá)等能力［1］.

環(huán)節(jié)4 明辨頓悟

導(dǎo)語：以任意學(xué)生繪圖為例，實(shí)物展示，如圖4，師生共同猜想、驗(yàn)證、歸納旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

回答情況（1）：OA=OA′；OB=OB′；OC=OC′.

問1：旋轉(zhuǎn)過程中，有不變的點(diǎn)嗎？變化的呢？

答1：除點(diǎn)O不變外，其他無數(shù)個點(diǎn)都在變.

問2：這無數(shù)多個點(diǎn)中，點(diǎn)A與點(diǎn)A′有什么關(guān)系？

答2：一組對應(yīng)點(diǎn).

問3：旋轉(zhuǎn)過程中，有多少組對應(yīng)點(diǎn)？

答3：無數(shù)組.

問4：這無數(shù)組對應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)O的距離是什么數(shù)量關(guān)系？

歸納1：對應(yīng)點(diǎn)到點(diǎn)O的距離相等.

回答情況（2）：AB=A′B′；BC=B′C′；CA=C′A′.

問5：由此你能歸納出什么結(jié)論？

歸納2：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

回答情況（3）：∠AOA′=∠BOB′=∠COC′.

問6：∠AOA′的兩邊（OA，OA′）有什么特征？類似的，∠BOB′的兩邊呢？

答4：∠AOA′的兩邊OA與OA′相等，端點(diǎn)A，A′是一組對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)O是旋轉(zhuǎn)中心；同樣∠BOB′的兩邊OB與OB′相等，端點(diǎn)B，B′也是一組對應(yīng)點(diǎn).

問7：∠AOA′，∠BOB′，∠COC′分別叫什么角？

答5：旋轉(zhuǎn)角.

問8：在旋轉(zhuǎn)過程中，有多少個這樣的角？

答6：無數(shù)個.

問9：它們的共同特征是什么？

答7：度數(shù)都等于旋轉(zhuǎn)角；角的兩邊都是對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連成的線段.

歸納3：對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

回答情況（4）：∠BAC=∠B′A′C′；∠ABC=∠A′B′C′；∠ACB=∠A′C′B′.

歸納4：旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.（注意：三角形全等判定定理的使用.）

總結(jié)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

悟中分析：從基本元素點(diǎn)、線、角出發(fā)，層層引導(dǎo)學(xué)生探究旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，讓看似雜亂的圖形變換變得有規(guī)律，體會“大問化小、小問易找”的轉(zhuǎn)化思想.同時(shí)，考慮到學(xué)生對幾何元素的觀察角度不同，預(yù)設(shè)多種回答情況，以便在課堂上靈活運(yùn)用.鼓勵學(xué)生積極思辯，批判質(zhì)疑，進(jìn)行思維碰撞，互相啟迪，對試誤分別展開討論，逐個審誤，合作辨析，參悟原理，獲得發(fā)現(xiàn)；再引導(dǎo)學(xué)生給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，獲得性質(zhì)；最后用符號語言表達(dá)出來.其中，教師要參與交流，收集成果，評價(jià)激勵，幫助提煉.

環(huán)節(jié)5 篤行溫焐

例1 如圖5，在正方形ABCD中，E是CB延長線上一點(diǎn)，△ABE經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到△ADF，請按圖回答：（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？（2）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)E分別移動到什么位置？（3）旋轉(zhuǎn)角是多少度？（4）連接EF，請判斷△AEF的形狀，并說明理由.

例2 如圖6，把邊長為1的正方形EFOG繞與之邊長相等的正方形ABCD的中心O旋轉(zhuǎn)任意角度，請利用旋轉(zhuǎn)知識求圖中陰影部分的面積.

悟中分析：通過例題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步歸納旋轉(zhuǎn)的等量關(guān)系和常用的隱藏條件，除原有性質(zhì)外，還可以挖掘出隱藏的等腰三角形.在學(xué)生獲得頓悟后，再精心設(shè)計(jì)注重基礎(chǔ)性、探究性、實(shí)踐性、綜合性的習(xí)題，體現(xiàn)有關(guān)、有用、有趣.鞏固“誤中悟”的成果，使所悟固化為本領(lǐng)和素養(yǎng)，即“悟中固”;通過探尋“誤之霧”的歸因，探求“悟之固”的途徑，從“霧下誤”到“誤中悟”，再到“悟后悟”，就是“誤中悟”教學(xué)方式的主要觀點(diǎn).

環(huán)節(jié)6 反思悟道

橫向回顧：

（1）本節(jié)課我們探究了什么問題，知道了哪些相等的線段和相等的角？

（2）探究過程中，重點(diǎn)關(guān)注了哪些問題？

縱向回顧：

（1）旋轉(zhuǎn)的學(xué)習(xí)類比了之前學(xué)過的什么內(nèi)容？

（2）旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移有何異同？

（3）是否有特殊的旋轉(zhuǎn)角度？

悟中分析：通過提煉概括本節(jié)課的主要內(nèi)容，探尋其承上啟下的關(guān)系，進(jìn)一步悟過程、悟方法、悟思想、悟結(jié)構(gòu)、悟本質(zhì).元認(rèn)知理論認(rèn)為，反思性學(xué)習(xí)就是學(xué)習(xí)者對自身學(xué)習(xí)活動的過程，以及過程中所涉及的有關(guān)信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征的反向思考.教師通過重構(gòu)結(jié)構(gòu)、揭示本質(zhì)、評價(jià)指導(dǎo)，幫助學(xué)生反思過程、觸及本質(zhì)、解構(gòu)建構(gòu)［1］.

5 作業(yè)設(shè)計(jì)

綜合運(yùn)用圖形變換的知識，為自己的家設(shè)計(jì)一個“家徽”.

6 教學(xué)反思

（1）關(guān)于“誤中悟”：“誤中悟”教學(xué)方式從根源上尊重了學(xué)生的想法和成長的必經(jīng)途徑，讓學(xué)生大膽地說出自己的認(rèn)知，再加以解惑.但由于課堂時(shí)間有限，往往一節(jié)課完成時(shí)間是不確定的.如本課中的例2，學(xué)生舉出了4種可行做法，雖然一一解答很費(fèi)時(shí)，但也要盡可能地將每個學(xué)生從“誤”到“悟”的過程體現(xiàn)出來.

（2）關(guān)于“學(xué)校教研”：“誤中悟”教學(xué)很容易發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的各類問題，有利于開展校本教研；教師間的互相交流，可以有效幫助教師反思，完善教學(xué)設(shè)計(jì)，有利于教師做好課前準(zhǔn)備等.

（3）關(guān)于“自我成長”：在“誤”的環(huán)節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生思路是發(fā)散的，所以可能會出現(xiàn)很多教師認(rèn)知以外的內(nèi)容.如本節(jié)課中有3次課堂經(jīng)歷，每次都能從不同學(xué)生的不同想法中得到新的“誤和悟”，此時(shí)，需要教師有一定的知識儲備和對教材的深度理解；又如“環(huán)節(jié)4明辨頓悟”中，關(guān)于“邊角”關(guān)系的測量和關(guān)系的生成過程，學(xué)生得到了很多除了性質(zhì)以外的相等關(guān)系，這些關(guān)系需要教師先接納，在接納的同時(shí)，疏導(dǎo)學(xué)生的理解，從而引入本節(jié)課的重點(diǎn).

參考文獻(xiàn)：

[1]唐錄義，李巍.“誤中悟”教育方式的實(shí)驗(yàn)探索[J].中國數(shù)學(xué)教育，2019（21）：43-48.