基于虛功原理確定高架車(chē)站軌道梁不利位置分析

彭 偉 （中鐵上海設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，上海 200070）

0 引言

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)[1-5]中的基本知識(shí)，繪制結(jié)構(gòu)的影響線(xiàn)可應(yīng)用靜力法和機(jī)動(dòng)法。超靜定結(jié)構(gòu)的影響線(xiàn)可用機(jī)動(dòng)法[6]快速確定影響線(xiàn)輪廓，其基本步驟：首先去掉所求量值對(duì)應(yīng)的約束，并沿其正方向代之以未知力Z，形成基本結(jié)構(gòu)；然后，使此基本結(jié)構(gòu)沿未知力Z 的方向發(fā)生單位廣義虛位移，繪制出量值的影響線(xiàn)輪廓。當(dāng)需要確定所求量值影響線(xiàn)的縱標(biāo)時(shí)，將基本結(jié)構(gòu)虛位移視為由未知力Z 引起的，根據(jù)位移條件應(yīng)用力法確定未知力Z的大小，再根據(jù)未知力Z的大小得到在此位移狀態(tài)下基本結(jié)構(gòu)的彎矩表達(dá)式。由彎矩-變形關(guān)系，將彎矩表達(dá)式進(jìn)行兩次積分求得變形表達(dá)式，再結(jié)合位移邊界條件，得到位移曲線(xiàn)的表達(dá)式，從而得到影響線(xiàn)的縱標(biāo)。

機(jī)動(dòng)法在求解量值影響線(xiàn)的縱標(biāo)時(shí)，計(jì)算較復(fù)雜。本文從求解多余約束支座反力入手，將多余約束支座反力視為外荷載，并作用于結(jié)構(gòu)上。這樣原超靜定結(jié)構(gòu)量值的求解問(wèn)題就等價(jià)于在外荷載和支座反力作用下靜定結(jié)構(gòu)量值的求解。

1 基本原理與步驟

本文基于虛功原理，求解多跨連續(xù)梁量值的影響線(xiàn)表達(dá)式。首先利用楊迪雄[7]的超靜定結(jié)構(gòu)支座反力計(jì)算的單位支座位移法來(lái)求解隨外荷載移動(dòng)多余約束支座反力，然后將超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為在支座反力和外荷載共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)，用虛功原理求靜定結(jié)構(gòu)的影響線(xiàn)的表達(dá)式，以簡(jiǎn)單明確的步驟求出超靜定結(jié)構(gòu)影響線(xiàn)的縱標(biāo)。

求解過(guò)程共分兩步：①把多余約束支座反力視為外荷載，以多跨連續(xù)梁在外荷載和多余約束支座反力共同作用下的狀態(tài)視為力狀態(tài)。依次在多余約束位置發(fā)生廣義單位虛位移，其他多余約束發(fā)生符合約束條件的位移，以此為位移狀態(tài)。根據(jù)力狀態(tài)和不同的位移狀態(tài)依次列出虛功方程，求解多余約束支座反力的表達(dá)式。②將多余約束支座反力視為外荷載作用于結(jié)構(gòu)上，這樣原超靜定結(jié)構(gòu)量值的求解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在外荷載和支座反力作用下靜定結(jié)構(gòu)量值的求解問(wèn)題，此時(shí)可應(yīng)用機(jī)動(dòng)法列出該量值影響線(xiàn)的方程（即量值與多余約束支座反力的表達(dá)式）。

2 以?xún)煽邕B續(xù)梁為例進(jìn)行公式推導(dǎo)

2.1 求解超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束支座反力

以?xún)煽绯o定連續(xù)梁（如圖1）為例，求解AB跨中D截面的彎矩影響線(xiàn)的表達(dá)式。此線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)所作用的力有單位荷載和支座B的支座反力FRB（方向向上）；位移狀態(tài)（如圖2）為結(jié)構(gòu)在支座B處發(fā)生單位虛位移δB'=1（方向同F(xiàn)RB）。根據(jù)孫訓(xùn)方的《材料力學(xué)Ⅰ》[8]附錄Ⅳ以及由力法確定的支座B單位位移所需要的力，能夠確定撓曲線(xiàn)方程，從而得到外荷載的橫坐標(biāo)為x時(shí)對(duì)應(yīng)的虛位移δP'的表達(dá)式：

圖1 兩跨超靜定連續(xù)梁圖

圖2 B支座單位虛位移圖

該結(jié)構(gòu)的體系為剛體體系，結(jié)構(gòu)體系的總虛變形功為0。各個(gè)微段的應(yīng)力合力在變形上的內(nèi)虛功Wi恒等于外力在位移上下所做的外虛功We。利用功的互等定理，推導(dǎo)超靜定結(jié)構(gòu)支座反力FRB影響線(xiàn)的表達(dá)式：

