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    基于 Mathematica 軟件的《運(yùn)籌學(xué)》 課程教學(xué)實(shí)踐研究

    2023-12-26 14:14:04閆冬雪南京郵電大學(xué)理學(xué)院江蘇南京210023
    物流科技 2023年23期
    關(guān)鍵詞:訂貨量運(yùn)籌學(xué)概率

    閆冬雪 (南京郵電大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210023)

    運(yùn)籌學(xué)課程是管理科學(xué)與工程、物流管理和供應(yīng)鏈管理等專(zhuān)業(yè)十分重要的核心課程,是一門(mén)運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科,靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)分析模型和數(shù)據(jù)分析學(xué)的專(zhuān)業(yè)知識(shí),尋找繁雜難題里邊最佳或類(lèi)似最佳的解釋[1]。其主要目的是在決策時(shí)為管理人員提供科學(xué)依據(jù),是實(shí)現(xiàn)有效管理、正確決策和現(xiàn)代化管理的重要方法之一。運(yùn)籌學(xué)運(yùn)用的行業(yè)和市場(chǎng)前景十分寬闊,從貨運(yùn)物流、倉(cāng)儲(chǔ)物流、供應(yīng)鏈管理,到活動(dòng)中動(dòng)態(tài)性標(biāo)價(jià),金融工程下的組合優(yōu)化,及其交通出行方面的最短路徑算法等,都離不了運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用。

    《運(yùn)籌學(xué)》是南京郵電大學(xué)管理科學(xué)與工程專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)非常實(shí)用的基礎(chǔ)理論課,傾向于文科的課程體系設(shè)置,對(duì)后續(xù)很多課程的學(xué)習(xí)起著承前啟后的作用,同時(shí)通過(guò)學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和運(yùn)籌素養(yǎng)。運(yùn)籌學(xué)的學(xué)習(xí)要求學(xué)生以高等數(shù)學(xué)作為工具來(lái)定量分析和解決運(yùn)籌學(xué)中的問(wèn)題,需要花費(fèi)很多時(shí)間才能掌握大量的概念、公式和求解方法[2-3],這使得部分同學(xué)在學(xué)習(xí)初期會(huì)產(chǎn)生畏難心理和枯燥甚至厭學(xué)的情緒,從而缺乏主動(dòng)學(xué)習(xí)的興趣,阻礙了學(xué)生學(xué)習(xí)效果的提升。如何能讓學(xué)生相對(duì)容易解決或很快接受課堂所學(xué)的知識(shí),加深學(xué)生對(duì)所學(xué)概念和計(jì)算的理解,從而提高學(xué)生運(yùn)籌學(xué)課程學(xué)習(xí)的興趣,這是教授該課程老師需要認(rèn)真思考的問(wèn)題。

    Wolfram 公司的Mathematica 軟件的出現(xiàn)為運(yùn)籌學(xué)的學(xué)習(xí)提供了很大的便利性,它是將符號(hào)運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算、圖形顯示很好地結(jié)合在一起的高度優(yōu)化系統(tǒng),是目前主流的數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算軟件之一[4]。Mathematica 軟件以其強(qiáng)大的符號(hào)運(yùn)算能力,出色的圖形展示功能,軟件界面直觀和容易學(xué)習(xí)的幫助文檔受到了很多科學(xué)界和教育界人士的青睞,使得新手容易上手,因此很適用于運(yùn)籌學(xué)的實(shí)驗(yàn)教學(xué)。

    目前為止,已有不少學(xué)者對(duì)Mathematica 在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用做了研究[5-6],但Mathematica 在《運(yùn)籌學(xué)》課程教學(xué)中的應(yīng)用很少有涉及。本文主要從具體實(shí)例出發(fā),對(duì)Mathematica 在運(yùn)籌學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探索,利用Mathematica 軟件解決運(yùn)籌學(xué)課堂教學(xué)中遇到的一些典型問(wèn)題,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提升課堂的教學(xué)效果。

