錘煉數(shù)學(xué)語言 提升“疑思”品質(zhì)
——以“用字母表示數(shù)”一課為例

江蘇省海安市教師發(fā)展中心附屬小學(xué) 張春新

謝小慶教授的《終身成長：創(chuàng)新教育新思維》中談道，國際教育界已經(jīng)形成共識：教育最重要的任務(wù)之一是發(fā)展學(xué)生的審辯式思維，審辯式思維是最值得期許的、最核心的教育成果。審辯式思維是創(chuàng)新型人才最重要的心理特征。什么是審辯式思維？最簡答的回答是不懈質(zhì)疑、包容異見、力行擔(dān)責(zé)。如此想來，鼓勵學(xué)生敢疑、會疑、善疑、好思、多思、深思，實(shí)行“疑思雙向共振”的疑思學(xué)習(xí)就是培養(yǎng)學(xué)生審辯式思維的良好途徑。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)要立足學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展，體現(xiàn)數(shù)學(xué)育人價(jià)值，在教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。如何在立足核心素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)上促進(jìn)疑思學(xué)習(xí)呢？下面，筆者以“用字母表示數(shù)”一課為例來談?wù)勛约旱膰L試。

一、激趣中生疑——以“問” 引思

教學(xué)片段1：

師：關(guān)于用字母表示數(shù)，你已經(jīng)知道了什么？

生1：我知道了長方形的面積=長×寬，可以用S=a×b表示。

生2：我知道了乘法交換律可以用a×b=b×a表示。

生3：我知道了三角形的面積可以用S=a×h÷2表示。

師：學(xué)習(xí)“用字母表示數(shù)”，你想知道什么？

生1：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)用字母表示數(shù)。

生2：用字母表示數(shù)，字母可以表示什么數(shù)。

生3：怎樣用字母表示數(shù)。

生4：我想知道用字母表示數(shù)有什么好處。

生5：我想知道用字母表示數(shù)，這些數(shù)有沒有什么特殊要求。

師（板書學(xué)生的問題）：大家的問題，概括起來就是“為什么要學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)？用字母可以表示哪些數(shù)？怎樣用字母表示數(shù)？”今天我們一起來從這三個(gè)方面感悟。

解讀：通過了解學(xué)生關(guān)于用字母表示數(shù)的先備知識，一是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，二是在正視學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在后續(xù)教學(xué)中注重新舊知識的意義建構(gòu)。喬治·波利亞在其著作《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出，假如學(xué)生在問題的提出過程中起過作用，則其在后續(xù)學(xué)習(xí)中就必然更加主動積極。2011年版課標(biāo)和2022年版課標(biāo)在“課程總目標(biāo)”中均明確提出了要培養(yǎng)學(xué)生積極主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和能力。如何讓學(xué)生學(xué)會提出有價(jià)值的問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣？教師通過平時(shí)對學(xué)生提問方法的指導(dǎo)，讓學(xué)生在接觸剛學(xué)習(xí)的新知識時(shí)，已不再是跟在教師后面亦步亦趨地學(xué)習(xí)，而是先從“為什么”“是什么”“怎么做”這三個(gè)方面提問，然后順著這些問題，去學(xué)習(xí)、思考、探究，看看能不能解決。這時(shí)，學(xué)生對后面將要探究什么有著明確的目標(biāo)，就能主動、持續(xù)地參與學(xué)習(xí)。同時(shí)，學(xué)生的問題既是知識本身的建構(gòu)，又是思維的建構(gòu)。

二、探究中解疑——以“問”促思

教學(xué)片段2：

師（出示一個(gè)儲蓄罐，放入一把硬幣）:儲蓄罐里有幾枚硬幣，你知道嗎？

生：不知道。

師：可以怎樣表示里面的硬幣數(shù)呢？

生1：用字母a表示。

生2：用字母x表示。

生3：用三角形表示。

……

師：字母、圖形、符號都可以用來表示儲蓄罐里未知的硬幣數(shù)，通常我們可以用字母來表示一個(gè)未知數(shù)。（板書：字母→未知數(shù)）字母除了可以表示未知數(shù)，還可以表示怎樣的數(shù)呢？

