基于MSLDSMC窗的諧波與間諧波參數(shù)估計(jì)算法*

陳乾明,張志威,李明皓,汪旭明,雷可君

(吉首大學(xué)通信與電子工程學(xué)院,湖南 吉首 416000)

隨著我國新能源及智能電網(wǎng)技術(shù)的不斷發(fā)展,電力諧波對(duì)電力系統(tǒng)的影響日益擴(kuò)大.為了減小設(shè)備損耗、提高電能質(zhì)量,需要采取有效措施來應(yīng)對(duì)諧波問題[1-3],而準(zhǔn)確檢測(cè)電力諧波的各項(xiàng)參數(shù)是解決諧波問題中的重要一環(huán).目前,應(yīng)用較多的電力諧波檢測(cè)方法有瞬時(shí)無功功率理論[4]、小波變換[5]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]及快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)[7-8]等.其中,FFT算法具有估計(jì)精度高、計(jì)算簡單及運(yùn)算速度快等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于諧波檢測(cè)中.然而,在非同步采樣過程中,該算法不可避免地會(huì)出現(xiàn)柵欄效應(yīng)和諧波泄露,降低諧波估計(jì)的精度.針對(duì)FFT算法的不足,通常利用窗函數(shù)來抑制頻譜泄漏,同時(shí)結(jié)合多種插值算法以減少柵欄效應(yīng)造成的誤差[9-10].常用的窗函數(shù)有Hanning窗、Blackman窗、Nuttall窗、Rife-Vincent窗及Kaiser窗等[11].特性優(yōu)良的窗函數(shù)具有主瓣寬度窄、旁瓣峰值電平低和旁瓣衰減速率快等特點(diǎn),而旁瓣特性決定了窗函數(shù)抑制頻譜泄漏的能力.為了進(jìn)一步提升窗函數(shù)的旁瓣性能,學(xué)者相繼構(gòu)建了自乘窗[12]及自卷窗[13].這2類窗函數(shù)的旁瓣性能大幅提升,抑制頻譜泄漏的能力得到進(jìn)一步改善,但同時(shí)也存在一些問題:自乘窗的主瓣寬度會(huì)隨著自乘計(jì)算次數(shù)的增加而增加,導(dǎo)致頻率分辨率降低[14];自卷窗的序列長度會(huì)隨著卷積計(jì)算次數(shù)的增加而增加,導(dǎo)致計(jì)算量增大[15].此外,當(dāng)所采用的母窗旁瓣性能不夠理想時(shí),即便經(jīng)過乘積或卷積計(jì)算后,窗函數(shù)的旁瓣性能得到了一定的改善,但估計(jì)精度的提升仍然是有限的[16-17].應(yīng)用較多的插值算法有雙譜線[18]、三譜線[19]、四譜線[20]和六譜線[21]插值算法.它們都是利用目標(biāo)譜線附近多根譜線獲取信息,不過雙譜線插值算法對(duì)譜線信息的利用不夠充分,而四譜線插值與六譜線插值算法盡管利用了更多的譜線信息,但是計(jì)算復(fù)雜度也隨之提高[22].相較而言,三譜線插值算法能兼顧估計(jì)精度和計(jì)算復(fù)雜度的要求[23].

綜上考慮,筆者擬利用具有優(yōu)越旁瓣性能的6項(xiàng)最大旁瓣衰減(Maximum Side Lobe Decay,MSLD)窗[24]并綜合自乘窗與自卷窗的優(yōu)勢(shì),構(gòu)建MSLD自乘-卷積(MLSD Self-Multiplication-Convolution,MSLDSMC)窗,再在此基礎(chǔ)上,與三譜線插值算法相結(jié)合,設(shè)計(jì)一種新的高精度三譜線插值電力諧波檢測(cè)算法,推導(dǎo)信號(hào)幅值、頻率及相位的估計(jì)公式,以期進(jìn)一步提高諧波與間諧波各項(xiàng)參數(shù)檢測(cè)的精度.

1 最大旁瓣衰減自乘-卷積窗

1.1 最大旁瓣衰減窗

這里:a0=0.246 093 750,a1=0.410 156 250,a2=0.234 375 000,a3=0.087 890 625,a4=0.019 531 250,a5=0.001 953 125.將MSLD窗與幾種經(jīng)典余弦組合窗函數(shù)進(jìn)行比較,它們的頻域特性參數(shù)見表1,幅頻特性曲線如圖1所示.

