矩陣方程X+A*(R+B*XB)-tA=Q的Hermite正定解

黃玉蓮, 羅顯康

(1.宜賓學(xué)院 理學(xué)部, 四川 宜賓 644000; 2. 宜賓市南溪職業(yè)技術(shù)學(xué)校, 四川 宜賓 644100)

0 引言

研究非線性矩陣方程

X+A*(R+B*XB)-tA=Q

(1)

的Hermite正定解, 其中t≥1是正實(shí)數(shù),A,B,R,Q是n階非奇異復(fù)矩陣且R,Q正定. 非線性矩陣方程是數(shù)值代數(shù)的研究熱點(diǎn)之一, 在最優(yōu)控制理論、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)學(xué)、隨機(jī)過程、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和梯形網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的應(yīng)用十分廣泛[1-5]. 矩陣方程(1)是時(shí)間代數(shù)Riccati方程特殊情形的推廣, 眾多專家學(xué)者對其各種簡化形式進(jìn)行了討論[6-8]. 近年來, 不斷有學(xué)者對形如方程(1)的非線性矩陣方程進(jìn)行了系統(tǒng)研究, 取得很多豐碩成果. 文獻(xiàn)[9]利用Thompson度量的性質(zhì)和系數(shù)矩陣的特征值刻畫了矩陣方程X-A*(R+BXB*)-tA=Q的Hermite正定解, 構(gòu)造出帶步長參數(shù)的迭代算法. 文獻(xiàn)[10]給出方程X=H+AHX(I+GX)-1A存在Hermite正定解的充分條件, 提出了一種加速算法. 文獻(xiàn)[11]利用矩陣方程X=Q-A*(Im?X-C)-tA的等價(jià)形式, 提出計(jì)算方程Hermite正定解的牛頓迭代法. 文獻(xiàn)[12]構(gòu)造出幾種求解矩陣方程X+A*(R+B*XB)-tA=Q(0

符號(hào)說明: 本文用M>0(M≥0)表示M是正定(半正定)矩陣,M>N(M≥N)表示M-N是正定(半正定)矩陣,A*表示復(fù)矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置. 對于正定矩陣Q, 用λmax(Q)和λmin(Q)分別表示矩陣Q的最大特征值和最小特征值. ‖H‖表示矩陣H的譜范數(shù).B-*=(B-1)*.

1 解的存在性及上下界估計(jì)

本節(jié)先給出方程(1)存在Hermite正定解的充分條件, 證明在給定條件下方程存在唯一Hermite正定解. 同時(shí)得到方程Hermite正定解的取值范圍及性質(zhì).

引理1[3]若A>B>0(A≥B>0), 則當(dāng)α∈(0,1]時(shí), 有Aα>Bα>0(Aα≥Bα>0); 當(dāng)α∈[-1,0)時(shí), 有0

引理2[3]對任意正定矩陣E,F≥bI>O及正數(shù)t, 都有

引理3[3]若C和P是相同階數(shù)的Hermite矩陣且P可逆, 則CPC+P-1≥2C.

引理4[13]設(shè)A,B是Hilbert空間H上的正算子, 且滿足M1I≥A≥m1I,M2I≥B≥m2I和B≥A≥O, 則對任意的t∈[1,+∞), 有

引理5[13]設(shè)矩陣A,B,D∈Cn×n, 且A,A-BD和DA-1B-I非奇異, 則

(A-BD)-1=A-1-A-1B(DA-1B-I)-1BA-1.

定理1若方程(1)存在Hermite正定解, 則

(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1

證明因X是矩陣方程(1)的Hermite正定解, 則有

X

因此(R+B*XB)-t<(A*)-1QA-1, 從而(R+B*XB)t>AQ-1A*. 再根據(jù)引理1, 有

X>(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1.

于是(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1

定理2若(AQ-1A*)1/t>R且

顯然Ω是一個(gè)非空的有界閉凸集, 且F(X)在Ω上是連續(xù)的. 因?yàn)?/p>

則對任意的X∈Ω, 都有

(2)

又因?yàn)镕(X)=(B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1>(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1>O, 則有F(X)∈Ω.因此F(X)?Ω, 由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理知,F(X)在Ω上存在不動(dòng)點(diǎn), 即X=F(X)=(B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1. 此不動(dòng)點(diǎn)即為矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解. 由定理1知?X1,X2∈Ω, 有X1,X2≥(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1, 那么

(R+B*X1B),(R+B*X2B)≥ (AQ-1A*)1/t≥λmin(AQ-1A*)1/t,

(3)

令λmin(AQ-1A*)1/t=b, 由(3)式和引理2可知

定理3若矩陣方程(1)有Hermite正定解X, 則X∈[N,M]. 其中

證明由定理1知

(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1

則有R+B*XB

于是有

進(jìn)而

因此

即有

A*(R+B*QB)-tA=M.

