關(guān)于函數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考與建議

王云，熊慶林，郭曉俊

（重慶市育才中學(xué)校，重慶 400050）

一、平穩(wěn)銜接，關(guān)注知識(shí)儲(chǔ)備結(jié)構(gòu)

任何學(xué)習(xí)都需要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)習(xí)者以原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)，通過與外界的相互作用來建構(gòu)新的理解。教師需要準(zhǔn)確把握初高中教材中相關(guān)內(nèi)容，著力關(guān)注學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)，力求以學(xué)生熟悉的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)展開教學(xué)，以求消除學(xué)生對抽象知識(shí)的陌生感和焦慮情緒，以求教學(xué)的有效性。

案例1 函數(shù)的概念抽象難懂是學(xué)習(xí)者在函數(shù)學(xué)習(xí)中的第一個(gè)攔路虎，初高中關(guān)于函數(shù)概念的介紹不盡相同，為了說明方便此處將這兩個(gè)定義摘抄如下：

初中函數(shù)定義：一般地，如果在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對應(yīng)，我們就說x是自變量，y是因變量，此時(shí)稱y是x的函數(shù)。

高中函數(shù)定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按某個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A。

教學(xué)中雖然教材和教師在介紹函數(shù)概念時(shí)做了不少努力，比如設(shè)置各種情景、作為輸入—輸出黑箱等幫助學(xué)生理解函數(shù)概念，但現(xiàn)實(shí)的情況是最終還得面對學(xué)生說下函數(shù)抽象的概念，教師還需把這種嚴(yán)格的定義強(qiáng)加給毫無認(rèn)知準(zhǔn)備的學(xué)生，學(xué)生沒有經(jīng)歷理解定義的過程。

教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘二者定義的區(qū)別與聯(lián)系，可以通過這種方式介紹高中函數(shù)概念：“在一個(gè)變化過程中對于x的每一個(gè)值”就構(gòu)成集合A（函數(shù)的定義域），“與每一個(gè)x都唯一與之對應(yīng)的值y”就構(gòu)成函數(shù)的值域C（在映射中沒有要求B中的元素都有原象），“對于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與之對應(yīng)”說明存在一個(gè)對應(yīng)法則f，如此類比，初高中函數(shù)定義就無縫對接了，讓學(xué)生感到高中的函數(shù)定義就是從初中函數(shù)定義中過渡過來的，實(shí)質(zhì)沒有發(fā)生變化。

此外，為了消除學(xué)生的陌生感和面對新知識(shí)的焦慮情緒，教師所列舉函數(shù)盡量確保學(xué)生熟悉，比如，講授函數(shù)對稱性的時(shí)候最好以二次函數(shù)為例，講授函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，最好以一次、二次、反比例函數(shù)為例，這樣既保證了新知識(shí)有較好的生長點(diǎn)，也確保了學(xué)生良好的心理準(zhǔn)備態(tài)勢。

二、螺旋上升，結(jié)合學(xué)生心理特征

螺旋上升原理符合人的認(rèn)知特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律，心理學(xué)研究成果表明，人的大腦接受外界信息以后，都有一個(gè)自我消化、梳理的過程。

《普通高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》（以下簡稱《課標(biāo)》）指出像函數(shù)這樣的核心概念需要多次接觸、反復(fù)體會(huì)、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握并靈活應(yīng)用。為此，教師要改變教學(xué)理念，變傳統(tǒng)的講授、機(jī)械訓(xùn)練為主的單一教學(xué)模式，為學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)提供足夠的時(shí)間與空間，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、改進(jìn)他們的學(xué)習(xí)方法，讓具有不同潛能的學(xué)生學(xué)習(xí)不同層次的數(shù)學(xué)[1-3]。

螺旋式上升教學(xué)原理是將同一塊知識(shí)安排在不同階段學(xué)習(xí)，以函數(shù)為例，為讓學(xué)生充分理解函數(shù)概念，初中安排了函數(shù)板塊，初步接觸函數(shù)概念，初步學(xué)習(xí)一次、二次、反比例函數(shù)等簡單函數(shù)，高中階段要求學(xué)生以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)函數(shù)、理解函數(shù)的要素、認(rèn)識(shí)幾類基本初等函數(shù)、掌握函數(shù)基本性質(zhì)等，隨后通過不等式、數(shù)列、向量等知識(shí)加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)的理解，加深函數(shù)與不同知識(shí)間的聯(lián)系，最后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)局部性質(zhì)，提高學(xué)生從微觀認(rèn)識(shí)函數(shù)的能力。

針對高一學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)困難這一現(xiàn)狀，教師在某些重要知識(shí)、重要思想方法等不能一步到位的重要節(jié)點(diǎn)的教學(xué)上也應(yīng)遵循螺旋上升的原則，以求教學(xué)效果最大化。

案例2 求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

教學(xué)中，可以在采用分段討論絕對值求解不等式后順便延伸出兩個(gè)問題，①讓學(xué)生畫出函數(shù)y=|x-1|+|x+3|和y=6的圖像，②結(jié)合二者圖像，求解不等式|x-1|+|x+3|<6。

