三角巧變換，“五變”妙應用

■許 珍

三角函數(shù)的求值、化簡或證明是三角恒等變換的重要內(nèi)容之一。在高考中,一般與三角函數(shù)有關(guān)的問題,都以三角恒等變換為重要手段,變換時,經(jīng)常用到同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導公式、和差倍半公式等,還涉及因式分解、換元法,以及分類討論思想等。

一、角的變換

在三角函數(shù)的化簡、求值或證明中,角的變換是最基本的。為了得到合理的角的變換,就必須觀察所求問題中的角與已知條件中的角之間的聯(lián)系,消除條件與結(jié)論中角的差異,使得所求問題順利獲解。常見角的變換有α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),可視為的半角等。

將條件中的角與結(jié)論中的角進行合理的變角處理,或?qū)⑺蠼遣鸪梢阎?是連接和溝通已知與結(jié)論的重要手段。注意常用到的一些變角代換有:單角化復角(這里所說的復角是指由角的和或角的差所形成的角)、單角化倍角、倍角化復角、復角化復角等。

二、名的變換

在三角函數(shù)的求值、化簡或證明中,由于三角函數(shù)的名有三個(正弦、余弦與正切),經(jīng)常會對一些函數(shù)的名進行變換,其目的是減少運算中的三角函數(shù)名,給求值、化簡或證明帶來方便。在求值、化簡或證明中,切化弦與弦化切,化異名函數(shù)為同名函數(shù)是常用的三角函數(shù)名的變換技巧。

三角變換時,化同名函數(shù)的目的就是方便化簡與變形。常見的三角函數(shù)名的變換有:化弦法(利用商數(shù)關(guān)系將正切轉(zhuǎn)化為正弦與余弦的關(guān)系),化切法(在一次齊次分式或二次齊次分式中,利用同除“cosα”或“cos2α”來轉(zhuǎn)化為正切關(guān)系)等。

三、冪的變換

三角變換中的冪變換是三角變換中十分重要的變換方法之一,通過冪的變換可以為解題提供更多的突破口,為公式的應用提供條件。分析題目的結(jié)構(gòu),掌握結(jié)構(gòu)的特點,通過降冪、升冪等變換手段,為使用公式創(chuàng)造條件。

四、式的變換

三角函數(shù)中有比較多的三角公式,有些三角公式可以直接應用,而有些三角公式經(jīng)過適當?shù)墓阶儞Q之后,也可用于解題。三角公式是變換的依據(jù),要熟練掌握三角公式的正用、逆用和變形應用。

例4 證明:(三正切公式)在斜三角形ABC中,恒有關(guān)系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立。

證明:在斜三角形ABC中,令α=A,β=B,則A+B=α+β=π-C。

結(jié)合兩角和的正切公式的變形式tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β),可得tanA+tanB=tan(A+B)-tanA·tanBtan(A+B),所以tanA+tanB=tan(π-C)-tanAtanBtan(π-C)。

結(jié)合誘導公式得tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

三角函數(shù)的變換問題,實質(zhì)就是三角函數(shù)公式的正用、逆用和變形應用。

五、數(shù)的變換

在三角變換中,有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值,如常數(shù)“1”的代換變形有:1=sin2α+cos2α=sin90°=tan45°等。在具體的三角變換中,可根據(jù)題目條件中的不同結(jié)構(gòu)特征,選擇不同的變換方式。

對于常數(shù)“1”,往往可以將其轉(zhuǎn)化為對應的三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合具體的題目條件加以分析與應用。

說明:本文系江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“學習進階理論下高中數(shù)學單元學習元指導研究”(編號:B/2022/03/65)的階段性研究成果,以及江蘇省教育科學“十四五”規(guī)劃重點課題“大概念視角下的高中數(shù)學單元整體教學實踐研究”(編號:B/2021/02/28)的階段性研究成果。