由引理5得

(R+B*XB)t=A(Q-X)-1A*=A[Q-1-Q-1(XQ-1-I)-1XQ-1]A*=AQ-1A*-AQ-1(XQ-1-I)-1XQ-1A*=AQ-1A*-AQ-1(Q-1-X-1)-1Q-1A*=AQ-1A*+AQ-1(X-1-Q-1)-1Q-1A*>AQ-1A*+AQ-1(B[(AQ-1A*)1/t-R]-1B*-Q-1)-1Q-1A*.

因此

X>(B*)-1[[AQ-1A*+AQ-1(B[(AQ-1A*)1/t-R]-1B*-Q-1)-1Q-1A*]1/t-R]B-1=N.

即X∈[N,M]. 證畢.

定理4若矩陣方程(1)存在Hermite正定解, 則有

證明因X為矩陣方程(1)的Hermite正定解, 即X+A*(R+B*XB)-tA=Q.則有

0

由引理1得

X>(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1.

因此

R+B*QB>R+B*XB= [A(Q-X)-1A*]1/t> [A(Q-(B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1)-1A*]1/t.

(4)

即

證畢.

2 求解矩陣方程(1)的迭代算法

本節(jié)給出求解矩陣方程(1)的迭代算法, 并分別證明其收斂性. 先討論如下迭代:

(5)

定理5在定理2的條件下, 由算法公式(5)生成的序列{Xk}收斂到矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解.

證明由定理2可知矩陣方程(1)存在Hermite正定解, 即

X=(B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1>X0.

根據(jù)算法公式(5)知

X1=(B*)-1[(A(Q-X0)-1A*)1/t-R]B-1= (B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1>O=X0,X1=(B*)-1[(A(Q-X0)-1A*)1/t-R]B-1< (B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1=X.

假設(shè)對任意k≥1有Xk-1

Xk+1=(B*)-1[(A(Q-Xk)-1A*)1/t-R]B-1> (B*)-1[(A(Q-Xk-1)-1A*)1/t-R]B-1=Xk,Xk+1=(B*)-1[(A(Q-Xk)-1A*)1/t-R]B-1< (B*)-1[(AQ-X)-1A*)1/t-R]B-1=X.

由數(shù)學(xué)歸納法和矩陣偏序可知迭代序列{Xk}單調(diào)遞增有上確界, 收斂于矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解.證畢.

下面對算法公式(5)進(jìn)行改進(jìn)

(6)

對于算法公式(6), 有如下結(jié)論.

定理6若存在實(shí)數(shù)ξ,η(0<ξ≤η<1)滿足

則算法公式(6)生成的序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解X, 且有ξQ≤X≤ηQ.

證明因?yàn)镼是Hermite 正定矩陣, 則AQ-1A*也為Hermite 正定矩陣, 那么

λmin(AQ-1A*)I≤AQ-1A*≤λmax(AQ-1A*)I.

并且

根據(jù)算法公式(6)可知

假設(shè)對任意k≥1有Xk≥Xk-1, 那么

Xk+1=(B*)-1[(A(Q-Xk)-1A*)1/t-R]B-1≥ (B*)-1[(A(Q-Xk-1)-1A*)1/t-R]B-1=Xk.

由歸納法知迭代序列{Xk}單調(diào)遞減有下界ξQ.下面證明迭代序列{Xk}有上界ηQ, 由于X0=ξQ≤ηQ,易知

假設(shè)對任意k≥1有Xk≤ηQ, 那么

綜上所述, 由算法公式(6)生成的序列{Xk}單調(diào)遞增有上界, 由單調(diào)有界定理知, 序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解, 且滿足ξQ≤X≤ηQ.證畢.

定理7若存在實(shí)數(shù)ξ,η(0<ξ≤η<1)滿足

則矩陣方程(1)存在Hermite正定解且有

‖Xk-X‖≤p‖Xk-1-X‖≤pk(η-ξ)‖Q‖.

證明由定理6知, 算法公式(6)產(chǎn)生的序列{Xk}收斂到矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解, 令M=A(Q-Xk-1)-1A*,N=A(Q-X)-1A*, 則

M,N≥ξ·B*QB+R≥λmin(ξ·B*QB+R)I.

取b=λmin(ξ·B*QB+R), 對范數(shù)‖Xk-X‖進(jìn)行估計(jì)

因此

‖Xk-X‖≤q‖Xk-1-X‖≤

qk‖X0-X‖≤qk(η-ξ)‖Q‖.

證畢.

