矩陣奇異值分解算法在圖像處理中的應(yīng)用

張繼龍 曹石

摘要：隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的飛速發(fā)展，矩陣分解尤其是矩陣奇異值分解在圖像處理、信號(hào)處理以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。針對(duì)圖像處理問題，文章首先給出了奇異值分解的基本理論，隨后分別介紹了奇異值分解應(yīng)用于圖像壓縮及數(shù)字水印技術(shù)的基本原理并進(jìn)行Matlab應(yīng)用實(shí)現(xiàn)，最后構(gòu)建了數(shù)據(jù)分析模型并進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn)綜合分析，將圖像處理的幾類應(yīng)用結(jié)合實(shí)現(xiàn)了綜合性的圖像處理程序。

關(guān)鍵詞：矩陣分解；奇異值分解；圖像壓縮；低秩逼近；數(shù)字水印

中圖分類號(hào)：TP18? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2023）31-0001-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID） ：

0 引言

奇異值分解是特征分解在任意矩陣上的推廣，在互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)發(fā)展后廣泛運(yùn)用于解決各類實(shí)際問題，其中圖像處理問題是奇異值分解最具有代表性的應(yīng)用場(chǎng)景之一。目前使用的圖像都是以數(shù)據(jù)形式進(jìn)行存儲(chǔ)，對(duì)數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的高要求使得在盡可能保持圖像清晰度的前提下減少圖像存儲(chǔ)空間，具有一定應(yīng)用價(jià)值，而使用低秩逼近的方法進(jìn)行圖像壓縮是一種在獲得相同壓縮比的前提下誤差較小的方法，能夠取得不錯(cuò)的效果。

然而本方法在實(shí)際應(yīng)用中依舊需要進(jìn)一步獲取更多信息來平衡圖像清晰度和數(shù)據(jù)大小，數(shù)字水印是一種在圖像中嵌入信息的算法，同樣可以使用奇異值分解來進(jìn)行處理。添加數(shù)字水印后進(jìn)行圖像壓縮，之后再將水印提取，通過對(duì)比壓縮前后水印的相似度可以用于評(píng)估壓縮圖像后圖像信息的損失程度，以此來得到代表圖像清晰度的數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，通過壓縮比以及圖像清晰度構(gòu)建模型評(píng)估壓縮質(zhì)量，以此在低秩逼近圖像壓縮算法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步得到更具備實(shí)用性的圖像壓縮結(jié)果。

綜上所述，文章在利用奇異值分解低秩逼近圖像壓縮的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步結(jié)合數(shù)字水印技術(shù)來構(gòu)建評(píng)估模型進(jìn)行數(shù)據(jù)分析論證，得到了一種更具有實(shí)用價(jià)值的圖像壓縮處理方法，細(xì)化了圖像壓縮程序的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)，對(duì)該方法的應(yīng)用進(jìn)行了進(jìn)一步的深入研究。

1 奇異值分解基本理論

1.1 奇異值分解定義[1-2]

定義矩陣的奇異值，對(duì)[A∈Cm×nr]，記[AAH]的特征值為[λi]，[AHA]的特征值為[μi]，可以通過直接計(jì)算得到[δi=λi=μi]，[δi]稱為[A]的奇異值。

對(duì)[A]進(jìn)行奇異值分解：記[δ1≥δ2≥…≥δr>0]是[A]的r個(gè)正奇異值，則存在使得[A=UDVH=UΔ000VH]成立的m階酉矩陣[U]和n階酉矩陣[V]，式子中的[Δ=diagδ1，δ2，...，δr]為正奇異值為對(duì)角元的對(duì)角陣。

1.2 奇異值分解求解步驟

1） 通過求矩陣[AAH]的特征值[λi]，計(jì)算對(duì)應(yīng)的奇異值[δi]，得到[Δ=diagδ1，δ2，...，δr]，計(jì)算[AAH]的特征值及特征向量，標(biāo)準(zhǔn)正交化后得左奇異矩陣[U]。

2） 由[A=UDVH]得[VH=D-1UHA]，此即[V=AHUD-H]。

3） 奇異值分解的形式為[A=UDVH]。

2 基于奇異值分解的圖像壓縮原理

2.1 利用低秩逼近的圖像壓縮方法

設(shè)[A∈Cm×nr]，[A]的奇異值分解形式為[A=UDVH]，可以將分解形式改寫為：[A=UD1+D2+...+DrVH]，其中[Dk=Δk000，Δk=diag（0，...，δk，...0）]，這樣就將[A]分解為了r個(gè)秩為一的矩陣之和，設(shè)[Ak=UD1+...+DkVH]，則[Ak]是矩陣[A]的低秩逼近，對(duì)于圖像來說，只需要將其圖像信息讀取為數(shù)據(jù)矩陣就可以通過低秩逼近來進(jìn)行壓縮。

