聚焦圖形本質(zhì) 合理分類(lèi)解題

李?lèi)?ài)琴

摘要：分類(lèi)討論的思想方法貫穿整個(gè)初中教學(xué)教學(xué)，而圖形與坐標(biāo)又是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，因此，在教學(xué)中需要訓(xùn)練學(xué)生正確運(yùn)用分類(lèi)討論思想，合理解決圖形與坐標(biāo)中平行四邊形的相關(guān)問(wèn)題.

關(guān)鍵詞：平行四邊形；分類(lèi)討論；圖形與坐標(biāo)

1 背景分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中“圖形與坐標(biāo)”強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，用代數(shù)方法研究幾何圖形，在平面直角坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示圖形中點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)法分析和解決實(shí)際問(wèn)題.平行四邊形是初中幾何中一種非常重要的幾何圖形，對(duì)于它的性質(zhì)和判定，學(xué)生都要會(huì)合理應(yīng)用.與平行四邊形相關(guān)的問(wèn)題在中考中也較為普遍，而由于與之相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)涉及面廣，求解方法多、思路活，因此有些學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題有時(shí)束手無(wú)策，有時(shí)考慮又不全面.

對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，高效而準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)解題方法是不可或缺的.在解決有關(guān)求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題時(shí)，往往要用到分類(lèi)討論思想.下面筆者擬通過(guò)幾例問(wèn)題分析，談?wù)劮诸?lèi)討論思想在求平行四邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題中的應(yīng)用.

2 分析說(shuō)明

如圖1，在平行四邊形ABCD中，任意連接它的四個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)，可以得到六條線段，分別是線段AB，BC，CD，DA，AC，BD.這六條線段要么是平行四邊形的邊，要么是平行四邊形的對(duì)角線.所以，在平面直角坐標(biāo)系中解決平行四邊形問(wèn)題時(shí)，如果已經(jīng)知道了平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么一般分三種情況討論；而若只知道平行四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，則一般需要分兩種情形來(lái)討論.因?yàn)檫@兩個(gè)頂點(diǎn)組成的線段只有兩種情形，可能是平行四邊形的邊，也可能是它的對(duì)角線.

3 案例剖析

案例1 若以A（-1，0），B（3，0），C（0，4）為其中三個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：如圖2，已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，求第四個(gè)頂點(diǎn)，可以分三種情況，分別將AC，AB，BC向右或向上或向左平移就能得到第四個(gè)頂點(diǎn)的三種不同位置；也可以分別把AC，AB，BC看成對(duì)角線，從而得到第四個(gè)頂點(diǎn)的位置.

在這里，具體的求解有兩種方法：一是運(yùn)用幾何論證方法，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)容易求得第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).二是代數(shù)論證方法，運(yùn)用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式從而確定第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).如圖2，平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，4），（-4，4），（2，-4）.

案例2 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，5），（3，3），一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D，C，如果以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則一次函數(shù)y=kx+b的關(guān)系式為[CD#3].

分析：本題只知道平行四邊形兩個(gè)頂點(diǎn)A，B，所以分兩種情形，一種是AB為邊，另一種是AB為對(duì)角線.

先看第一種，如圖4，如果AB為邊，那么CD也是邊，此時(shí)過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)為E，則根據(jù)“平行四邊形對(duì)邊平行且相等”，可得△AEB≌△COD，所以CO=AE=2，EB=OD=2.當(dāng)點(diǎn)C，D分別在y軸和x軸的正半軸上時(shí)，直線CD的解析式為y=－x+2；當(dāng)點(diǎn)C，D分別在y軸和x軸的負(fù)半軸上時(shí)，直線CD的解析式為y=－x－2.

再看第二種，如圖5，若AB為對(duì)角線，則CD也為對(duì)角線.平行四邊形對(duì)角線具有的性質(zhì)是互相平分，根據(jù)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，可以確定AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2，4）.取OD中點(diǎn)F，連接EF，則EF是△COD的中位線.根據(jù)中位線的定義及性質(zhì)可以確定點(diǎn)D（4，0），C（0，8），所以CD所在直線的解析式為y=－2x+8.

綜合上述二種情況，可確定所求的一次函數(shù)解析式為y=-x+2或y=-x-2或y=-2x+8.

案例3 ]如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC.設(shè)P是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：以A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，而在這四點(diǎn)中只知道兩點(diǎn)A，D，所以分兩種情形，即一種是AD為邊，另一種是AD為對(duì)角線.

先考慮第一種情形，若AD為邊，則QP也為邊，所以AD與PQ平行且相等.如圖7，

過(guò)點(diǎn)D，Q分別作x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則由OC∥ED，CD=4AC，易得OE=4OA=4，所以可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5a）.過(guò)點(diǎn)P作PG⊥FQ于點(diǎn)G.

由AD與PQ平行且相等，易證△AED≌△PGQ，所以AE=PG，QG=ED=-5a，

再考慮第二種情形，如圖8，若AD為對(duì)角線，則PQ也為對(duì)角線.由于此時(shí)△AFQ≌△DGP，因此FQ=PG，AF=DG.同理可以確定點(diǎn)Q（2，-3a），P（1，8a）.又因?yàn)椤螦QD=90°，所以△AFQ

4 解題反思

平行四邊形的存在性問(wèn)題已經(jīng)成為中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，教師平時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生在遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)應(yīng)仔細(xì)分析題目信息，根據(jù)已知條件選擇合適的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn).分類(lèi)討論思想是一種比較系統(tǒng)性的思想，有助于解決一般性問(wèn)題，在數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用.總之，利用分類(lèi)討論思想解決有關(guān)平行四邊形的問(wèn)題時(shí)，一般分三步：第一步尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算.而難點(diǎn)在于尋找分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，如果分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)恰當(dāng)，可以使解的個(gè)數(shù)不重復(fù)、不遺漏，從而提高解題的正確率.教師在此類(lèi)問(wèn)題的解題教學(xué)中，要探索例題的教學(xué)價(jià)值，教會(huì)學(xué)生聚焦圖形本質(zhì)，探索分類(lèi)的合理性、思路的自然化，拓展思維的深度和廣度，提高解題能力，使每個(gè)學(xué)生得到不同的發(fā)展［1］.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐琳玲，蔡晶晶.幾何作圖探本質(zhì) 問(wèn)題解決顯素養(yǎng)——對(duì)一道中考幾何題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（5）33-35.