色噪聲激勵下含分數(shù)階時滯項的廣義Van der Pol系統(tǒng)的隨機分岔

王 媛, 王慧男, 盛正大, 王 芳

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

0 引言

對相對復(fù)雜的非線性系統(tǒng)建模時, 用分數(shù)階微積分方程建模比整數(shù)階模型更加簡潔準確[1-3], 可以很好地表達時間記憶效果, 精確描述物理力學(xué)問題, 因此分數(shù)階系統(tǒng)具有較高的研究價值. 目前分數(shù)階系統(tǒng)已被廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、黏性流體力學(xué)、信號處理、生物工程學(xué)、控制理論等領(lǐng)域[4-6].

近些年關(guān)于分數(shù)階系統(tǒng)的動力學(xué)行為研究已經(jīng)取得了一定的進展. Guo等[7]研究了廣義Van der Pol系統(tǒng)在白噪聲激勵下的隨機分岔行為; Mathiyalagan等[8]利用Gronwall和隨機分析的方法, 研究了分數(shù)階系統(tǒng)在噪聲作用下的有限時間穩(wěn)定性; 唐建花等[9]采用平均法研究了含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)阻尼項的Van der Pol-Duffing振子的隔振效果, 并討論了不同參數(shù)對力傳遞率的影響. 但由于系統(tǒng)的復(fù)雜性, 許多控制系統(tǒng)的當前狀態(tài)都不可避免地受到過去狀態(tài)的影響, 即系統(tǒng)存在一種名為時滯的特性. 它的存在一方面可以讓系統(tǒng)的動態(tài)性能變差; 另一方面利用時滯設(shè)計系統(tǒng)可以改善其控制效果, 很多學(xué)者將時滯反饋項引入系統(tǒng)中進行研究: 邱偉達等[10]研究了在Lévy噪聲激勵下含有時滯反饋的FHN神經(jīng)元系統(tǒng)的動力學(xué)行為, 發(fā)現(xiàn)時滯以及噪聲偏斜參數(shù)均能引起神經(jīng)元系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)變; 尚慧琳等[11]研究了引入時滯位置反饋后微陀螺系統(tǒng)的振動跳躍現(xiàn)象等復(fù)雜動力學(xué)行為; 段緒星等[12]研究了在加性白噪聲的激勵下, 時滯反饋對三穩(wěn)態(tài)Van der Pol系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響. 可見引入時滯確實會對系統(tǒng)造成一定的影響, 而目前將時滯反饋項引入分數(shù)階系統(tǒng)的研究還不多, 且選取的噪聲以白噪聲為主, 對于其他噪聲激勵下系統(tǒng)的研究還比較欠缺. 因此本文研究了色噪聲激勵下含分數(shù)階時滯項的廣義Van der Pol系統(tǒng)的隨機分岔行為, 并運用隨機平均法分析了系統(tǒng)的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)及時滯等參數(shù)的改變對系統(tǒng)隨機P-分岔的影響.

1 含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)項的廣義Van der Pol系統(tǒng)

考慮在色噪聲激勵下含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)項的廣義Van der Pol系統(tǒng):

(1)

其中ε為線性阻尼系數(shù),β1,β2,β3,β4,μ為非線性阻尼系數(shù),w為系統(tǒng)的自然角頻率,b1,b2為常數(shù),N(t)為色噪聲, 其均值和相關(guān)函數(shù)滿足(2)式, 其功率譜密度為(3)式

(2)

(3)

在Caputo導(dǎo)數(shù)意義下, 方程(1)中x(t-τ)的p階導(dǎo)數(shù)定義[13]如下所示:

(4)

這里n-1

為方便計算, 由文獻[14-15]可知, 將分數(shù)階導(dǎo)數(shù)項轉(zhuǎn)換為一種回復(fù)力和阻尼力的線性組合, 進而得到以下的等效系統(tǒng)

(5)

其中β(p)是等效阻尼力的系數(shù),α(p)是等效回復(fù)力的系數(shù).

系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的誤差為

(6)

由最小均方誤差原則[16-17]可知

(7)

將(6)式代入(7)式中計算可得

(8)

將(1)式的解設(shè)為以下形式:

(9)

將(9)式代入(8)式并對φ積分平均, 經(jīng)化簡可得

(10)

將(10)式代入(5)式中, 將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成如下形式:

(11)

其中

(12)

引入如下變換[18]:

(13)

其中a(t),θ(t)分別為系統(tǒng)的幅值過程和相位過程. 根據(jù)廣義Van der Pol變換, 將(13)式代入(11)式, 由確定性平均法可得以下隨機微分方程

(14)

其中

(15)

(16)

其中B1(t),B2(t)是標準的維納過程, 且

(17)

運用隨機平均法[19], 將(14)式轉(zhuǎn)化為如下的平均It隨機微分方程

(18)

其中的漂移系數(shù)和擴散系數(shù)分別為

(19)

由(18)式及(19)式可知, 方程中a(t)的表達式與θ(t)是相互獨立的, 可得系統(tǒng)對應(yīng)幅值的FPK方程如下

(20)

(21)

其中C為歸一化常數(shù), 且滿足

2 系統(tǒng)的隨機P-分岔分析

這一節(jié)主要分析參數(shù)的變化對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響, 并通過觀察系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)PDF曲線圖的峰值個數(shù)來判斷系統(tǒng)是否發(fā)生了隨機P-分岔現(xiàn)象.