由矩陣[A]的Frobenius范數(shù)（F-范數(shù)）的酉不變性，[A]的F-范數(shù)[||A||F=||UDVH||F=||D||F=δ21+δ22+...+δ2r]，因此該方法可以表示為如下最小二乘問題：[minrankB=k||A-B||F=||A-Ak||F=δ2k+1+...+δ2r]，由于矩陣奇異值[δ1≥δ2≥...≥δr>0]，而往往其中前10%甚至更少的奇異值之和就能達(dá)到總和的90%以上[3]，少量奇異值就可保存較多信息，因此使用該方法進(jìn)行圖像壓縮可以取得較良好的效果。

2.2 通過Matlab實(shí)現(xiàn)的算法實(shí)例

1） 讀入圖像數(shù)據(jù)，對(duì)于彩色圖像需要進(jìn)行灰度化處理使其變成矩陣的形式。

將該圖片命名為test.jpg，分辨率為4 160×3 120，首先讀取圖像信息：

A = imread（'D：＼examset＼test.jpg'）;%將圖像信息存儲(chǔ)為數(shù)據(jù)矩陣A，A為3 120×4 160×3，3代表為彩色圖像

對(duì)A進(jìn)行灰度化處理：

A_gray=rgb2gray（A）;%經(jīng)過灰度化處理后的A_gray為3 120×4 160的灰度矩陣

[m，n]=size（A_gray）;%m為行數(shù)，n為列數(shù)

2） 設(shè)置壓縮比[ρ=mnkm+n+1][4]，[k]為保留的奇異值個(gè)數(shù)，[k]越小壓縮比越大，壓縮后占空間大小越小，清晰度也越低。

k1=20;k2=40;k3=60;k4=80;%設(shè)置k值間隔

rho1=m*n/（k1*（m+n+1））;rho2=m*n/（k2*（m+n+1））;

rho3=m*n/（k3*（m+n+1））;rho4=m*n/（k4*（m+n+1））;%計(jì)算壓縮比

根據(jù)本例設(shè)置的k值以及選取的圖像大小，計(jì)算得到的壓縮比分別為rho1=89.130 6，rho2=44.565 3，rho3=29.710 2，rho4=22.282 7。

3） 將灰度化矩陣作奇異值分解，低秩逼近后對(duì)灰度矩陣進(jìn)行重構(gòu)，讀取壓縮圖像。

A_gray1=double（A_gray）;%將灰度矩陣轉(zhuǎn)換為double型

[U，S，V]=svd（A_gray1）;%奇異值分解

S1=diag（S）;S2=diag（S）;S3=diag（S）;S4=diag（S）;%將奇異值矩陣轉(zhuǎn)化為列向量

S1（k1：end）=0;S2（k2：end）=0;S3（k3：end）=0;S4（k4：end）=0;%截取前k個(gè)奇異值

if m >=n%對(duì)奇異值矩陣進(jìn)行低秩逼近

S1=[diag（S1）;zeros（m-n，n）];S2=[diag（S2）;zeros（m-n，n）];

S3=[diag（S3）;zeros（m-n，n）];S4=[diag（S4）;zeros（m-n，n）];

else

S1=[diag（S1），zeros（m，n-m）];S2=[diag（S2），zeros（m，n-m）];

S3=[diag（S3），zeros（m，n-m）];S4=[diag（S4），zeros（m，n-m）];

end

g1=U*S1*V';g2=U*S2*V';g3=U*S3*V';g4=U*S4*V';%重構(gòu)得到壓縮后的灰度矩陣

g1=uint8（g1）;g2=uint8（g2）;g3=uint8（g3）;g4=uint8（g4）;%將矩陣轉(zhuǎn)為可顯示的格式

這樣就完成了對(duì)樣例圖像的壓縮實(shí)現(xiàn)，然而僅憑借主觀判斷是很難對(duì)[k]值進(jìn)行取舍的，若[k]值選取較低，雖然壓縮比足夠大，然而壓縮圖像清晰度就可能不足，反之亦然，因此文章將繼續(xù)介紹一種通過添加數(shù)字水印并提取的方法對(duì)圖像壓縮質(zhì)量進(jìn)行評(píng)估，以完善該算法應(yīng)用的實(shí)用性。

