結(jié)構(gòu)化教學(xué)，推動(dòng)學(xué)習(xí)“自能化”

蘇丹

［摘 要］數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)樽陨碚J(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。為了更好實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化，教師需要對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，梳理主題和脈絡(luò)，讓學(xué)習(xí)化繁為簡(jiǎn)，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)“自能化”。文章以“梯形的面積計(jì)算”一課為例，闡述如何從教學(xué)目標(biāo)的整體性、知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性、思想方法的一致性、練習(xí)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性四個(gè)方面進(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

［關(guān)鍵詞］梯形；結(jié)構(gòu)化；學(xué)習(xí)“自能化”

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）26-0069-03

數(shù)學(xué)來(lái)自人類(lèi)勞動(dòng)和探索客觀(guān)世界的具體實(shí)踐，從古人結(jié)繩計(jì)數(shù)到質(zhì)能方程，數(shù)學(xué)知識(shí)是從具體實(shí)踐中抽象而來(lái)的，具有結(jié)構(gòu)化屬性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是讓數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，將數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。

學(xué)生建立怎樣的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，取決于教師為他們提供怎樣的信息與知識(shí)。因此，教師首先要考慮課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)。

從“結(jié)構(gòu)”的角度來(lái)展開(kāi)教學(xué)，既能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯聯(lián)系，又能幫助學(xué)生把握內(nèi)容的實(shí)質(zhì)。有個(gè)成語(yǔ)叫一葉知秋，因?yàn)橛辛私Y(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，所以可以從局部擴(kuò)展到整體，如“一葉知秋”一般，從一片樹(shù)葉知道季節(jié)的交替，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)正是希望培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化認(rèn)知能力，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識(shí)、方法的自主生長(zhǎng)，從而擁有“一葉知秋”的能力。下面以“梯形的面積計(jì)算”一課為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行結(jié)構(gòu)化教學(xué)。

一、把握教學(xué)目標(biāo)的整體性

結(jié)構(gòu)化教學(xué)是要學(xué)生通過(guò)回顧聯(lián)想、類(lèi)比提升、反思積累，逐步將知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)化，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體感知。這需要教師在組織結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)時(shí)，整體把握課時(shí)內(nèi)容的教學(xué)價(jià)值，厘清某個(gè)領(lǐng)域知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，結(jié)合版塊整體目標(biāo)，制訂合理、有效的課時(shí)目標(biāo)。

多邊形面積計(jì)算教學(xué)有相同的模式，都是讓學(xué)生在觀(guān)察、操作、比較、推理等活動(dòng)中探索平面圖形面積的計(jì)算方法。整個(gè)過(guò)程都圍繞“轉(zhuǎn)化”這一核心思想展開(kāi)，在探究平行四邊形的面積時(shí)，學(xué)生初次嘗試運(yùn)用切割、平移等方法進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)化，初步感受轉(zhuǎn)化思想。緊接著探索三角形的面積公式時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)計(jì)算三角形的面積，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的意義。在探索梯形面積公式時(shí)，有了前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生自主遷移學(xué)習(xí)方法，也就實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)“自能化”。

另外，還可以對(duì)平面圖形面積的計(jì)算方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，雙向溝通平面圖形之間的聯(lián)系：把梯形轉(zhuǎn)化成其他平面圖形，再推導(dǎo)出梯形的面積公式；梯形的面積公式也服務(wù)于其他平面圖形，可用來(lái)計(jì)算其他平面圖形的面積。學(xué)生在感知知識(shí)整體性和結(jié)構(gòu)化的同時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等思想方法，自主獲得探究同一類(lèi)知識(shí)的學(xué)習(xí)路徑，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

教學(xué)“梯形的面積計(jì)算”一課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了以下教學(xué)目標(biāo)。

1.在操作、觀(guān)察的過(guò)程中自主探究梯形的面積公式，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，發(fā)展空間觀(guān)念，提升學(xué)科素養(yǎng)。

2.在比較、分析、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立梯形的面積公式模型，并能利用公式解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化的意義和價(jià)值，發(fā)展邏輯思維。