此處，雖然還未介紹分段函數(shù)的概念，但是分段討論去絕對值求解不等式的過程讓學(xué)生已經(jīng)萌芽了分段討論的意識(shí)和能力水平，同時(shí)訓(xùn)練了作圖能力，在學(xué)生頭腦中初步樹立了分類討論和數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。

三、數(shù)形結(jié)合，圖像支撐函數(shù)學(xué)習(xí)

高中生的思維水平雖然已經(jīng)逐步開始由以形象為主的思維向以抽象為主的更高的思維水平發(fā)展，但是形象思維在其學(xué)習(xí)過程中仍起著不可估量的作用。華羅庚先生有一首廣為傳播的打油詩：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。

教師要積極引導(dǎo)學(xué)生，通過對學(xué)生作圖、讀圖能力的培養(yǎng)，提高學(xué)生用圖像解決函數(shù)問題的能力，幫助學(xué)生理解函數(shù)問題的本質(zhì)。比如，在介紹完指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)后，應(yīng)要求學(xué)生準(zhǔn)確畫出二者圖像，在記住圖像的基礎(chǔ)上記憶函數(shù)的基本要素及一般性質(zhì)：定義域、值域、單調(diào)性、恒過定點(diǎn)等，以形記數(shù)，做到心中有圖。在介紹抽象程度高不易理解的函數(shù)單調(diào)性、對稱性等概念時(shí)，應(yīng)時(shí)刻緊抓函數(shù)示意圖，定能取到不錯(cuò)的效果。

案例3 在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性之后，可以從定量定性角度引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)y=x+(k> 0)圖像。首先，雖未學(xué)習(xí)奇偶函數(shù)相關(guān)概念，但是據(jù)分析可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此可知只需畫出函數(shù)在x>0部分的圖像即可，其次，通過函數(shù)單調(diào)性的定義可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)分別在(0,k),(k, +∞ )內(nèi)單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，最后，可以發(fā)現(xiàn)x→0+時(shí)函數(shù)值趨于正無窮，又，由此可知函數(shù)圖像始終在直線y=x（x>0）的上方，并且x(x→+∞)，故函數(shù)有漸近線y=x。最后可以讓學(xué)生自行畫出函數(shù)的圖像。在作圖的過程中讓學(xué)生充分感受數(shù)與形的緊密聯(lián)系，增強(qiáng)對相關(guān)概念的理解，同時(shí)認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的目的和意義。

總之，學(xué)生的抽象能力發(fā)展水平與函數(shù)圖象的形象直觀屬性直接決定著函數(shù)教學(xué)離不開圖像的支撐。因此，教師要在數(shù)學(xué)課堂中有意識(shí)地培育和滲透物、形意識(shí)，構(gòu)建抽象的數(shù)學(xué)概念、定理與形象生動(dòng)的實(shí)物、圖形之間的無縫連接，簡單地講就是讓數(shù)學(xué)課堂與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來，深刻體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，形象直觀地展現(xiàn)知識(shí)，這對培養(yǎng)學(xué)生思維能力、減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)、打造高效課堂是十分必要的，必須引起高度的重視[4-6]。

四、問題鋪墊，搭建支架破解難點(diǎn)

什么是“學(xué)習(xí)支架”？它來源于構(gòu)建主義理論指導(dǎo)下比較成熟的教學(xué)模式：支架式教學(xué)。支架式教學(xué)以維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”的概念為核心，這個(gè)發(fā)展區(qū)存在于學(xué)生已知與未知，能勝任與不能勝任之間，是需要支架幫助的區(qū)域。威林厄姆在《為什么不喜歡上學(xué)》中提到，努力解決難度恰當(dāng)?shù)膯栴}是有好處的，但是解決太簡單或太困難的問題，是不會(huì)讓學(xué)生開心的。

案例4 （1）二次不等式的解法教學(xué)中，應(yīng)準(zhǔn)確把握二次函數(shù)、二次方程、二次不等式三個(gè)二次關(guān)系間的緊密聯(lián)系，可設(shè)置以下問題，為自然生成一般形式一元不等式的解法搭建支架：請作出二次函數(shù)y=x2-5x的圖像，請回答：一元二次方程x2-5x=0的兩根為？一元二次不等式x2-5x>0的解為？一元二次不等式x2-5x<0的解為？問題：如何求解一般形式的一元二次不等式呢？

（2）函數(shù)的表示法中有一類常見問題——方程思想求解函數(shù)解析式，比如已知函數(shù)f(x)(x≠0)滿足3f(x)+=x，求f(x)的解析式。常規(guī)教學(xué)中是將x換成代入上式得到另一個(gè)方程，再解方程組即得f(x)的解析式。實(shí)踐表明，這樣的灌輸式教學(xué)效果并不明顯，學(xué)生只是將其作為一個(gè)解題技巧記憶下來，甚至對其合理性產(chǎn)生懷疑。經(jīng)分析，筆者認(rèn)為可以設(shè)置以下問題為學(xué)生搭建理解的支架：①求f(3)的值；②求的值（促進(jìn)學(xué)生形成方程組求值的方法萌芽）；③求f(x0)的值（x0為某非零常數(shù)）；④求f(x)。經(jīng)過問題串的設(shè)置，學(xué)生逐漸意識(shí)并理解方程組求解的可行性，同時(shí)也滲透了賦值法的教學(xué)，最后還可以設(shè)置問題；⑤是否求解每一個(gè)函數(shù)值都需解方程組？（計(jì)算f(1)、f(-1)只需賦值一次即可）。