3 基于奇異值分解的數(shù)字水印

隨著數(shù)字產(chǎn)品普及、版權(quán)保護(hù)以及加密的要求，奇異值分解被應(yīng)用于向圖片中添加數(shù)字水印[5-6]，例如通過提取水印檢查圖像是否因?yàn)槟承┕羰軗p，標(biāo)識(shí)圖片信息等，且通過此方法添加的數(shù)字水印不會(huì)將圖片原本的信息過多改變，具有很好的隱蔽性。

3.1 數(shù)字水印添加的基本原理

設(shè)[A∈Cm×nr]，[A]的奇異值分解形式為：[A=UDVH]，添加數(shù)字水印矩陣[B]，可以進(jìn)行如下處理：記[Q=B+D]，將矩陣[Q]作奇異值分解得：[Q=U1D1VH1]，取出奇異值矩陣[D1]，重新構(gòu)建添加完數(shù)字水印后的新矩陣[H]：[H=UD1VH][7]。

得到的矩陣[H]就是需要的新矩陣，[H]能保存足夠多的圖像信息是因?yàn)閷?duì)于圖像的數(shù)據(jù)矩陣而言，不僅矩陣[D]保存了圖像信息，左右奇異矩陣[U]和[VH]同樣保存了圖像信息。

3.2 利用Matlab進(jìn)行數(shù)字水印添加實(shí)例

以圖像壓縮例子中所使用的圖像做例子，使用圖4作為數(shù)字水印圖像：

B = imread（'D：＼examset＼watermark.jpg'）;%讀取水印圖像信息

B_gray=rgb2gray（B）;%灰度化處理

B_gray=double（B_gray）;%轉(zhuǎn)換為可計(jì)算格式

Q=S+B_gray;

[U1，W，V1]=svd（Q）;

H=U*W*V';%將數(shù)字水印添加入圖2的灰度圖像中

這樣添加的數(shù)字水印可以通過對(duì)添加過程取逆的方法重新提取出來，若按照文章介紹的圖像壓縮方法將添加數(shù)字水印后的矩陣進(jìn)行壓縮，則按照下列方法提取出的數(shù)字水印矩陣會(huì)與原水印矩陣有一些差異，這個(gè)差異與壓縮比是正相關(guān)的：

Q1=U1*W1*V1';Q2=U1*W2*V1';Q3=U1*W3*V1';Q4=U1*W4*V1';

B1=Q1-S;B2=Q2-S;B3=Q3-S;B4=Q4-S;%這些矩陣是根據(jù)上節(jié)介紹的算法進(jìn)行壓縮的

因此，可以通過計(jì)算壓縮后提取的B1、B2、B3、B4等矩陣與原水印矩陣B的相似度來評(píng)估壓縮后圖像與原圖像的相似程度。

4 圖像壓縮質(zhì)量評(píng)估數(shù)值實(shí)驗(yàn)

4.1 評(píng)估模型

圖像質(zhì)量評(píng)估的方法可以通過許多途徑實(shí)現(xiàn)[8]，文章通過數(shù)字水印將構(gòu)建一個(gè)評(píng)估模型來評(píng)價(jià)圖像壓縮效果，模型由以下幾部分組成：

1） 相似度[NC=trB1BHtrBBH]，壓縮后提取的數(shù)字水印矩陣為[B1]，原數(shù)字水印矩陣為[B]。

2） 壓縮比[ρ=mnkm+n+1]。

3） 評(píng)估分?jǐn)?shù)[final_score=ρ×NCweight_NC]，在本評(píng)估模型中取[weight_NC=60]時(shí)所得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

如圖6所示，根據(jù)本模型構(gòu)造得到的評(píng)分變化曲線具有良好的性質(zhì)，在最佳壓縮比附近區(qū)域變化較緩，因此可以通過平均值法得到對(duì)絕大多數(shù)相同像素大小圖像都較優(yōu)秀的壓縮比選取結(jié)果。

4.2 評(píng)估數(shù)值結(jié)果

本節(jié)匯總了所使用的圖像所得的所有數(shù)據(jù)，采用如下方法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：