3.溝通梯形與其他平面圖形面積公式之間的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)美。

二、挖掘知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性

數(shù)學(xué)中的每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不是單獨(dú)存在的，都屬于某一個(gè)知識(shí)體系，考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及其他因素，教材編排時(shí)切斷了一些知識(shí)鏈，使知識(shí)點(diǎn)猶如“散落的珍珠”分散在不同的學(xué)段里。因此，教師需要溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，將分散的知識(shí)點(diǎn)串成知識(shí)鏈，編織成知識(shí)層級(jí)，再將知識(shí)層級(jí)建構(gòu)成知識(shí)結(jié)構(gòu)，從元素到系統(tǒng)，從局部到整體，讓學(xué)生從全局看清知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的全貌，形成“從結(jié)構(gòu)的角度把握事物本質(zhì)”的結(jié)構(gòu)化思維。

[片段1]

師：同學(xué)們，前兩節(jié)課我們一起研究了平行四邊形、三角形的面積計(jì)算方法，我們是怎樣探索的？

生1：把平行四邊形分割、平移，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，轉(zhuǎn)化前后圖形的面積不變。

生2：把兩個(gè)完全相同的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，可以發(fā)現(xiàn)其中一個(gè)三角形的面積是平行四邊形面積的一半。

師：探索平行四邊形、三角形面積公式的過(guò)程，有什么相同之處？

生3：都把新知轉(zhuǎn)化成了舊知。

師（出示圖1）：是的，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的數(shù)學(xué)思想。那么，你打算把梯形轉(zhuǎn)化成什么圖形，再求它的面積？試著用分割、添補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等方法，把梯形轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的平面圖形吧。

梯形的面積與前兩節(jié)課（平行四邊形的面積、三角形的面積）內(nèi)容相近、結(jié)構(gòu)相同，都可以通過(guò)割補(bǔ)、添補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)等方式把未知轉(zhuǎn)化成已知，從而探索面積計(jì)算方法。課堂上教師通過(guò)復(fù)習(xí)、回顧激發(fā)學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，借助思維導(dǎo)圖溝通各平面圖形之間的聯(lián)系，以“你打算把梯形轉(zhuǎn)化成什么圖形？”為主線(xiàn)，利用新舊知識(shí)之間的共通性，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)遷移性學(xué)習(xí)，使知識(shí)具有自主生長(zhǎng)的活力。

三、緊扣思想方法的一致性

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓不只在于習(xí)得幾個(gè)公式、記住幾個(gè)定律，更重要的是形成數(shù)學(xué)思想方法。成熟的數(shù)學(xué)思想方法是通向解決問(wèn)題的橋梁，連接已知和未知，溝通理論與實(shí)踐。教師要善于將數(shù)學(xué)思想方法以及本質(zhì)規(guī)律進(jìn)行有效遷移，將其延伸或者拓展到相似問(wèn)題的解決過(guò)程中，形成新的解題思路，從而得到新的數(shù)學(xué)感悟和體會(huì)，建構(gòu)新的知識(shí)結(jié)構(gòu)化。

[片段2]

師：運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，你把梯形轉(zhuǎn)化成了什么圖形？轉(zhuǎn)化前后的圖形面積有怎樣的關(guān)系？你還有什么發(fā)現(xiàn)？怎樣求梯形的面積？

學(xué)生自主探究后匯報(bào)交流（如圖2、圖3）：

師：比較同學(xué)們的探究過(guò)程，有什么相同和不同的地方？

生1：得到的梯形面積公式相同。

生2：都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的策略。

生3：公式中都有“[÷]2”。

師：同學(xué)們觀(guān)察得真仔細(xì)，用添補(bǔ)法（如圖2），梯形面積是平行四邊形的一半，因此梯形的面積公式中有“[÷]2”。為什么用分割法時(shí)（如圖3）也要“[÷]2”呢？

生4：計(jì)算圖3中三角形的面積時(shí)就要“[÷]2”。

師：是呀，不同的方法，“[÷]2”表示的意義也不同，但最終都成功把梯形轉(zhuǎn)化成了已學(xué)過(guò)的平面圖形，并得到了相同的梯形面積公式。

“多邊形面積”的教學(xué)重點(diǎn)在于讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想，思想是一致的，但轉(zhuǎn)化方法有所不同。課堂上學(xué)生通過(guò)添補(bǔ)、分割等不同方法，把梯形轉(zhuǎn)化成了已學(xué)過(guò)的平面圖形，積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受了轉(zhuǎn)化方法的多樣性，再次溝通了梯形與其他平面圖形之間的聯(lián)系。轉(zhuǎn)化后，教師通過(guò)“為什么要‘÷2’？”這一問(wèn)題滲透“倍積變形”“等積變形”的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象挖掘本質(zhì)，通過(guò)推理對(duì)比發(fā)現(xiàn)用不同的方法推導(dǎo)公式時(shí)，“[÷]2”的意義是不一樣的，使學(xué)生進(jìn)一步感悟“雖然轉(zhuǎn)化方法不同，但結(jié)果相同”。整個(gè)過(guò)程中，教師給學(xué)生提供了充分的探索空間，有效提升了學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生的思維邁向高階。