表1 MSLD窗與幾種經(jīng)典余弦組合窗函數(shù)的頻域特性對(duì)比Table 1 Frequency Domain Characteristics Comparison of MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

圖1 MSLD窗與幾種經(jīng)典余弦組合窗函數(shù)的幅頻特性對(duì)比Fig. 1 Amplitude-Requency Characteristics Comparison Between MSLD Window Function and Several Classic Cosine Combination Window Functions

由表1和圖1可知:窗函數(shù)主瓣寬度會(huì)隨著窗函數(shù)項(xiàng)數(shù)的增加而增加,頻率分辨率會(huì)相應(yīng)降低;Hanning窗和Blackman窗有較小的主瓣寬度,但旁瓣峰值電平太高,4項(xiàng)1階Nuttall窗旁瓣峰值電平最小,但旁瓣衰減速率太慢,因此它們的旁瓣特性都不夠理想;與4項(xiàng)3階Nuttall窗、4項(xiàng)5階Nuttall窗和5項(xiàng)1階Rife-Vincent窗相比,MSLD窗的旁瓣峰值電平更低,旁瓣衰減速率更快,能更有效地減少頻譜泄漏造成的計(jì)算誤差.因而,本研究采用MSLD窗作為母窗,構(gòu)建MSLDSMC窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行加權(quán)處理.

1.2 MSLDSMC窗的構(gòu)建

p個(gè)長度為M的MSLD窗,在時(shí)域經(jīng)p-1次乘積計(jì)算后得到p階MSLD自乘窗.考慮到隨著乘積運(yùn)算階數(shù)的增加,窗函數(shù)主瓣寬度也會(huì)增加,因此為了確保頻率分辨率,本研究只進(jìn)行1次乘積運(yùn)算.乘積運(yùn)算不改變窗函數(shù)長度,故2階MSLD自乘(MLSD Self-Multiplication,MSLDSM)窗的時(shí)域表達(dá)式為

(1)

其中bi為窗函數(shù)系數(shù),具體取值見表2.

表2 MSLDSM窗函數(shù)系數(shù)Table 2 Coefficients of MSLDSM Window Function

為了兼顧算法復(fù)雜度和估計(jì)精度要求,利用wMSLDSM(m)進(jìn)行1次卷積計(jì)算后得到MSLDSMC窗,其時(shí)域表達(dá)式為wMSLDSMC(n)=wMSLDSM(m)*wMSLDSM(m),其中n=0,1,…,N-1,N為MSLDSMC窗函數(shù)的長度.為了便于FFT實(shí)現(xiàn),經(jīng)過卷積計(jì)算后在序列末尾進(jìn)行補(bǔ)0操作,使得離散MSLDSMC窗的長度N=2M.

1.3 MSLDSMC窗頻域特性

由(1)式可得MSLDSM窗的頻域表達(dá)式

其中:ω為角頻率;WR(ω)為矩形窗的離散頻譜函數(shù),

根據(jù)卷積定理,函數(shù)在時(shí)域進(jìn)行卷積等效于在頻域進(jìn)行乘積.利用離散傅里葉變換性質(zhì),MSLDSMC窗的頻域表達(dá)式為

WMSLDSMC(ω)=(WMSLDSM(ω))2.

(2)

令ω=2πk/N,k為離散頻譜線的序號(hào),k=0,1,…,N-1.由于在實(shí)際應(yīng)用中N通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1,因此(2)式可近似表示為

其中c=0,±1,±2,….當(dāng)c=±1時(shí)可得,MSLDSMC窗的主瓣寬度BMSLDSMC=44π/M=88π/N.

選擇長度M=64的MSLD窗構(gòu)建MSLDSM窗和MSLDSMC窗,幅頻特性如圖2所示.

圖2 MSLD,MSLDSM和MSLDSMC窗幅頻特性Fig. 2 Amplitude-Frequency Characteristics of MSLD.MSLDSM and MSLDSMC Windows

由圖2可知:MSLDSMC窗與MSLDSM窗的主瓣寬度相等,且相較于MSLD窗的主瓣寬度更大;MSLDSMC窗的旁瓣峰值(-301.83 dB)遠(yuǎn)低于MSLD窗的旁瓣峰值(-87.94 dB)和MSLDSM窗的旁瓣峰值(-152.26 dB),且MSLDSMC窗具有更快的旁瓣衰減速度.由此可知,MSLDSMC窗相比MSLD窗和MSLDSM窗的旁瓣特性改善很大,能更有效地抑制頻譜泄漏.