五、數(shù)學(xué)思想，滲透教學(xué)貫穿始終

《課標(biāo)》指出，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)思想、方法作為基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分明確提出來，這不僅是對數(shù)學(xué)思想方法的重視，也是對學(xué)生實(shí)施創(chuàng)新教育、培養(yǎng)創(chuàng)新思維的重要保證，是提高教學(xué)質(zhì)量的基礎(chǔ)[7-8]。

本章教學(xué)應(yīng)逐步滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)習(xí)效率與思維層次。教學(xué)中教師要把握滲透數(shù)學(xué)思想的時(shí)機(jī)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，化顯為隱、循序漸進(jìn)，依據(jù)不同階段和不同內(nèi)容的特點(diǎn)精心設(shè)計(jì)教學(xué)程序與方法，讓學(xué)生深度參與領(lǐng)悟并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用這些思想方法去解決數(shù)學(xué)問題。

案例5 方程與不等式是函數(shù)的兩種特定狀態(tài)，二次不等式教學(xué)中充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)結(jié)合、函數(shù)與方程的思想。

六、提升理解，夯實(shí)數(shù)學(xué)閱讀能力

閱讀是學(xué)生自主獲取知識(shí)的一種學(xué)習(xí)過程，它不僅僅是讀的過程，而且是動(dòng)口動(dòng)手動(dòng)腦有機(jī)結(jié)合，統(tǒng)一協(xié)調(diào)的過程。數(shù)學(xué)閱讀由于數(shù)學(xué)語言的符號化、邏輯化及嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性等特點(diǎn)，有不同于一般閱讀的特殊性，它是一個(gè)完整的心理活動(dòng)過程，與文學(xué)閱讀最大的區(qū)別是數(shù)學(xué)閱讀要包含文字、數(shù)學(xué)符號、術(shù)語公式、圖表圖像等閱讀對象、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動(dòng)等因素，同時(shí)，它也是一個(gè)不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動(dòng)的認(rèn)知過程。研究表明，閱讀能力差是構(gòu)成一些學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到困難的因素之一。

案例6 定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-2)且f(x+3)=-f(x-1)，求f(2018)的值。

教師在指導(dǎo)學(xué)生審題的過程中應(yīng)注意從本質(zhì)上而非形式上理解題意，比如針對條件“f(x+3)=-f(x-1)”，一般處理方法是：將x→x+1，即得f(x+4)=-f(x)，再將x→x+4即得f(x+8)=-f(x+4)，由此可得，f(x+8)=f(x)，即f(x)是周期為8的函數(shù)。如此一來，基礎(chǔ)較差的學(xué)生就會(huì)犯糊涂了，為什么要如此變換？如果教師從條件本身所表達(dá)的含義入手，抓住條件本質(zhì)含義，引領(lǐng)學(xué)生閱讀并翻譯條件，則學(xué)生理解起來就輕松多了，可以設(shè)置如下問題串：

問題1：f(x+3)=-f(x-1)中x+3與x-1兩個(gè)值有何關(guān)系？（相差定值4）

問題2：那這個(gè)條件想告訴我們函數(shù)f(x)滿足一個(gè)什么關(guān)系？（相差定值4的兩個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值異號）

問題3：因此條件f(x+3)=-f(x-1)還可以寫成什么形式？f(x+4)=-f(x)，此式與原式本質(zhì)一樣嗎？（一樣）

問題4：x+8與x+4間有何關(guān)系？（相差定值4）那么f(x+8)與f(x+4)間有何關(guān)系？f(x+8)=-f(x+4)，

問題5：因此f(x+8)與f(x)間有何關(guān)系？（f(x+8)=f(x)）

形式化的表述是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的一大難點(diǎn)，教師應(yīng)從細(xì)節(jié)入手，適當(dāng)關(guān)注形式化，但更應(yīng)注重本質(zhì)具體化、形象化，以求幫助學(xué)生輕松學(xué)習(xí)，這也是一線廣大數(shù)學(xué)教師的不懈追求。

七、注重應(yīng)用，函數(shù)建模學(xué)以致用

任偉芳在《課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與評析中》給出了一首數(shù)學(xué)應(yīng)用的贊美詩：數(shù)學(xué)精微何處尋，紛紜世界有模型；描摹萬象得神韻，識(shí)破玄機(jī)算古今；豈是空文無實(shí)效，能生妙策濟(jì)蒼生。我們要更加注意數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系和應(yīng)用，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的能力，為日后進(jìn)一步學(xué)習(xí)或在工作、生活中的應(yīng)用打下更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。