（課件出示一個(gè)“儲蓄罐”）

屏幕演示，學(xué)生觀察：放入1枚硬幣，出來2枚硬幣；放入2枚硬幣，出來4枚硬幣；放入3枚硬幣，出來6枚硬幣……

師：發(fā)現(xiàn)儲蓄罐的魔力了嗎？如果繼續(xù)變下去，放入4枚硬幣，會出來幾枚硬幣？再變下去，會有很多很多。那你能用一種方法把儲蓄罐的魔力表示出來，讓其他不知道這個(gè)魔力的人也能一眼看出這個(gè)儲蓄罐的神奇之處嗎?

生1：我發(fā)現(xiàn)了，出來硬幣的枚數(shù)始終是進(jìn)去硬幣枚數(shù)的2倍。進(jìn)去硬幣的枚數(shù)×2=出來硬幣的枚數(shù)。

生2：進(jìn)去硬幣的枚數(shù)用字母a表示，出來硬幣的枚數(shù)就用a×2表示。

師：這里的a可以表示哪些數(shù)？

生1：a可以表示任意的數(shù)，可以是3、5、50等。

生2：我覺得a有一定的范圍，不可能表示特別大的數(shù)，如1000、10000，否則儲蓄罐放不下。

師：你們同意嗎？

生3：同意，儲蓄罐的容量是有限的，所以表示的數(shù)也是有限的。

師：誰來完整地把他們的意思表達(dá)出來？

生4：這里的a可以表示任意數(shù)，可以是4、5、70等，但有一定范圍，因?yàn)閮π罟薜娜萘渴怯邢薜摹?/p>

（板書：任意數(shù)、范圍）

師：a×2表示什么意思？

生：輸出硬幣的枚數(shù)。

師：字母式可以表示具體的數(shù)量。其中什么變，什么不變呢？

生2：不管a表示的數(shù)如何變，出來的硬幣錢數(shù)始終是a×2，出來硬幣的枚數(shù)始終是a的兩倍，出來硬幣的枚數(shù)和進(jìn)去硬幣的枚數(shù)的關(guān)系始終是不變的。

師：可見，含有字母的式子既可以表示數(shù)量，也可以表示數(shù)量之間的關(guān)系。（板書：數(shù)量、數(shù)量關(guān)系）

師：現(xiàn)在，我們再回過頭來想一想，字母式能表示所有出來硬幣的個(gè)數(shù)及之間的關(guān)系，單純具體的數(shù)字式能不能表示所有進(jìn)去硬幣的數(shù)量以及它們之間的關(guān)系呢？

生1：單純的數(shù)字式只能表示具體的進(jìn)去硬幣枚數(shù)與出來硬幣枚數(shù)的關(guān)系，如3×2，表示進(jìn)去3枚，出來3×2枚，不能表示其他的數(shù)量關(guān)系。

師：字母式能表示所有出來硬幣的枚數(shù)，以及出來硬幣與進(jìn)去硬幣枚數(shù)的關(guān)系，你們能想一個(gè)詞，表現(xiàn)字母式的這個(gè)特點(diǎn)嗎？

生1：表示。

生2：包括。

生3：概括。

師：你們喜歡哪個(gè)詞？

生：“概括”，字母式把所有硬幣的枚數(shù)以及它們之間的關(guān)系都概括出來了，更貼切。

師：是的，這就是用字母表示數(shù)最顯著的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)——概括。（板書：概括）

師：文字表述和字母表示，你更喜歡哪一種？

生2：我更喜歡字母式，用字母式表示更簡潔明了。

生3：我也更喜歡字母式。我的想法和他一樣，字母式更簡潔明了。

師：是的，這是用字母表示數(shù)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)——簡潔明了。（板書：簡潔）