2 基于最大旁瓣衰減自乘-卷積窗的三譜線插值算法

設(shè)離散化的單頻信號(hào)為

(3)

其中A0,f0,θ0分別為信號(hào)的幅值、頻率和相位,fs為采樣頻率.由于復(fù)譜序列具有對(duì)稱性,因此一般忽略負(fù)頻點(diǎn)峰值的影響.對(duì)(3)式疊加MSLDSMC窗后進(jìn)行傅里葉變換,可得

(4)

其中ω0=2πf0/fs.將(4)式離散化,令ω=2πk/N,ω0=2πk0/N,可得

(5)

(6)

可以看出γ是關(guān)于ε的函數(shù),記為γ=g(ε).理論上,通過求解(6)式可得ε=g-1(γ),但這種操作使得計(jì)算復(fù)雜度高,不利于實(shí)時(shí)估計(jì),而采用最小二乘法得到ε的多項(xiàng)式估計(jì)式的計(jì)算復(fù)雜度大大降低.ε的表達(dá)式為

ε=g-1(γ)=5.505 949 177 228 290 0γ-0.360 510 245 886 963 0γ3+

0.047 234 928 916 999 2γ5-0.007 707 827 943 080 4γ7,

從而可確定信號(hào)頻率的修正公式為f0=k0Δf=(k1+ε)fs/N,信號(hào)相位的修正公式為

θ0=arg(X(k1))-π(ε-0.5).

利用y1,y2,y3作幅值修正,因?yàn)閗1最靠近真實(shí)峰值頻譜,對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響最大,所以對(duì)這根譜線賦予權(quán)值2,而對(duì)譜線k2,k3分別賦予權(quán)值1.結(jié)合(5)式,可得信號(hào)幅值的修正公式

(7)

考慮到(7)式是關(guān)于ε的復(fù)雜函數(shù),不利于實(shí)時(shí)計(jì)算,故仍利用最小二乘法求得簡化后的多項(xiàng)擬合式A0=N-2(y2+2y1+y3)h(ε),其中

h(ε)=65.954 764 271 573 910+2.995 806 576 073 435ε2+0.069 064 953 701 636 3ε4+

0.001 083 987 688 066 51ε6.

3 仿真分析

3.1 整次諧波信號(hào)參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證新算法的有效性,對(duì)含有14次諧波成分的弱幅值信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì).假設(shè)該信號(hào)表達(dá)式為

(8)

其中:f為基波頻率,f=50.1 Hz;fs為采樣頻率,fs=2 500 Hz;N為采樣長度,N=2 048;h為諧波次數(shù);Ah,θh分別為諧波信號(hào)的幅值和相位.具體參數(shù)設(shè)置見表3.

表3 諧波信號(hào)參數(shù)設(shè)置Table 3 Harmonic Signal Parameter Setting

將MSLDSMC窗與采樣長度相同的MSLD窗和MSLDSM窗分別對(duì)(8)式所示的信號(hào)進(jìn)行仿真分析,并采用三譜線插值算法進(jìn)行諧波參數(shù)估計(jì),估計(jì)所得的基波各次諧波信號(hào)的幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差如圖3所示.

圖3 復(fù)雜諧波信號(hào)幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差Fig. 3 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase of Complex Harmonic Signals

由圖3可知:在相同條件下,采用新算法對(duì)諧波進(jìn)行分析,估計(jì)所得的幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差絕對(duì)值范圍分別為10-13～10-11(圖3(a)),10-16～10-14(圖3(b)),10-15～10-10(圖3(c)),與MSLD窗和MSLDSM窗的三譜線插值算法相比具有更高的估計(jì)精度;圖3(b)中,新算法估計(jì)所得第3次諧波的頻率相對(duì)誤差為0;第11,13,14次諧波的幅值都偏小,但是新算法估計(jì)所得的幅值相對(duì)誤差絕對(duì)值分別為1.21×10-11,1.18×10-11,3.55×10-12,說明新算法估計(jì)整次弱幅值信號(hào)時(shí)精度較高.