四、聚焦練習(xí)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性

有層次的練習(xí)能在鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的同時(shí)，厘清知識(shí)之間的聯(lián)系，在“變”與“不變”中凸顯不同面積公式中相同的原理，將分散的知識(shí)用結(jié)構(gòu)化的思維穿成一條條線(xiàn)，結(jié)成一張張網(wǎng)，真正有效地促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和理解。

生1：一樣大。

師：為什么？把你的想法和大家分享一下。

生1：因?yàn)槿齻€(gè)梯形上底與下底的和都等于10，它們的高又是相等的，所以面積也相等。

師：這三個(gè)梯形雖然形狀不同，但它們上底加下底的和相等，高也相等，我們說(shuō)這三個(gè)梯形是等底等高的。等底等高的情況下，它們的面積也相等。你還能說(shuō)出一些與這三個(gè)梯形的高相等、面積也相等的圖形嗎？

生2：上底是1米，下底是9米，高是5米的梯形。

生3：底是5米，高是5米的平行四邊形。

生4：底是10米，高是5米的三角形。

師：同學(xué)們找到了這么多圖形，它們的面積都相等嗎？我們通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證一下。（學(xué)生口答驗(yàn)證）

師：為什么平行四邊形、三角形的面積也可以用梯形的面積公式來(lái)計(jì)算呢？看了接下來(lái)的動(dòng)畫(huà)你就能明白啦。

動(dòng)畫(huà)演示：梯形的上底變大，當(dāng)a=b（a是上底，b是下底）時(shí)，梯形就變成了平行四邊形，其面積公式可寫(xiě)為S平行四邊形=（a+b）×h÷2=（a+a）×h÷2=2a×h÷2=a×h。

動(dòng)畫(huà)演示：梯形的上底變小，當(dāng)a=0時(shí)，梯形就變成了三角形，其面積公式可寫(xiě)為S三角形=（a+b）×h÷2=（0+b）×h÷2=b×h÷2。

課堂上教師精心設(shè)計(jì)了三個(gè)形狀不同但面積相等的梯形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生明確：在高相等的情況下，只要“上底與下底的和”相等，那么這些梯形的面積也相等。以此為基礎(chǔ)，對(duì)于問(wèn)題“你還能說(shuō)出一些與這三個(gè)梯形的高相等、面積也相等的圖形嗎？”，學(xué)生能想到的就是高不變，上底與下底的和是10米的圖形。

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)在更高層面上將三種圖形之間的聯(lián)系進(jìn)行了溝通，提煉出共同的本質(zhì)以提升學(xué)生的遷移能力，并通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化展示圖形的轉(zhuǎn)化過(guò)程。通過(guò)推理溝通三種圖形的面積公式，凸顯它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，推導(dǎo)出可以相互轉(zhuǎn)化的多邊形的面積公式。這就是知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，具有內(nèi)聯(lián)溝通、舉一反三、融會(huì)貫通的價(jià)值。

結(jié)構(gòu)化教學(xué)向?qū)W生展示了知識(shí)之間是有聯(lián)系的，是有機(jī)的整體，有先后邏輯，有主次關(guān)系，學(xué)生看到了整個(gè)結(jié)構(gòu)和生長(zhǎng)的過(guò)程，才能理解數(shù)學(xué)從具體到抽象的演變，了解其內(nèi)在邏輯與意義。有了教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、思想方法、練習(xí)的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、思維能力都向著結(jié)構(gòu)化的方向發(fā)展和完善，才能實(shí)現(xiàn)真正的學(xué)習(xí)“自能化”，從而推動(dòng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)自主生長(zhǎng)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 許衛(wèi)兵.小學(xué)數(shù)學(xué)整體建構(gòu)教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2022：73-102.

[2] 李雪梅.結(jié)構(gòu)化建構(gòu)概念 ? 系統(tǒng)化發(fā)展學(xué)生思維：以“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”教學(xué)為例[J].教育科學(xué)論壇，2021（10）：57-60.

[3] 朱俊華.小學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)重在結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2021（4）：56-60.

（責(zé)編 黃 露）