為降低運(yùn)算復(fù)雜度, 避免每步迭代過程中矩陣求逆引起的誤差, 提出如下免逆迭代:

(7)

定理8在定理2的條件下, 由算法公式(7)生成的序列{Xk}和{Yk}滿足

證明由定理2知方程(1)的Hermite正定解滿足X=(B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1. 則

X1=(B*)-1[(AY0A*)1/t-R]B-1= (B*)-1[(AQ-1A*)1/t-R]B-1O.

由引理3得

Y1=[2I-Y0(Q-X1)]Y0= 2Y0-Y0(Q-X1)Y0≤(Q-X1)-1≤(Q-X)-1,Y1-Y0=Y0-Y0(Q-X1)Y0=Q-1X1Q-1>O.

則有

X0

假設(shè)

Xk-1

那么

Xk+1=(B*)-1[(AYkA*)1/t-R]B-1< (B*)-1[(A(Q-X)-1A*)1/t-R]B-1=X,Xk+1=(B*)-1[(AYkA*)1/t-R]B-1> (B*)-1[(AYk-1A*)1/t-R]B-1=Xk,Yk+1=2Yk-Yk(Q-Xk+1)Yk≤ (Q-Xk+1)-1≤(Q-X)-1,Yk+1-Yk=Yk-Yk(Q-Xk+1)Yk=Yk[Yk-1-(Q-Xk+1)]Yk>Yk[Yk-1-(Q-X)]Yk>0.

綜上所述, 由算法公式(7)生成的序列{Xk}和{Yk}皆單調(diào)遞增有上界, 根據(jù)單調(diào)有界定理知, 序列{Xk}收斂于矩陣方程(1)的一個(gè)Hermite正定解. 證畢.

3 數(shù)值算例

本節(jié)利用數(shù)值算例驗(yàn)證本文的理論成果, 說明所提迭代算法的有效性. 算法實(shí)現(xiàn)的軟件環(huán)境是MATLAB R2018b, PC機(jī)為Intel(R) Core(TM) i7-8750H cpu @ 2.20GHz. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告中, 用k、MM、NN、Error和Time分別代表迭代次數(shù)、算法所需矩陣乘法運(yùn)算次數(shù)、矩陣求逆次數(shù)、終止時(shí)的殘差和計(jì)算所需時(shí)間. 算法停止條件為

Rk=‖Xk+A*(R+B*XkB)-t-Q‖≤1.0×10-10.

例1給定n階復(fù)矩陣A,B,R,Q∈Cn×n,且R,Q為Hermite正定矩陣.

試求矩陣方程X+A*(R+B*XB)-1.8A=Q的Hermite正定解.

解當(dāng)n=5時(shí), 直接驗(yàn)證可知滿足定理2矩陣方程存在Hermite正定解的條件. 取ξ=0.1,η=0.7, 滿足定理6的條件. 殘差與迭代次數(shù)結(jié)果如圖1所示, 迭代計(jì)算結(jié)果如下:

表1 例1迭代計(jì)算結(jié)果

圖1 例1殘差迭代結(jié)果

當(dāng)n=100,500,1 000時(shí), 計(jì)算結(jié)果如表1所示.

例2給定n階復(fù)矩陣A,B,R,Q∈Cn×n, 且R,Q為Hermite正定矩陣.

試求矩陣方程X+A*(R+B*XB)-3A=Q的Hermite正定解.

解當(dāng)n=5時(shí), 直接驗(yàn)證可知滿足定理2矩陣方程存在Hermite正定解的條件. 取ξ=0.2,η=0.8, 滿足定理6的條件. 殘差與迭代次數(shù)結(jié)果如圖2所示, 迭代計(jì)算結(jié)果如下:

圖2 例2殘差結(jié)果

表2 例2迭代計(jì)算結(jié)果

當(dāng)n=100,500,1 000時(shí), 計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表1、表2結(jié)果顯示, 三種迭代算法經(jīng)較少迭代次數(shù)均能達(dá)到預(yù)設(shè)誤差精度, 收斂速度較高. 不動(dòng)點(diǎn)迭代算法涉及的矩陣求逆次數(shù)比無逆迭代算法次數(shù)多, 但涉及的矩陣乘法次數(shù)較少.迭代公式(6)在選取適當(dāng)參數(shù)時(shí), 其收斂速度更快, 迭代公式(7)的優(yōu)勢在于每步迭代過程中僅涉及初始矩陣求逆.

4 結(jié)論

非線性矩陣方程X+A*(R+B*XB)-tA=Q是離散時(shí)間代數(shù)Riccati方程的特殊情形. 本文在一定條件下討論其Hermite正定解, 給出Hermite正定解的一些性質(zhì)及其取值區(qū)間. 構(gòu)造出計(jì)算此方程的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法和無逆迭代算法, 從降低矩陣求逆運(yùn)算誤差的角度對比分析了兩類算法的特點(diǎn). 數(shù)值算例表明, 所提出的算法對求解此類非線性矩陣方程可行、有效.