在“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”教學(xué)中探尋單位“1”的數(shù)學(xué)本質(zhì)

閆孔哲 錢令彩

［摘 要］教學(xué)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”，要讓學(xué)生明白計(jì)算的關(guān)鍵是找到一個(gè)合適的單位“1”，并能根據(jù)它與其他量之間的關(guān)系將分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的乘、除法來解決，體會(huì)借用單位“1”的本質(zhì)是代數(shù)式的數(shù)值化表示，會(huì)用方程方法來解決分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的問題，并明白其易于實(shí)現(xiàn)問題解決方式的多樣化。

［關(guān)鍵詞］單位“1”；直觀圖；方程思想；符號(hào)意識(shí)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）26-0072-03

一、分析教學(xué)內(nèi)容——梳理教材編排思路

北師大版教材在六年級(jí)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”單元共安排了7個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容。課程的主干內(nèi)容是“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（一）”“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”，共3課時(shí)，每節(jié)課后安排1課時(shí)“試一試”板塊，最后設(shè)置1課時(shí)練習(xí)課。

本單元的思維框架和內(nèi)容框架如圖1所示。

二、明確教學(xué)目標(biāo)——實(shí)現(xiàn)提升問題解決能力、提升運(yùn)算能力的雙重任務(wù)

小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”一般在兩步以內(nèi)，第一步的運(yùn)算結(jié)果為第二步提供運(yùn)算信息?！胺?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”的過程和結(jié)果都是為解決問題服務(wù)，計(jì)算為解決問題提供了關(guān)鍵信息。

“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”單元雖以解決問題的形式呈現(xiàn)，卻同時(shí)承載著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的目標(biāo)。在問題解決過程中，學(xué)生不但要體會(huì)到整數(shù)的運(yùn)算順序同樣適用于分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，整數(shù)乘法的運(yùn)算律在分?jǐn)?shù)中同樣適用，還要在混合運(yùn)算中提高自己的運(yùn)算能力。

三、引導(dǎo)學(xué)生畫直觀圖——讓數(shù)量關(guān)系可視化

在問題解決過程中，教師常引導(dǎo)學(xué)生畫直觀圖來分析問題。學(xué)生畫圖的過程，其實(shí)就是由數(shù)轉(zhuǎn)形的過程。

例如，在“分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算（一）”中，教材中出示了如圖2所示的問題，以及如圖3所示的圓圈圖和線段圖，這兩種直觀圖都能將三個(gè)小組兩兩之間的關(guān)系清晰地展現(xiàn)出來。

畫直觀圖遠(yuǎn)比僅用分?jǐn)?shù)來描述抽象數(shù)量關(guān)系更容易讓學(xué)生理解。

在各種類型的直觀圖中，相比方格圖、圓形圖，線段圖在數(shù)形轉(zhuǎn)化中的優(yōu)勢(shì)更為明顯，教師大多傾向于引導(dǎo)學(xué)生采用畫線段圖的方法解題。但如果設(shè)未知量為單位“1”，反過來將其用來度量已知量，畫方格圖和圓形圖在形轉(zhuǎn)數(shù)時(shí)的優(yōu)勢(shì)更加明顯。這充分說明了畫直觀圖時(shí)采用什么形式并不重要，直觀圖僅是數(shù)轉(zhuǎn)形、形轉(zhuǎn)數(shù)的媒介，每個(gè)學(xué)生都有適合幫助自己思考的直觀圖。

四、借助單位“1”——引導(dǎo)學(xué)生解決問題

教材編排的是引導(dǎo)學(xué)生尋找單位“1”來解決問題：把一個(gè)量（例如一本書、一段時(shí)間、一段路程、一項(xiàng)工程、一個(gè)物體等）視為一個(gè)整體，并賦予數(shù)值1的特征，記作“1”，這就是我們平常所說的單位“1”。如果我們并不知道某個(gè)總量是多少、某段時(shí)間有多長(zhǎng)，就可以把這一總量和這一時(shí)長(zhǎng)看作單位“1”；有時(shí)候，物體的一部分也可看作單位“1”，如“甲修路隊(duì)修了一段路的[15]，乙修路隊(duì)修了余下路段的[23]”，很顯然后半句是把剩余路段（整個(gè)路段的[45]）看作單位“1”。

單位“1”是解決分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算等問題的工具和重要支點(diǎn)。學(xué)生讀題后首先要解決的就是找到問題中的單位“1”，再找出對(duì)應(yīng)分率和對(duì)應(yīng)量，最后寫出等量關(guān)系式“單位‘1’的量×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)量”，從而解決問題。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)分?jǐn)?shù)的問題大致可分為兩種：一種是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少；另一種是已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”。

1.找到單位“1”，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題

教學(xué)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（一）”時(shí)，第一種思路是引導(dǎo)學(xué)生把已知量當(dāng)作單位“1”，這樣就可以利用轉(zhuǎn)化的方法來解決問題。把氣象小組看作單位“1”去分別度量攝影小組和航模小組，能各得出一個(gè)對(duì)應(yīng)分率。第二種思路是提示學(xué)生利用攝影小組人數(shù)作媒介，依據(jù)氣象小組人數(shù)與攝影小組人數(shù)之間的關(guān)系先求出攝影小組人數(shù)，再利用航模小組人數(shù)與攝影小組人數(shù)之間的關(guān)系求出航模小組人數(shù)。