    1 用Mathematica 軟件對(duì)課堂典型案例分析

    在運(yùn)籌學(xué)非線性規(guī)劃、庫(kù)存論和排隊(duì)論部分,Hessian 矩陣的計(jì)算和無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題、數(shù)量折扣的最佳訂貨量計(jì)算以及排隊(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算都是十分重要的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生,盡管他們?cè)诖笠荒昙?jí)已完成高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),但運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求解上述優(yōu)化問(wèn)題中涉及的復(fù)雜數(shù)學(xué)表達(dá)式和計(jì)算問(wèn)題經(jīng)常不是那么得心應(yīng)手,顯得力不從心。本文列舉一些運(yùn)籌學(xué)課堂中的典型案例,并利用Mathematica 軟件進(jìn)行求解分析和可視化,學(xué)生可以很直觀地看到和感受到使用該軟件的便利性,有助于提高課堂的效率,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

    1.1 Hessian 矩陣的計(jì)算和無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解。對(duì)于如下的無(wú)約束非線性優(yōu)化問(wèn)題:

    可以通過(guò)函數(shù)f的Hessian 矩陣行列式的正負(fù)值判斷其凸凹性,進(jìn)而利用一階最優(yōu)條件求解優(yōu)化問(wèn)題。然而,當(dāng)函數(shù)f的表達(dá)式比較復(fù)雜時(shí),手動(dòng)求解f的Hessian 矩陣或其行列式的值會(huì)很復(fù)雜。然而,使用Mathematica 的符號(hào)計(jì)算功能可以很大程度上簡(jiǎn)化上述手解過(guò)程。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有:求導(dǎo)函數(shù)D,行列式命令D,約化函數(shù)Reduce 和數(shù)值最大/小化函數(shù)NMaximize/NMinimize。

    例1:求解如下優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解:

    解:在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問(wèn)題的程序代碼:

    應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到最優(yōu)解為(x*,y*,z*)= (0,0,0 ),目標(biāo)函數(shù)最小值為f(x*,y*,z*)=3。

    1.2 數(shù)量折扣的最佳訂貨量及其計(jì)算。數(shù)量折扣最佳訂貨量問(wèn)題為:找到最佳的訂貨量Q≥0,使得企業(yè)的平均成本函數(shù)G(Q)最小,可以表示為:

    其中:λ 為確定的常值需求率,h(Q)為庫(kù)存持有成本,K為固定的訂購(gòu)成本,單位產(chǎn)品的采購(gòu)價(jià)格c(Q)為:

    這里,p1>p2,…,pn,b1,b2,…,bn-1為訂貨量間斷點(diǎn)。由于函數(shù)c(Q)是不連續(xù)的,G(Q)也是不連續(xù)的,因此數(shù)量折扣的最佳訂貨問(wèn)題比經(jīng)典的EOQ 模型要復(fù)雜。此外,當(dāng)訂貨量間斷點(diǎn)數(shù)量較多時(shí),手動(dòng)求解該問(wèn)題也會(huì)很繁瑣。然而,使用Mathematica 的圖形展示和數(shù)值計(jì)算功能,很容易求解優(yōu)化問(wèn)題的最佳訂貨量。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有:分段函數(shù)Piecewise,二維繪圖函數(shù)Plot,求導(dǎo)函數(shù)D 和解方程函數(shù)Solve。

    例2:考慮如下的數(shù)量折扣最佳訂貨量問(wèn)題參數(shù)值:λ=1 000,K=100,h(Q)=0.1c(Q),b1=100,b2=300,p1=50,p2=49,p3=48.5。

    解:在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問(wèn)題的程序代碼:

    應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到,Qopt=202.031,G[Qopt]=49 989.9。然而,在訂貨量間斷點(diǎn)b2=300 的成本為G(30 0)=49 560.8,這表明最優(yōu)訂貨量為Q=b2=300,最優(yōu)成本為G(30 0 )=49 560.8。