2.2 求解量值影響線(xiàn)的表達(dá)式

求解彎矩MD的影響線(xiàn)時(shí)，首先去掉D截面處的約束，并以一對(duì)大小相等方向相反的力偶MD代替，將B支座處的支座反力FRB視為外荷載。此線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)所作用的力有單位荷載、支座B的支座反力FRB以及D界面處力偶MD。沿MD正方向發(fā)生單位廣義虛位移，此狀態(tài)為結(jié)構(gòu)的位移狀態(tài)，如圖3 所示。MD、FRB、位置處的位移用δZ、δB、δP表示。各外力所做虛功的總和為0，根據(jù)虛功原理可得：

圖3 MD的單位虛位移圖

由虛設(shè)的位移狀態(tài)可知，在D位置發(fā)生單位轉(zhuǎn)角δZ，AA1=δZl∕2，根據(jù)相似三角形原理，D點(diǎn)的豎向位移為3∕8l（此時(shí)應(yīng)注意結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度為2l），同時(shí)得到虛設(shè)位移圖的方程：

在B 支座發(fā)生的虛位移δB=l/4。將式（3）與式（4）代入到式（5）中可得，

3 求解多跨連續(xù)梁量值的影響線(xiàn)

楊迪雄[7]根據(jù)已知的撓曲線(xiàn)方程求解超靜定結(jié)構(gòu)的單個(gè)支座反力的表達(dá)式,當(dāng)需要求解多個(gè)多余約束反力的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)用單位支座位移法逐個(gè)求解，過(guò)程較為復(fù)雜。本文將多余約束支座反力視為外荷載，以多跨連續(xù)梁在外荷載和多余約束支座反力共同作用下的狀態(tài)為力狀態(tài)。然后，在多余約束位置上依次發(fā)生廣義單位虛位移，其他多余約束發(fā)生符合約束條件的位移，以此為位移狀態(tài)。根據(jù)力狀態(tài)和不同的位移狀態(tài)依次列出虛功方程，可求多余約束支座反力的表達(dá)式。

以三跨超靜定連續(xù)梁（如圖4）為例，對(duì)多余約束支座反力FRB和FRC進(jìn)行求解。此線(xiàn)彈性結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)所作用的力有單位荷載和支座反力FRB、FRC。位移狀態(tài)Ⅰ（如圖5 所示）為結(jié)構(gòu)在支座B處發(fā)生單位虛位移δBB（下標(biāo)左字母表示位置，右字母表示位移引起的原因，以下位移表示同理），支座C發(fā)生符合約束條件的位移。同理，位移狀態(tài)Ⅱ（如圖6所示）為結(jié)構(gòu)在支座C處發(fā)生單位虛位移δC，支座B發(fā)生符合約束條件的位移。以a表示多余約束支座到原點(diǎn)A的距離（用下標(biāo)區(qū)別不同支座），則由支座單位虛位移引起的x位置處的撓度yR可表示為：

圖4 三跨超靜定連續(xù)梁

圖5 B支座單位虛位移圖

圖6 C支座單位虛位移圖

將B支座的坐標(biāo)aB代入到式（7）中，即可得到在位移狀態(tài)Ⅰ（如圖5 所示）中單位外荷載FP在移動(dòng)過(guò)程的位移δPB以及此狀態(tài)下C支座的位移δCB。同理，將C支座的坐標(biāo)aC代入到式（7）中，可得位移狀態(tài)Ⅱ中的δPC和δBC。根據(jù)力狀態(tài)和位移狀態(tài)Ⅰ與力狀態(tài)和位移狀態(tài)Ⅱ（如圖6所示）分別列出虛功方程：

聯(lián)立式（7）、式（8）、式（9），可得到多余約束支座反力FRB和FRC的表達(dá)式。將多余約束支座反力FRB和FRC視為外荷載作用于結(jié)構(gòu)上，這樣三跨連續(xù)梁量值的求解問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在外荷載和多余約束支座反力FRB和FRC作用下簡(jiǎn)支梁量值的求解問(wèn)題，此時(shí)可應(yīng)用機(jī)動(dòng)法列出該量值影響線(xiàn)的方程，具體過(guò)程可類(lèi)比2.2 節(jié)中求解量值影響線(xiàn)表達(dá)式的方法。

4 多跨高架車(chē)站軌道梁的不利位置確定

4.1 高架車(chē)站結(jié)構(gòu)形式

高架車(chē)站的類(lèi)型分為橋建分離和橋建合一，按照《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50157-2013）規(guī)定，橋建分離車(chē)站的設(shè)計(jì)計(jì)算按照建規(guī)計(jì)算即可；橋建合一結(jié)構(gòu)的計(jì)算需要結(jié)合建規(guī)和鐵軌兩種規(guī)范進(jìn)行包絡(luò)設(shè)計(jì)，在橋建合一的結(jié)構(gòu)形式中，軌道梁和橫梁框架是剛接的，而且是多跨連續(xù)的。軌道梁的截面是保持一致的，剛度參數(shù)可以保持一致。