生4：現(xiàn)在我知道為什么用字母表示數(shù)了，用字母表示數(shù)能概括所有的數(shù)量以及之間的數(shù)量關(guān)系，比文字表示更簡潔明了。

生5：我也知道了字母可以表示未知數(shù)、任意數(shù)，但有一定的范圍。

解讀：這一環(huán)節(jié)解決了學(xué)生的兩個(gè)疑問，即用字母可以表示哪些數(shù)以及為什么用字母表示數(shù)。重在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去思考，并用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)。教學(xué)環(huán)節(jié)分為三個(gè)層次，第一層次，觀察儲蓄罐里的硬幣數(shù)，并用數(shù)學(xué)的符號表示，使學(xué)生體會到字母可以表示未知數(shù)。第二層次，繼續(xù)觀察儲蓄罐里進(jìn)去硬幣以及出來硬幣的枚數(shù)，思考之間的關(guān)系，并用數(shù)學(xué)符號表示出來。學(xué)生嘗試用字母式表示出來，在探析字母表示哪些數(shù)的過程中，在錘煉用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的過程中，進(jìn)一步全面地思考問題，知道字母可以表示任意數(shù)，但有一定范圍。第三層次，在不斷變化的輸入硬幣與輸出硬幣的枚數(shù)中讓學(xué)生探尋不變的關(guān)系，通過與數(shù)字式的比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)字母式的優(yōu)點(diǎn)，并再次通過語言的錘煉，讓學(xué)生感受字母式具有“概括”的優(yōu)點(diǎn)，學(xué)會用準(zhǔn)確貼切的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。隨后，通過文字式與字母式的比較，讓學(xué)生感受到字母式“簡潔”的優(yōu)點(diǎn)。三個(gè)層次的學(xué)習(xí)，通過觀察、思考、表達(dá)的不斷循環(huán)，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言有機(jī)相融，學(xué)生逐步具備符號意識。

教學(xué)片段3：

生：那么怎樣用字母表示數(shù)呢？

師：飛飛和妹妹玩摸硬幣比多少的游戲，誰摸得多？[課件出示：飛飛摸到硬幣x枚，妹妹摸到硬幣（ ）枚]

師：試著寫出一個(gè)含有字母的式子來表示妹妹摸到硬幣的枚數(shù)，并說明兩人摸硬幣枚數(shù)的關(guān)系。同桌之間互相說說。

生1：妹妹摸了（x-5）枚，妹妹摸到的硬幣比飛飛少5枚。

生2：妹妹摸了（x×5）枚，妹妹摸到的硬幣是飛飛的5倍。

生3：妹妹摸了（x÷5）枚，飛飛摸到的硬幣是妹妹的5倍。

生4：妹妹摸了（x＋5）枚，妹妹摸到的硬幣比飛飛多5枚。

師：在這些含有字母的式子中，有加、減、乘、除四種運(yùn)算符號，有一個(gè)符號比較特別，就是乘號，它可以簡寫或省略，而其他符號不能簡寫或省略。

師：數(shù)字和字母、字母和字母相乘，可以怎樣省略呢？讓我們一起看一看資料，由于內(nèi)容很多、很重要，我分條出示，請同學(xué)們仔細(xì)聽、認(rèn)真看。

