巧思維切入，妙方法應(yīng)用
——一道三角函數(shù)求值問(wèn)題的探究

■陳 婷

三角函數(shù)的求值問(wèn)題,融合了三角函數(shù)的基本概念、基本公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等,是三角函數(shù)的難點(diǎn)之一,成為高考命題中的一個(gè)重要考點(diǎn)。此類問(wèn)題,知識(shí)交匯融合,思維視角多樣,方法技巧多變,是全面考查數(shù)學(xué)“四基”與數(shù)學(xué)能力、展示知識(shí)交匯與體現(xiàn)方法多樣性的一個(gè)重要場(chǎng)所,倍受大家的關(guān)注。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

二、問(wèn)題破解

解后反思:根據(jù)所給分式進(jìn)行整式化處理,是解答這類問(wèn)題比較常見的一種切入方式。解題時(shí),利用三角函數(shù)的平方關(guān)系進(jìn)行合理拆分、合并、化簡(jiǎn),構(gòu)建更為簡(jiǎn)捷的三角關(guān)系式,為進(jìn)一步求值提供條件。

解后反思:根據(jù)所給分式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行平方轉(zhuǎn)化,為三角換元奠定基礎(chǔ)。在三角函數(shù)問(wèn)題中進(jìn)行三角換元處理,是解決此類問(wèn)題的一種“巧技妙法”。

解后反思:根據(jù)所給的高次冪關(guān)系式,通過(guò)巧妙代數(shù)換元處理,把三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式問(wèn)題,通過(guò)代數(shù)式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算達(dá)到巧妙解決三角函數(shù)問(wèn)題的目的。

解后反思:根據(jù)所給的三角函數(shù)關(guān)系式,借助合理的等式配湊與轉(zhuǎn)化,通過(guò)基本不等式、柯西不等式加以巧妙放縮與變形,利用等號(hào)成立的條件的應(yīng)用,求得三角函數(shù)的值。

解后反思:根據(jù)“小題小做”的思維方式,在解答一些選擇題或填空題時(shí),可以借助特殊思維,利用特殊值法進(jìn)行巧妙處理,這里分別從特殊角入手加以分析,從而實(shí)現(xiàn)特殊思維應(yīng)用的目的。利用特殊值法處理問(wèn)題,有其特殊性,但不具備普遍性。