高考中三類解析幾何問(wèn)題解析

吳小麗+湯強(qiáng)

解析幾何是高考必考內(nèi)容之一，要解決這類問(wèn)題一定要注重通性通法，深入理解轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，將題目的條件準(zhǔn)確翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，讀出題目的弦外之音，悟出命題意圖.因此，解析幾何的教學(xué)，不但要讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何元素的代數(shù)表示及代數(shù)方程的幾何含義，而且應(yīng)通過(guò)建立幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立普遍聯(lián)系的觀念，拓展學(xué)生看問(wèn)題的視野.從這個(gè)意義上講，解析幾何的教育價(jià)值是通過(guò)坐標(biāo)法下幾何與代數(shù)統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生建立普遍聯(lián)系的辯證觀念，在運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的過(guò)程中，拓展學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力.

一、軌跡問(wèn)題

解析幾何解答題每年高考固定要考一題，其中曲線軌跡問(wèn)題的探求在高考中出現(xiàn)的頻率最高.此類問(wèn)題的解題步驟通常是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系、設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、依題設(shè)條件列出方程、代入化簡(jiǎn)整理即得曲線的軌跡方程.基本方法有定義法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法等.求曲線方程是解析幾何的基本問(wèn)題或首要問(wèn)題，通過(guò)求曲線方程可以考查曲線與方程及直線的概念與性質(zhì)、圓錐曲線的定義與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基本知識(shí)，考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求軌跡方程的解析幾何思想，以及求軌跡方程的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，所以求軌跡方程仍然是經(jīng)久不衰的高考熱點(diǎn).求軌跡方程的常見(jiàn)題型是曲線形狀不明確或不便于用標(biāo)準(zhǔn)形式.

例1（2014年廣東卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（5，0），離心率為53.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解（1）由題意知，c=5，ca=53，

∴a=3，b2=a2-c2=9-5=4，

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y24=1.

（2）若x0=±3，則點(diǎn)P到橢圓C的切線中有一條斜率不存在，由于兩切線垂直，則另一條切線斜率必為0，∴y0=±2.

∴點(diǎn)（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）在所求軌跡上.

當(dāng)點(diǎn)P到橢圓C的切線斜率存在且不為0時(shí)，

設(shè)切線方程為l：y-y0=k（x-x0），

聯(lián)立方程x29+y24=1，y-y0=k（x-x0），

消去y，整理得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，由于直線l與橢圓C相切，

∴Δ=182k2（kx0-y0）2-4（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，整理，得（x20-9）k2-2x0y0k+y20-4=0，

又因?yàn)閮蓷l切線垂直，∴k1k2=y20-4x20-9=-1，

∴有x20+y20=13，點(diǎn)（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2）也滿足x20+y20=13，

故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.

二、定值問(wèn)題

在高考中經(jīng)常出現(xiàn)探討定值的問(wèn)題，可以為證明題，也可以為解答題.求定值的基本方法是：先將變動(dòng)元素用參數(shù)表示出來(lái)，然后計(jì)算出相應(yīng)結(jié)果與該參數(shù)的取值無(wú)關(guān)；也可以將變動(dòng)元素置于特殊情況下，猜想出定值，然后再予以證明.通常需要與代數(shù)、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)相結(jié)合，注意轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、韋達(dá)定理及點(diǎn)差法等“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的靈活運(yùn)用.其中若涉及“中點(diǎn)弦”或“弦中點(diǎn)”以及求解與斜率有關(guān)的問(wèn)題，經(jīng)常使用“韋達(dá)定理”或者“點(diǎn)差法”求解，可避免直線與橢圓方程聯(lián)立，減少計(jì)算量.

在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理，也可以直接用韋達(dá)定理根據(jù)已知的等量關(guān)系建立參量的方程，再利用判別式等限制條件求值或說(shuō)明與假設(shè)矛盾，注意在求出值時(shí)，一定要從范圍上進(jìn)行驗(yàn)證是否成立，從而解決此類存在性問(wèn)題.

例3（2007年寧夏卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，其中k∈-∞，-22∪22，+∞，設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），

設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，由x22+y2=1，y=kx+2，

得12+k2x2+22kx+1=0，

∴x1+x2=-42k1+2k2，

y1+y2=221+2k2，

又A（2，0），B（0，1），∴AB=（-2，1）.

假設(shè)向量OP+OQ與AB共線，則x1+x2=-2（y1+y2），

即-42k1+2k2=-2·221+2k2，

∴k=22，與k∈-∞，-22∪22，+∞矛盾，

故不存在滿足條件的k.

上述簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明了，數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸、韋達(dá)定理及點(diǎn)差法等數(shù)學(xué)思想方法在解決平面解析幾何中軌跡問(wèn)題、最值與定值問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題、存在性問(wèn)題等的重要性.根據(jù)解析幾何“小題靈活，大題綜合”的特點(diǎn)，備考時(shí)應(yīng)注重通性通法，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合意識(shí)、設(shè)而不求意識(shí)、轉(zhuǎn)化意識(shí)，從一個(gè)高視角全面地看待問(wèn)題，進(jìn)而解決這類高考中綜合性較強(qiáng)的解析幾何問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

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例2（2015年全國(guó)卷Ⅱ）已知橢圓C：9x2+y2=m2（m>0），直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸.l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

解設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），

由y=kx+b9x2+y2=m2，

消去y，整理得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，

∴x1+x2=-2kbk2+9，y1+y2=k（x1+x2）+2b=18bk2+9.

∴xM=x1+x22=-kbk2+9，yM=y1+y22=9bk2+9.

∴直線OM的斜率kOM=yMxM=-9k，

∴kOM·k=-9k·k=-9.

故直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.

三、存在性問(wèn)題

判斷存在性問(wèn)題是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在或某一結(jié)論是否成立的探索性問(wèn)題，解決這類問(wèn)題通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，然后