基于拉格朗日乘子的交流放大電路參數(shù)優(yōu)化方法

蔣樂群,陳冰雪,褚良宇,李青青,趙夢浩,李泓鋼,洪 葳

(華中科技大學(xué)物理學(xué)院,精密重力測量國家重大科技基礎(chǔ)設(shè)施,基本物理量測量教育部重點實驗室,引力與量子物理湖北省重點實驗室,湖北 武漢 430074)

交流放大電路是一種能夠?qū)⑻囟l段的交流信號放大的電路,被廣泛應(yīng)用于信號放大、濾波和調(diào)制等領(lǐng)域,如音頻放大器、無線電接收機、通信系統(tǒng)和醫(yī)療設(shè)備等。由于運算放大器具有增益高、穩(wěn)定性好、輸出線性等優(yōu)點,采用運算放大器設(shè)計的交流放大電路被廣泛應(yīng)用于精密的空間科學(xué)測量任務(wù)中[1-2]。

交流放大電路的核心設(shè)計指標(biāo)主要包括放大增益、中心頻率、品質(zhì)因數(shù)[3]。放大增益是交流放大電路中心頻率處的放大倍數(shù);中心頻率是交流放大電路響應(yīng)最強的頻率;品質(zhì)因數(shù)是交流放大電路帶通特性以及損耗大小的重要指標(biāo)。這些設(shè)計指標(biāo)可以通過改變電路的元器件參數(shù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等方式來優(yōu)化[4-6]。交流放大電路的分析通常是建立電路的電壓和電流的微分方程,從而獲得電路的傳遞函數(shù),對電路的元器件參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計[7-8],或者基于Multisim等仿真軟件的優(yōu)化設(shè)計[9-10,13-14]。然而,電路的元器件參數(shù)通常與多個性能指標(biāo)關(guān)聯(lián)[11],從而給元器件參數(shù)的確定帶來了一定的困難。同時,元器件參數(shù)的不連續(xù),主要是電路中的電阻和電容值的不連續(xù)也導(dǎo)致電路的性能指標(biāo)無法達(dá)到最優(yōu),即品質(zhì)因數(shù)不能取最大值?；诖吮疚奶岢龌诶窭嗜粘俗臃ù_定元器件參數(shù)從而使電路達(dá)到最大的品質(zhì)因數(shù)。

1 實驗原理

1.1 交流放大電路

典型交流放大電路的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

根據(jù)基爾霍夫定律,交流放大器相關(guān)特點可以列出方程:

(1)

式中符號如圖1所示,Z為相同下標(biāo)的電容復(fù)阻抗,聯(lián)立公式和可得傳遞函數(shù),如式(2)所示。

(2)

其中,s=jω,ω為電路信號頻率,j為虛數(shù)單位。

1.2 設(shè)計參數(shù)

對于交流放大電路的設(shè)計,首先需要明確中心頻率和放大倍數(shù)。交流放大電路的傳遞函數(shù)最大值處對應(yīng)的頻率即為中心頻率,利用柯西不等式可知:

(3)

將公式代入公式可得交流放大電路的放大倍數(shù)為

(4)

(5)

可解出兩大于0的頻率為

(6)

(7)

將式(6)和(7)兩頻率做差可得通帶寬:

(8)

這時根據(jù)品質(zhì)因素的定義,可以得到品質(zhì)因數(shù)的表達(dá)式:

(9)

可以發(fā)現(xiàn)在給定中心頻率,放大倍數(shù)時,品質(zhì)因數(shù)隨著R1和C2的增加而增加。

2 實驗內(nèi)容

2.1 拉格朗日函數(shù)建立

一般情況下,交流放大電路需要在給定中心頻率ωs和放大倍數(shù)as下工作,同時希望品質(zhì)因數(shù)盡可能地大,根據(jù)式(10)可知,在ωs、as下,品質(zhì)因數(shù)只與R1和C2有關(guān)。因此,將中心頻率與放大倍數(shù)視為約束,同時將品質(zhì)因數(shù)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為在兩完整約束下求函數(shù)極大值的問題,故使用拉格朗日乘子法,寫出拉格朗日函數(shù):

(10)

其中,α和β為拉格朗日乘子,將其寫成隱式的形式以簡化計算:

L=R1C2aω+α(a-as)+β(ω-ωs) 。

(11)

2.2 極值點求解

對拉格朗日函數(shù)求偏導(dǎo)并使其為零可得:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

聯(lián)立公式,可解出:

(19)

因此,品質(zhì)因數(shù)可寫為

(20)

這時,可以得出結(jié)論:在需要的中心頻率和放大倍數(shù)下,為了得到最大的品質(zhì)因素,需要取最小的R2,盡量大的R3以及與R3成1/(2as)倍的R1,相等的C1和C2。

3 數(shù)值計算

以中心頻率為50 kHz,放大倍數(shù)為3的交流放大電路設(shè)計需求為例來進(jìn)行驗證論文提出的方法。將設(shè)計需求代入公式和可以得到:

(21)