展示——閱讀提示：

①字母和字母相乘，乘號可省略為“·”，也可省略不寫。例如，a×b=a·b=ab。

②字母和數(shù)相乘，乘號可省略為“·”，也可省略不寫，但通常數(shù)字寫在字母前面。例如，a×3=3a，4×x=4x。

③相同字母相乘，如a×a，可以寫成a·a，也可寫成a2，讀作a的平方。

師：通過自學(xué)，你看懂了什么？

師：到這兒為止，你們還有什么問題嗎？

生1：為什么加、減、除的時(shí)候，運(yùn)算符號都不可以簡寫或省略掉，偏偏碰到乘號時(shí)，可以變成一個(gè)小圓點(diǎn)或干脆不要呢？

生2：我知道，乘號和字母x比較像，那么x乘x，就寫成（x×x）了，看起來就像三個(gè)x了，所以要變成x·x，或者直接省略不寫。

學(xué)生練習(xí)：

a×d c×3 c×c a＋b y×1 y＋y b＋b＋b

（學(xué)生交流）

師：看這幾道練習(xí)題，你們覺得有什么要提醒大家注意的呢？

生1：我想提醒大家注意y×1這道題，省略乘號后，1y不是最簡潔的，一般寫成y。

生2：我想提醒大家注意c×c，并不是去掉乘號就好了，由于兩個(gè)因數(shù)都是c，可以簡寫成c2。

生3:我想提醒大家注意，y＋y雖然是加法，但可以簡寫。由于加數(shù)相同，可以寫成y×2，省略乘號后為2y。我一開始沒注意加數(shù)相同，想當(dāng)然地認(rèn)為不好簡寫。所以我們在練習(xí)的時(shí)候除了要注意符號，也要注意數(shù)字。

解讀：這一環(huán)節(jié)分為三個(gè)層次，第一個(gè)層次是通過“飛飛和妹妹玩摸硬幣比多少的游戲，誰摸得多？”這一開放性的題目，讓學(xué)生從不同的角度用含有字母的式子表示妹妹摸到硬幣的枚數(shù)，這是對前面用字母表示數(shù)的活學(xué)活用，同時(shí)靈活地過渡到乘法字母式寫法的不同之處，從而讓學(xué)生學(xué)會用字母式表示數(shù)量，并明晰它們之間的關(guān)系。第二個(gè)層次通過閱讀提示，讓學(xué)生通過自學(xué)，掌握省略的方法。學(xué)生通過提出疑問、討論，逐漸明白為什么一般乘號省略不寫。第三層次通過相應(yīng)練習(xí)，讓學(xué)生通過提醒他人，將數(shù)學(xué)語言的表達(dá)與數(shù)學(xué)思維進(jìn)一步融合，通過思維促進(jìn)語言的表達(dá)，通過語言的表達(dá)進(jìn)一步理清思維。

三、釋疑中深化——以“問”活思

教學(xué)片段4：

師：飛飛和爸爸媽媽來到了太空影院，請看座位圖（見圖1）。你能用含有字母的式子表示三個(gè)人的座位號嗎？

生1：飛飛的座位號為a，媽媽的座位號就是a＋2，爸爸的座位號就是a－2。

生2：媽媽的座位號為a，飛飛的座位號就是a－2，爸爸的座位號就是a-4。

生3：爸爸的座位號為a，飛飛的座位號就是a＋2，媽媽的座位號就是a+4。

師：咦，怎么大家的字母式不一樣呢？他們表示的字母式對嗎？

生4：他們表示的字母式都是對的，是從三個(gè)不同的角度思考的，分別是把飛飛、媽媽、爸爸的座位號看作a，所對應(yīng)的另外兩個(gè)人的座位號就不一樣。