4.2 高架車(chē)站軌道梁上部移動(dòng)荷載類(lèi)型

高架車(chē)站軌道梁上部移動(dòng)荷載在鐵軌規(guī)定中稱(chēng)為列車(chē)荷載，不同的軌道交通方式對(duì)應(yīng)不同的鐵路荷載圖示。一般地鐵設(shè)計(jì)采用的是《地鐵設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50157-2013）的列車(chē)荷載圖示，根據(jù)不同的車(chē)型來(lái)確定相應(yīng)的荷載圖示；市域鐵路按照最新的市域鐵路列車(chē)荷載圖示，市域鐵路荷載圖示是由王麗等研究人員根據(jù)我國(guó)的市域鐵路運(yùn)輸特征和地鐵規(guī)范的主要運(yùn)營(yíng)列車(chē)和參數(shù)，做相應(yīng)的比較，得出采用ZS荷載圖示。

4.3 軌道梁在列車(chē)移動(dòng)荷載組作用下的情況

我國(guó)的列車(chē)主要參數(shù)一般如圖7 所示。列車(chē)的長(zhǎng)度分為三部分，即兩倍的軸距、鄰軸距、車(chē)輛定距?，F(xiàn)在按照最不利的荷載圖示（即ZS 荷載圖示），軸重采用190kN，鄰軸距4.5m、軸距2.5m、車(chē)輛定距7.0m。按照第三節(jié)部分虛功原理求得影響線(xiàn)如圖8 所示，為五跨連續(xù)軌道梁，圖示為中間跨跨中位置的彎矩影響線(xiàn)。如圖9 所示為五跨連續(xù)軌道梁，跨中位置的剪力影響線(xiàn)。

圖7 列車(chē)軸距示意圖

圖8 跨中彎矩影響線(xiàn)

圖9 跨中剪力影響線(xiàn)

圖10 跨列車(chē)載荷模型

五跨連續(xù)軌道梁，每一跨的跨度均為12m，總跨度為60m?，F(xiàn)將列車(chē)荷載的最右端作用在第三個(gè)支座處，列車(chē)從左到右移動(dòng)視為工況一；再將列車(chē)荷載的最左端作用在第四個(gè)支座，列車(chē)從右向左行駛視為工況二。朱慈勉[4]在荷載組移動(dòng)時(shí)，采用臨界荷載法，分別讓荷載從左到右行駛和從右到左行駛，將影響線(xiàn)與每個(gè)支座的切線(xiàn)夾角設(shè)為 ，根據(jù)公式S=∑jFRjyj分別求得荷載在往右移動(dòng)和往左移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力值，如果兩次的計(jì)算結(jié)果是異號(hào)，則可以說(shuō)明荷載為臨界荷載，根據(jù)公式即可求得跨中位置的最大剪力和最大彎矩，同樣也可以求出其余計(jì)算目標(biāo)位置的剪力和彎矩。如果列車(chē)的載荷形式不一樣，還可以根據(jù)荷載的類(lèi)型不同，同樣按照這種極限方法求得最不利的位置以及最不利位置的彎矩和剪力。

5 結(jié)語(yǔ)

5.1 單位位移法求量值影響線(xiàn)

本文基于單位位移法進(jìn)行理論推導(dǎo)，基本思路是現(xiàn)根據(jù)原有的撓曲線(xiàn)方程，列出不用工況下的撓曲線(xiàn)方程，并且定義相應(yīng)的邊界條件；再根據(jù)曲線(xiàn)方程求得相應(yīng)做魚(yú)支座處的虛位移，再根據(jù)虛功原理求得支座反力；最后根據(jù)反力再求量值影響線(xiàn)。本文的推導(dǎo)不同于其他論文的地方是利用虛功原理求得最終的影響線(xiàn)量值，相對(duì)于機(jī)動(dòng)法更加準(zhǔn)確。

5.2 高架車(chē)站軌道的影響線(xiàn)量值分析

本文根據(jù)單位支座位移法原理，利用已知的撓曲線(xiàn)方程求解了超靜定結(jié)構(gòu)在移動(dòng)外荷載作用下的多余約束反力，再推導(dǎo)了量值影響線(xiàn)縱標(biāo)的表達(dá)式。在這個(gè)基礎(chǔ)上再根據(jù)列車(chē)荷載圖示的情況，按照結(jié)構(gòu)力學(xué)的臨界法求得最不利位置以及不利位置的最大剪力和最大彎矩，對(duì)之后的結(jié)構(gòu)施工圖繪制有一定的參考意義。