3.2 間諧波信號(hào)參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)

電網(wǎng)在實(shí)際運(yùn)行中產(chǎn)生的間諧波不僅會(huì)造成電壓、電流波動(dòng),還會(huì)干擾用電設(shè)備的正常運(yùn)行,危及電力系統(tǒng)的安全運(yùn)行,故進(jìn)行間諧波參數(shù)的高精度估計(jì)非常有必要.為了驗(yàn)證新算法估計(jì)間諧波參數(shù)的有效性,仿真過程選用6次間諧波組成的信號(hào),信號(hào)表達(dá)式為

(9)

其中:p為諧波次數(shù);Ap為諧波幅值;fp為諧波頻率;θp為諧波相位;fs為采樣頻率,fs=2 500 Hz.間諧波信號(hào)幅值、頻率和相位的具體參數(shù)設(shè)置見表4.

表4 間諧波信號(hào)參數(shù)設(shè)置Table 4 Inter Harmonic Signal Parameter Setting

利用新算法和基于MSLD窗三譜線插值算法分別對(duì)(9)式描述的信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),仿真結(jié)果見表5和表6.

表5 新算法估計(jì)間諧波信號(hào)各參數(shù)的相對(duì)誤差Table 5 New Algorithm for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

表6 基于MSLD窗三譜線插值算法估計(jì)間諧波信號(hào)各參數(shù)的相對(duì)誤差Table 6 Three Spectral Line Interpolation Algorithm Based on MSLD Window for Estimating the Relative Error of Parameters of Inter-Harmonic Signals

對(duì)比表5和表6可知:與基于MSLD窗三譜線插值算法相比,新算法估計(jì)所得的幅值相對(duì)誤差降低了2個(gè)數(shù)量級(jí),頻率相對(duì)誤差降低了2～3個(gè)數(shù)量級(jí),相位相對(duì)誤差數(shù)量級(jí)降低了2～4個(gè)數(shù)量級(jí);頻率相對(duì)誤差結(jié)果中,新算法估計(jì)所得的第4次間諧波信號(hào)頻率的相對(duì)誤差為0.由此可見,新算法估計(jì)間諧波信號(hào)參數(shù)時(shí)精度較高.

3.3 基頻變動(dòng)實(shí)驗(yàn)

信號(hào)基波頻率(基頻)的變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致非同步采樣發(fā)生,進(jìn)而影響信號(hào)諧波估計(jì)精度.因此,驗(yàn)證新算法在基頻變動(dòng)情況下參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性是十分重要的.電力系統(tǒng)基頻偏差的最大范圍為0.5 Hz,故設(shè)頻率fi是f在范圍49.5～50.5 Hz內(nèi)以步長為0.1 Hz變動(dòng).對(duì)(8)式描述的諧波信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì),各次諧波信號(hào)參數(shù)的相對(duì)誤差如圖4所示.

圖4 基頻變動(dòng)時(shí)幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差Fig. 4 Relative Errors of Amplitude,Frequency and Phase with Fundamental Frequency Changes

由圖4可知,在基頻變動(dòng)的情況下,各次諧波信號(hào)幅值、頻率和相位的相對(duì)誤差絕對(duì)值分別不超過1.20×10-11(圖4(a))、9.13×10-15(圖4(b))和2.89×10-10(圖4(c)).可見,新算法在基頻變動(dòng)時(shí)同樣估計(jì)精度較高.

5 結(jié)語

鑒于MSLD窗比經(jīng)典的余弦窗具有更優(yōu)異的旁瓣性能,筆者利用乘積和卷積運(yùn)算構(gòu)建了MSLDSMC窗,并設(shè)計(jì)了一種基于MSLDSMC窗三譜線插值的諧波與間諧波參數(shù)估計(jì)算法.與MSLD窗函數(shù)相比,MSLDSMC窗具有更低的旁瓣峰值和更快的旁瓣衰減速度.整次諧波信號(hào)參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與基于MSLD窗和MSLDSM窗的三譜線插值諧波與間諧波參數(shù)估計(jì)算法相比,新算法對(duì)整次諧波信號(hào)參數(shù)的估計(jì)精度明顯提高.間諧波信號(hào)參數(shù)估計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,與基于MSLD的三譜線插值諧波參數(shù)估計(jì)算法相比,新算法對(duì)間諧波信號(hào)參數(shù)的估計(jì)精度更高.基頻變動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,新算法對(duì)間諧波信號(hào)參數(shù)和在基頻變動(dòng)環(huán)境下對(duì)整次諧波信號(hào)參數(shù)的估計(jì)精度都較高.