    1.3 M/M/1/1 模型轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算。M/M/1/1 (K= 1 )模型對(duì)應(yīng)于隊(duì)列容量有限M/M/1/K 模型??紤]如下的M/M/1/1 轉(zhuǎn)移概率計(jì)算問(wèn)題:在這個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)中,只有一個(gè)客戶,例如一臺(tái)機(jī)器,它可能在任意時(shí)間需要服務(wù)(例如,維修)。狀態(tài)1 對(duì)應(yīng)于繁忙的服務(wù)器(正在維修的機(jī)器) 的狀態(tài),狀態(tài)0 對(duì)應(yīng)于空閑的服務(wù)器(正在運(yùn)行的機(jī)器) 的狀態(tài)。λ>0 為機(jī)器的到達(dá)率(過(guò)程離開(kāi)狀態(tài)0 的速率),μ>0 為服務(wù)器的服務(wù)速率(即過(guò)程離開(kāi)狀態(tài)1 的速率),則1/λ表示機(jī)器的平均運(yùn)作時(shí)間,1/μ為修理這臺(tái)機(jī)器的平均時(shí)間。應(yīng)用微分方程建立生滅過(guò)程,可以得到上述問(wèn)題的轉(zhuǎn)移概率p0(t )和p1(t )滿足下面的微分方程組:

    在教學(xué)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),雖然學(xué)生對(duì)M/M/1/1 模型的背景理解的比較好,但要對(duì)上述高等數(shù)學(xué)中的微分方程組求解時(shí),學(xué)生會(huì)遇到一定的困難。然而,上述建立的微分方程組的求解在排隊(duì)論狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算中是十分重要的,尤其當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)增加時(shí)相應(yīng)的微分方程個(gè)數(shù)會(huì)更多,但是,多數(shù)同學(xué)都不清楚方程組解的形式。這時(shí),使用Mathematica 中微分方程組的符號(hào)計(jì)算功能可以達(dá)到非常好的教學(xué)效果,學(xué)生可以求得上述微分方程組的符號(hào)解,從而更好地理解課堂上的教學(xué)內(nèi)容。主要用到的Mathematica12.0 函數(shù)有:求解微分方程DSolve,求極限Limit,二維繪圖函數(shù)Plot 和交互式操作命令Manipulate。

    例3:考慮初始狀態(tài)p0(0 )=1 和p1(0 )=0,求解上述微分方程組和穩(wěn)態(tài)概率。

    解:在Mathematica 的命令窗口中輸入如下求解該問(wèn)題的程序代碼:

    應(yīng)用Mathematica 軟件計(jì)算得到系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率為和相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)概率為和使用命令Manipulate 和Plot,可以向?qū)W生展示不同參數(shù)λ和μ組合下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移概率的時(shí)間路徑,讓學(xué)生可以看到更直觀的圖形展示,從而讓他們更好地理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。

    2 結(jié)束語(yǔ)

    運(yùn)籌學(xué)課程是管理科學(xué)與工程、物流管理和供應(yīng)鏈管理等本科專(zhuān)業(yè)十分重要的核心課程,在專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)中起到了承上啟下的作用。新工科建設(shè)越來(lái)越注重對(duì)應(yīng)用創(chuàng)新人才的培養(yǎng),要求新時(shí)代學(xué)生要學(xué)會(huì)利用現(xiàn)代化信息技術(shù)進(jìn)行輔助,不斷提升解決問(wèn)題的能力。本文針對(duì)學(xué)生在運(yùn)籌學(xué)課堂學(xué)習(xí)中遇到的困難,與時(shí)俱進(jìn)地將現(xiàn)代化信息技術(shù)Mathematica 數(shù)學(xué)軟件引入到運(yùn)籌學(xué)的課堂教學(xué)中。結(jié)合學(xué)生課堂學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的非線性規(guī)劃、庫(kù)存論和排隊(duì)論章節(jié)的典型案例,應(yīng)用Mathematica 軟件強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算和繪圖功能對(duì)復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算求解和可視化,讓學(xué)生更加直觀地理解數(shù)學(xué)表達(dá)式,提高了學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)興趣和計(jì)算創(chuàng)新能力,培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)籌思維,獲得了更好的教學(xué)效果,實(shí)現(xiàn)了綜合性、創(chuàng)新性應(yīng)用新工科人才培養(yǎng)的目標(biāo)。

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