師：大家真是愛動腦筋的孩子，能從不同的角度靈活思考相應(yīng)的字母式。標(biāo)準(zhǔn)不一樣了，字母式也就不一樣了，其中什么是不變的呢？

生1：三個(gè)人座位號之間始終相差2。

生2：三個(gè)人座位號之間的關(guān)系是不變的。

師：對，標(biāo)準(zhǔn)不一樣，字母式就不一樣，但三人座位號之間的關(guān)系是不變的。

課件呈現(xiàn)：飛飛帶了y元去文具店買學(xué)習(xí)用品，練習(xí)本每本c元，要買5本練習(xí)本。

師：請根據(jù)上述信息寫出幾個(gè)含有字母的式子，并說說式子所表示的意思。

生1：5c表示5本練習(xí)本一共多少元。

生2：y-5c表示買了5本練習(xí)本后還剩多少元。

生3：y÷c 表示飛飛帶的錢最多可以買幾本練習(xí)本。

師：5c表示5本練習(xí)本的總價(jià)，你覺得5c在生活中可以表示哪些具體的問題？

生1：一張桌子c元，5張同樣的桌子5c元。

生2：小明栽了5行樹苗，平均每行栽了c棵，一共栽了5c棵。

生3：同學(xué)們給貧困山區(qū)的孩子捐書，每個(gè)小組捐了c本，5個(gè)小組一共捐了5c本。

生4：小明每天體育運(yùn)動c分鐘，5天運(yùn)動了5c分鐘。

師：大家表述了這么多，5c可以表示我們生活中許許多多的具體問題。

生5：我覺得y－5c表示買了5本練習(xí)本后還剩多少元不夠全面，還有一種情形，如果飛飛帶的錢不夠，y－5c就是還差多少元。只不過這時(shí)結(jié)果是負(fù)數(shù)。

生6：當(dāng)不夠時(shí)，還可以用5c－y，表示還差多少元。

師：敢于質(zhì)疑并提出自己的想法，能夠全面思考問題了，真不錯！

解讀：鄭毓信教授指出，數(shù)學(xué)教育的主要目標(biāo)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，特別是應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生逐步學(xué)會更清晰、更全面、更合理地進(jìn)行思考，并由理性思維逐步走向理性精神。在學(xué)生的疑問解決后，通過兩道習(xí)題進(jìn)一步深化學(xué)生的認(rèn)識，活化學(xué)生的思維。第一題是用字母式表示爸爸、媽媽、飛飛三人的座位號，有三點(diǎn)思考：一是進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用字母表示數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識；二是促進(jìn)學(xué)生學(xué)會從多角度思考問題，感受到標(biāo)準(zhǔn)不同，字母式也就不同，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性；三是讓學(xué)生感受標(biāo)準(zhǔn)變了，字母式也跟著發(fā)生變化，但字母式表示的三人座位號之間的關(guān)系是不變的。第二道習(xí)題是根據(jù)所提供的信息寫出幾個(gè)含有字母的式子，并說說式子所表示的意思，也有三點(diǎn)思考：一是促進(jìn)學(xué)生靈活地運(yùn)用字母表示數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識；二是通過“夠”與“不夠”情況下語言表述的不同，培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的思維能力，以及用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)的能力；三是通過5c可以表示生活中哪些具體的問題，組織學(xué)生將已經(jīng)建構(gòu)的5c模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，使5c的數(shù)學(xué)模型得以擴(kuò)充和提升，進(jìn)一步深刻理解5c模型的本質(zhì)。學(xué)生說出了多種用5c表示的具體生活問題，感受到生活情境變了，但是本質(zhì)——數(shù)量之間的關(guān)系是不變的。在完成這兩道題過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言都得到了培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維的全面性促進(jìn)了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，對數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確程度的錘煉又進(jìn)一步加強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性，提升了思維品質(zhì)。

四、反思中再生疑——“問”中深思

師：回顧這一節(jié)課，你還有什么疑問？

生1：是不是每個(gè)國家都是用字母來表示數(shù)的？有沒有什么不同呢？

生2： 是不是所有的字母都可以用來表示數(shù)？

生3：字母可以表示負(fù)數(shù)嗎？

……

解讀：問題意識是學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的關(guān)鍵。作為教師，教師應(yīng)該在課堂中有意識地多讓學(xué)生提出問題?；仡櫡此茧A段，教師可以在學(xué)生梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲后讓學(xué)生提出疑問。一是學(xué)生基于自己的學(xué)習(xí)所提出的疑問，是學(xué)生迫切想了解的，學(xué)生思考研究更為積極主動；二是促進(jìn)學(xué)生在回顧梳理所學(xué)知識的過程中反思自己還有哪些不清楚的地方，啟發(fā)自己和其他學(xué)生繼續(xù)思考，讓學(xué)生對知識的理解向深層次發(fā)展；三是促使學(xué)生課后積極主動地通過查資料、請教他人、交流討論的方法繼續(xù)深入思考，課中與課后融為一體，課已盡，思未盡。