當b1=1,b2=0時, 系統(tǒng)受加性噪聲的影響, 將(19)式代入(21)式,得

(22)

為了方便表示, 可將p(a)設(shè)為如下形式

p(a)=CR(a,D,ε,w,p,τ,β1,β2,β3) exp[Q(a,D,ε,w,p,τ,β1,β2,β3)],

(23)

(24)

2.1 參數(shù)p對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響

固定參數(shù)[20]β1=1.45,β2=2.81,β3=-1.68,w=1,τ0=0.3,ε=0.2, 給定參數(shù)τ=0.5,μ=0.5,D=0.003, 通過對相關(guān)參數(shù)p取不同的值, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見圖1)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見圖2).

(a) p=0.70

(b) p=0.16

(a) p=0.70

(b) p=0.16

由圖1及圖2可知, 在改變參數(shù)p之后, 系統(tǒng)發(fā)生了分岔行為. 當p=0.70時, 系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點不遠處有一個較明顯的峰; 隨著參數(shù)p的減小, 概率密度函數(shù)曲線在離原點更近的地方出現(xiàn)兩個明顯的峰, 即系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷. 結(jié)合圖2(a)和(b)所對應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線的局部截面, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生了由單峰分布到雙峰分布的躍遷. 由此得出結(jié)論, 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)p的變化會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生隨機P-分岔行為.

2.2 參數(shù)τ對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響

選取參數(shù)p=0.15,μ=0.5,D=0.008, 通過對相關(guān)參數(shù)τ取不同的值, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見圖3)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見圖4).

由圖3及圖4可知, 在改變參數(shù)時滯τ之后, 系統(tǒng)同樣發(fā)生了分岔行為. 當τ=0.32時, 系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點不遠處有一個較明顯的峰, 隨著參數(shù)τ的增大, 概率密度函數(shù)曲線在離原點更近的地方先后出現(xiàn)一低一高兩個明顯的峰, 即系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷; 結(jié)合圖4(a)和(b)可知,相應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線的局部截面圖的峰由一個變成了兩個. 由此說明時滯τ的引入可以誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔.

(a) τ=0.32

(b) τ=0.47

(a) τ=0.32

(b) τ=0.47

2.3 參數(shù)μ對系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的影響

最后給定參數(shù)p=0.15,τ=0.5,D=0.007, 改變分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)μ, 根據(jù)式(22)獲得不同形狀的穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)曲線圖(見圖5)以及聯(lián)合概率密度函數(shù)截面圖(見圖6).

由圖5及圖6可知, 在改變參數(shù)μ之后, 系統(tǒng)同樣發(fā)生了分岔行為. 當μ=0.2時,系統(tǒng)的概率密度函數(shù)曲線在離原點很近的地方有一個較明顯的峰, 當μ=0.42時, 概率密度函數(shù)曲線開始先后出現(xiàn)一高一低兩個峰, 即隨著參數(shù)μ的增大, 系統(tǒng)發(fā)生了由單峰到雙峰分布的躍遷;結(jié)合圖6相應(yīng)的聯(lián)合PDF曲線立體圖,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了單峰分布和雙峰分布. 由此說明分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)μ的變化可以導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生隨機P-分岔的行為.

(a) μ=0.2

(b) μ=0.42

(a) μ=0.2

(b) μ=0.42

3 結(jié)論

本文主要研究了在廣義Van der Pol系統(tǒng)的分數(shù)階項引入時滯反饋和非線性阻尼項后, 在色噪聲激勵下的隨機分岔問題. 首先將其中的分數(shù)階導(dǎo)數(shù)項轉(zhuǎn)換為一種回復(fù)力和阻尼力的線性組合, 將分數(shù)階系統(tǒng)變換為整數(shù)階系統(tǒng)之后, 用隨機平均法求得伊藤隨機微分方程和穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù). 用Matlab繪圖驗證了分數(shù)階導(dǎo)數(shù)階數(shù)p以及時滯τ等參數(shù)的改變能引起系統(tǒng)的平穩(wěn)PDF曲線發(fā)生單峰到雙峰的躍遷, 即系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機P-分岔行為. 利用上述特性, 可以對廣義的Van der Pol系統(tǒng)進行深入研究, 以減少隨機因素對系統(tǒng)造成的影響.