為了進(jìn)一步探究品質(zhì)因數(shù)達(dá)到最大值時各參數(shù)之間的關(guān)系,分別在各參數(shù)空間進(jìn)行繪圖。電容電阻器件選擇范圍為:電容5.00×10-13～1.00×10-6F、電阻1～1.00×10-6Ω。首先在中心頻率與放大倍數(shù)的約束下,確定品質(zhì)因數(shù)與R2關(guān)系,這時任意選定R1,不失一般,選取R1=1 Ω,如圖2所示。從圖中可以看出品質(zhì)因數(shù)隨R2的增大而單調(diào)減小,故將R2的取值定為參數(shù)空間內(nèi)最小值,即R2=1 Ω。

圖2 品質(zhì)因數(shù)代表值與R2關(guān)系

確定了R2=1 Ω之后,在此條件下,接著討論R1,C2、R1,R3和C1,C2分別滿足何種關(guān)系時品質(zhì)因數(shù)可以達(dá)到最大值。選取R2=1 Ω繪制圖3至圖5,圖3是參數(shù)空間內(nèi)品質(zhì)因數(shù)與R1,C2的關(guān)系圖,圖4是參數(shù)空間內(nèi)品質(zhì)因數(shù)與R1,R3的關(guān)系圖,圖5是參數(shù)空間內(nèi)品質(zhì)因數(shù)與C1,C2關(guān)系圖。從以上各圖可以看出,品質(zhì)因數(shù)Q隨R1,C1的增大而增大,在圖4和圖5的空間中,品質(zhì)因數(shù)最大值分別各在一條曲線上,經(jīng)確認(rèn)這兩條曲線分別為R3=6R1、C1=C2,與理論計算的公式值一致,進(jìn)一步說明品質(zhì)因數(shù)最優(yōu)值應(yīng)在理論計算的超平面上。

圖3 品質(zhì)因數(shù)Q與R1,C2的關(guān)系圖

圖4 品質(zhì)因數(shù)Q與R1,R3的關(guān)系圖

圖5 品質(zhì)因數(shù)Q與C1,C2的關(guān)系圖

最后在給定器件參數(shù)空間中進(jìn)行遍歷,以對比理論給出的結(jié)果。由于中心頻率與放大倍數(shù)給定時,品質(zhì)因數(shù)可以直接通過R1C2求出,為減小計算量以品質(zhì)因數(shù)代表值R1C2來評價品質(zhì)因數(shù),遍歷結(jié)果如圖6所示。

圖6 品質(zhì)因數(shù)代表值

最大代表值處的器件參數(shù)如表1所示。

表1 遍歷最優(yōu)值參數(shù)表

使用該組參數(shù)計算品質(zhì)因數(shù),再根據(jù)理論預(yù)言計算關(guān)鍵數(shù)據(jù)有:

(22)

雖然由于器件取值的非連續(xù)性,關(guān)鍵數(shù)據(jù)與理論之間存在一定出入,然而在考慮器件非連續(xù)性帶來的誤差的允許范圍內(nèi)與本文的理論模型一致,這足以表明本文理論的正確性。

4 仿真驗證

考慮到實際使用的運算放大器不是理想運算放大器,因此為了保證虛短和虛斷條件成立電阻R2不能太小,因此將R2限制為不能小于1 kΩ,并依據(jù)提出的約束條件,給出可行參數(shù)如表2所示。為了驗證參數(shù)的正確性,使用Multisim14.0進(jìn)行仿真驗證[12]。

表2 最優(yōu)值參數(shù)表

仿真結(jié)果如圖7(a)所示,可測的此參數(shù)條件下品質(zhì)因數(shù)Q為

(a)

Q=15。

(23)

同時為了確定表2中的選取的參數(shù)是參數(shù)選取范圍內(nèi)最優(yōu)參數(shù),在滿足放大倍數(shù)和中心頻率設(shè)計要求的情況下,另外設(shè)計四組不同參數(shù),仿真其波特圖,如圖7(b)～(e)所示。

對式(23)中參數(shù)與其品質(zhì)因素進(jìn)行匯總對比,如表3所示?？梢钥闯鲭m然這五組參數(shù)都達(dá)到了預(yù)期的放大倍數(shù)和中心頻率,但本論文提出的優(yōu)化方法獲得的品質(zhì)因數(shù)具有明顯的優(yōu)勢,由此說明所提出的優(yōu)化方法的有效性。

表3 不同參數(shù)品質(zhì)因數(shù)

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于拉格朗日乘子的交流放大電路參數(shù)優(yōu)化方法。首先采用基爾霍夫定律推導(dǎo)出典型交流放大電路的傳遞函數(shù);隨后通過建立拉格朗日函數(shù)討論了使用拉格朗日乘子來求解在給定中心頻率和放大倍數(shù)下品質(zhì)因數(shù)的最大值問題;最終通過理論參數(shù)遍歷和仿真實驗驗證了優(yōu)化方法的有效性。

通過對交流放大電路的系統(tǒng)闡述,本文為設(shè)計和研究交流放大電路提供了理論基礎(chǔ)。研究結(jié)果可以幫助工程師優(yōu)化電路的性能,提高設(shè)計精度。