2.利用單位“1”的標(biāo)準(zhǔn)單位功能，用一把“尺子”量到底從而解決問題

仔細(xì)觀察圖3，氣象小組人數(shù)是已知量，把氣象小組人數(shù)看作單位“1”，然后再用它分別去度量攝影小組人數(shù)和航模小組人數(shù)，則攝影小組人數(shù)是它的“1×[13]”，航模小組人數(shù)為它的“1× [13]×[34] =[312]”。這樣，用同一個(gè)度量單位去度量另外兩個(gè)量，能分別得出一個(gè)對(duì)應(yīng)分率，將問題轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的乘法來計(jì)算。

當(dāng)單位“1”隱藏較深時(shí)，學(xué)生往往不容易找到。例如，對(duì)于問題“五一期間，某商廈打折促銷，一種品牌家具的價(jià)格降低了[14]”，學(xué)生往往看不出[14]與誰有關(guān)聯(lián)。此時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生在不誤解或不改變題意的前提下，將這個(gè)關(guān)鍵句補(bǔ)充完整，即“某種品牌家具的現(xiàn)價(jià)比原價(jià)降低了[14]”，從而確定原價(jià)就是單位“1”。

3.豐富單位“1”的設(shè)定方法，尋找解決問題的不同思路

根據(jù)所設(shè)單位“1”的不同，可以選擇不同的解決問題的思路。例如，“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”中練一練第 3 題，題目要求看圖（如圖4）列式計(jì)算。

4.將未知量設(shè)為單位“1”，輕松架起“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”與“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”的橋梁

既然單位“1”具有標(biāo)準(zhǔn)單位功能，就可用“未知量”去度量已知量，然后根據(jù)兩者之間的關(guān)系，得出一個(gè)分率。在教學(xué)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”后，筆者出示圖6：

先讓學(xué)生試著將第二天的成交量設(shè)為單位“1”，學(xué)生根據(jù)直觀圖，得出第一天的成交量為第二天的[56]。至此，問題轉(zhuǎn)為“單位‘1’的[56]是50輛，單位‘1’是多少？”，這正是“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”中要解決的問題。這個(gè)設(shè)定就架起了“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”和“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”之間的橋梁。其實(shí)，“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”要解決的問題是“比一個(gè)量多或少幾分之幾的量是多少”，在“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”中要解決的問題是“已知未知量的幾分之幾是多少，求這個(gè)未知量”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用分?jǐn)?shù)的除法或用列方程的方法來解決。通過設(shè)未知量為單位“1”的方法將“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（二）”的問題轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（三）”的問題，這也間接證實(shí)了用列方程的方法可解決“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”問題。

五、啟發(fā)方程思想——找到解決分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算問題的基本思想

在分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算中，問題解決的基本思想還是方程思想。對(duì)于如圖2所示的問題，可以設(shè)航模小組有x人，根據(jù)三個(gè)小組的關(guān)系，攝影小組有[43]x人，氣象小組有4x人，根據(jù)已知條件得4x=12，即x=3。對(duì)于如圖6所示的問題，若設(shè)第二天的成交量為x輛，則第一天的成交量為[56]x輛，可以利用等量關(guān)系列出方程[56]x=50，從而得出第二天的成交量為60輛。

理論上是可以設(shè)任何一個(gè)量為單位“1”的，這樣解決問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)變?yōu)橛弥庇^圖表示幾個(gè)量之間的關(guān)系，然后以設(shè)定的單位“1”為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算出另外幾個(gè)量的對(duì)應(yīng)分率，最后根據(jù)已知量求出其他未知量。用列方程的方法來解決分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算問題，不用再刻意去找哪一個(gè)量是單位“1”，僅需設(shè)其中的一個(gè)未知量為x，先分析x與其他量之間的關(guān)系，再用代數(shù)式表示其他量，然后根據(jù)問題中的等量關(guān)系列出方程，最后求出這個(gè)設(shè)定的未知量x。

六、體驗(yàn)代數(shù)式的數(shù)值化表示——理解單位“1”的本質(zhì)

單位“1”本質(zhì)上是代數(shù)式的數(shù)值化表示，雖然賦予其特殊值“1”，它的本質(zhì)還是代數(shù)式，暗藏著代數(shù)式的運(yùn)算功能。實(shí)際上，解決分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算問題用的還是方程思想，由于巧妙地利用單位“1”將代數(shù)式的外衣脫去，從表面上看到僅僅是數(shù)值運(yùn)算，所以大大降低了問題解決的難度。

“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”單元的教學(xué)，承載了培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、思維能力、問題解決能力、早期代數(shù)思維能力、方程思想等任務(wù)。學(xué)生在探索運(yùn)算順序和運(yùn)算律的過程中經(jīng)歷了觀察、比較、計(jì)算、驗(yàn)證、抽象、概括等思維活動(dòng)，增強(qiáng)了符號(hào)意識(shí)，既提高了運(yùn)算技能，又提高了問題解決能力，養(yǎng)成了用數(shù)學(xué)的眼光觀察、用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的習(xí)慣。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 湯寶玉.由表面理解到真正建構(gòu)：談“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”兩次教學(xué)實(shí)踐與反思[J].考試周刊，2010（39）：95-96.

[2] 胡德運(yùn)，陳燕.“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì)與說明[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（Z4）：90-91.

[3] 盧琳娟，肖美娜.“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算”教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（17）：70-72+2.

[4] 孫思雨，許添舒，孔企平.基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022，31（1）：52-58.

【本文系阜陽市科研課題“‘雙減’背景下農(nóng)村小學(xué)數(shù)學(xué)分層作業(yè)設(shè)計(jì)與實(shí)施研究”（課題編號(hào)：FJK23088）階段性成果。】

（責(zé)編 楊偲培）