1） 通過統(tǒng)計(jì)相同[k]值時(shí)的平均評(píng)分及其相似度數(shù)據(jù)作為分析依據(jù)，選取普遍更適用的結(jié)果。

2） 由于所采用數(shù)據(jù)均在同一相似度權(quán)重進(jìn)行采集，因此根據(jù)數(shù)據(jù)分析結(jié)果，本節(jié)將就其應(yīng)用需求不同進(jìn)行分支討論。

表1為根據(jù)總共8組數(shù)據(jù)得到的綜合性結(jié)果，數(shù)據(jù)變化曲線將由折線圖展示，根據(jù)綜合統(tǒng)計(jì)，最佳[k]值選取在80可以取得綜合最優(yōu)的效果。

若改變權(quán)重，對(duì)于相同大小的圖像所取到的最佳[k]值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)改變，文章分析得到的最佳[k]值可參考圖3的壓縮結(jié)果，若采取更高的清晰度權(quán)重，則最佳[k]值會(huì)相應(yīng)變大，若需要更高的壓縮比，最佳[k]值就相應(yīng)變小。可以根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，對(duì)于固定大小的圖像進(jìn)行處理時(shí)，可以通過在最佳[k]值附近進(jìn)行評(píng)估，對(duì)于文章所使用的圖像數(shù)據(jù)庫，可以進(jìn)行如下細(xì)化，在[k=80]附近進(jìn)行進(jìn)一步評(píng)估，平均數(shù)據(jù)如表2所示，可以在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行細(xì)化，本文不再展示。

最終結(jié)果應(yīng)該取在[k=85]和[k=70]附近，可以根據(jù)對(duì)于圖像清晰度以及壓縮空間的具體應(yīng)用傾向進(jìn)行選擇，而對(duì)于不同像素大小的圖像，繼續(xù)擴(kuò)大分析圖像壓縮數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)庫都可以按本方法得到一個(gè)能夠普遍應(yīng)用的最佳[k]值，只需要在程序中優(yōu)先對(duì)圖像大小進(jìn)行判斷與分類即可，因此本程序具有良好的可拓展性，已經(jīng)初步具備可實(shí)際應(yīng)用的條件。

5 結(jié)論與展望

文章系統(tǒng)性地介紹了適用矩陣奇異值的圖像壓縮及數(shù)字水印算法原理并將其結(jié)合，通過Matlab作為工具予以實(shí)現(xiàn)，創(chuàng)新性地使用了數(shù)字水印提取作為相似度標(biāo)準(zhǔn)，利用評(píng)估模型得到了所使用圖像同等像素大小適用壓縮比并進(jìn)行細(xì)化研究，最終完成了具有初步實(shí)用性的圖像壓縮工具。

該方法還可以進(jìn)行擴(kuò)展，通過應(yīng)用于更多大小的圖像數(shù)據(jù)庫來豐富各種處理情況下的最佳壓縮比選取，也可以通過進(jìn)一步縮小壓縮比取值間隔來得到更精確的結(jié)果，對(duì)于相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)者來說，通過文章獲取有關(guān)矩陣奇異值分解應(yīng)用實(shí)現(xiàn)的思路應(yīng)當(dāng)是有一些幫助的。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張紹飛，趙迪.矩陣論教程[M].2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012.

[2] 史榮昌，魏豐.矩陣分析[M].3版.北京：北京理工大學(xué)出版社，2010.

[3] 李順利，姚廷富，余萍，等.矩陣的奇異值分解在圖像壓縮中應(yīng)用[J].電腦知識(shí)與技術(shù)，2022，18（19）：1-2，8.

[4] 張帥，董亞芬.基于奇異值分解的數(shù)字圖像壓縮及重構(gòu)研究[J].信息技術(shù)與信息化，2017（S1）：112-115.

[5] BARNI M，BARTOLINI F，CAPPELLINI V，et al.A DCT-domain system for robust image watermarking[J].Signal Processing，1998，66（3）：357-372.

[6] YEN J C.Watermark embedded in permuted domain[J].Electronics Letters，2001，37（2）：80.

[7] 雷超陽，鐘一青.奇異值分解算法在數(shù)字水印技術(shù)中的應(yīng)用[J].長沙交通學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，24（4）：78-82.

[8] 王冠軍，幸濤，沈靜.基于奇異值分解與自然圖像統(tǒng)計(jì)的無參考圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)方法[J].信息技術(shù)與信息化，2022（1）：122-125.

【通聯(lián)編輯：唐一東】