關(guān)于“隱圓”模型的探究與思考

圓是初中數(shù)學(xué)需要重點(diǎn)掌握的幾何圖形，實(shí)際上“圓”不僅是知識(shí)點(diǎn)，同樣也是解題的工具，利用隱圓的軌跡可深入挖掘問(wèn)題中的隱含關(guān)系和性質(zhì)，從而達(dá)到“化隱為顯”的解題效果.對(duì)于初中幾何含有一些常見(jiàn)的“隱圓”模型問(wèn)題，充分利用模型的構(gòu)建方式、解析思路可簡(jiǎn)化解題過(guò)程.下面具體講解常見(jiàn)的隱圓模型，并開(kāi)展解法探究.

1 探究“隱圓”模型

1.1 “四點(diǎn)共圓”模型

四點(diǎn)共圓，即在同一平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)在同一圓上，常見(jiàn)模型如圖1（1）所示，若動(dòng)角∠A+動(dòng)角∠C=180°，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓，其基本原理是圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).該模型的特點(diǎn)是點(diǎn)A和C位于線段BD的異側(cè).

2 解法思考總結(jié)

2.1 關(guān)注“隱圓”模型的特征原理

以上四種“隱圓”模型的應(yīng)用需要關(guān)注模型的幾何特征，理解模型的基本原理，充分掌握“隱圓”模型的構(gòu)建方式.以“直角圓周角”模型為例，需關(guān)注模型中直角三角形的斜邊過(guò)圓心，直角頂點(diǎn)在圓上的特點(diǎn)，同時(shí)借助圓周角定理來(lái)理解模型構(gòu)建.而對(duì)于“動(dòng)點(diǎn)定長(zhǎng)”模型，則需關(guān)注動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的線段等長(zhǎng)的特征，從圓的定義視角來(lái)理解模型構(gòu)建.

2.2 總結(jié)“隱圓”模型的破題策略

利用“隱圓”模型可挖掘問(wèn)題條件，提高解題效率，但在實(shí)際使用中需要總結(jié)模型的破題策略.對(duì)于與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，需挖掘動(dòng)點(diǎn)規(guī)律，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡圓，然后結(jié)合“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理來(lái)探究最值.探究變量的取值范圍問(wèn)題，也可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，同樣借助“隱圓”模型來(lái)確定最小值和最大值，進(jìn)而求得變量取值范圍.針對(duì)求弧長(zhǎng)、角度等常規(guī)平面幾何問(wèn)題，則可結(jié)合問(wèn)題條件構(gòu)建相應(yīng)的“隱圓”模型，利用模型的角度和線段特性進(jìn)行幾何推導(dǎo).

2.3 強(qiáng)化“隱圓”問(wèn)題的變式探究

中考“隱圓”問(wèn)題十分常見(jiàn)，設(shè)問(wèn)形式也較為多樣，若僅停留在“隱圓”模型的知識(shí)和方法總結(jié)，則難以積累解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于解題思維的培養(yǎng)也是不利的.模型探究時(shí)，要充分結(jié)合實(shí)例問(wèn)題，依托考題開(kāi)展模型變式，尤其是對(duì)于與“隱圓”相關(guān)的優(yōu)秀中考題，要深入研讀，探究思路，合理變式，總結(jié)問(wèn)題突破的解法策略.教學(xué)中，教師要有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)歸納和變式探究能力，拓寬解題視野，提升綜合能力.