初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學案例分析

施秋榮

摘要：數(shù)與形是數(shù)學的兩大基本元素，初中數(shù)學教學與學習不能脫離數(shù)與形而獨立存在.在數(shù)學教學中積極應用數(shù)形結(jié)合思想，可使某些抽象的數(shù)學問題變得更加直觀、生動，進而促使抽象思維轉(zhuǎn)化成形象思維，幫助學生更好把握數(shù)學問題本質(zhì).本文中從實際出發(fā)，立足實際教學內(nèi)容，從有理數(shù)、不等式、函數(shù)、幾何四個方面分析了初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想的具體應用，意在確保數(shù)形結(jié)合思想能夠得到有效落實，學生核心素養(yǎng)可以得到有效提升.

關鍵詞：初中數(shù)學；教學研究；數(shù)形結(jié)合思想；案例分析

在教育深化改革背景下，教師要切實落實立德樹人根本任務，深入推進初中數(shù)學課堂教學改革，落實學生主體地位，聚焦學生核心素養(yǎng)的培育，探索課堂教學的新范式.在此背景下，“以數(shù)解形、以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想的價值和作用愈發(fā)凸顯，得到了眾多數(shù)學教師的青睞，且收獲了良好的教學效果.新形勢下，教師要深入探索教學內(nèi)容，并立足教學內(nèi)容之上，以教學目標為指引，貫徹落實數(shù)形結(jié)合思想.

1 數(shù)形結(jié)合思想概述

1.1 數(shù)形結(jié)合思想的定義

數(shù)形結(jié)合思想指的是利用“數(shù)”與“形”之間的關系對數(shù)學知識點和數(shù)學問題進行研究，并以此為數(shù)形轉(zhuǎn)換找到一定條件的一種數(shù)學思維方法[1].

1.2 數(shù)形結(jié)合思想的轉(zhuǎn)換方法

（1）以數(shù)解形

以數(shù)解形，即將圖形轉(zhuǎn)換成數(shù).具體指的是通過分析數(shù)學題目中的各種圖形，挖掘其所包含的代數(shù)知識，在明確圖形和數(shù)量關系的基礎上，用“數(shù)”的方式將“形”的屬性表現(xiàn)出來，從而使復雜的圖形變得簡單明了，幫助學生實現(xiàn)快速解題[2].

（2）以形助數(shù)

以形助數(shù)，即將數(shù)轉(zhuǎn)換成圖形.具體指的是針對數(shù)學中難以用代數(shù)進行描述和表達的抽象知識點，可通過合理引入圖形的方式將抽象難懂的數(shù)學知識點轉(zhuǎn)化為比較直觀的形象表達，用“形”的具體將“數(shù)”的抽象表現(xiàn)出來，進而幫助學生解決難以理解的數(shù)學問題.

（3）數(shù)形互變

數(shù)形互變，即數(shù)字和圖形之間的相互轉(zhuǎn)化.具體指的是在解決數(shù)學問題的過程中，以題意為基礎進行聯(lián)想，將抽象的數(shù)學語言轉(zhuǎn)化成圖形，將題目中的圖形以數(shù)量關系的方式表達出來.這能夠讓抽象的數(shù)學問題變得簡單、易解答［3］.

2 初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學案例分析

2.1 數(shù)形結(jié)合思想在有理數(shù)中的應用

有理數(shù)是初中數(shù)學較為重要的內(nèi)容之一，且具有較強的邏輯性.對于部分學生而言，有理數(shù)學習具有一定的難度.此時，從學生學習能力和實際水平出發(fā)，依托數(shù)形結(jié)合思想，靈活地引入“數(shù)軸”這一圖形工具，可將數(shù)學問題化難為易，進而幫助學生快速、準確地解決數(shù)學問題.

例1 已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡|a|－|a+b|+|c－a|+|b－c|.

分析：通過分析數(shù)軸可知b＜a＜0＜c，然后可根據(jù)有理數(shù)的運算法則，判斷出絕對值里的代數(shù)式的正負性，最后根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡.

解析：由數(shù)軸，得b＜a＜0＜c.

所以a+b＜0，c－a＞0，b－c＜0.

故

|a|－|a+b|+|c－a|+|b－c|

=－a+a+b+c－a－b+c

=－a+2c.

點評：通過分析數(shù)軸準確判斷a，b，c之間的大小關系和正負情況，既可以便于學生直觀地理解正、負數(shù)的概念及其區(qū)別，還可以確保學生快速、準確地得到結(jié)果.

2.2 數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應用

中考數(shù)學中，代數(shù)問題往往以一元二次方程（不等式）的形式出現(xiàn).在不等式的相關習題中，靈活應用數(shù)形結(jié)合思想，利用二次函數(shù)圖象解決不等式問題，這樣既可以降低不等式習題的難度，還可以讓學生感受到學習的樂趣.更重要的是，這有助于學生數(shù)形結(jié)合能力的提升，可為學生后續(xù)快速、準確解答不等式問題奠定良好基礎.

例2 如圖2為二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是[CD#3].

分析：根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，可得出圖象與x軸的另一個交點坐標，進而結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c＜0的解集.

解析：由圖象可知，二次函數(shù)圖象對稱軸為x=1，與x軸的一個交點坐標為（3，0），所以

圖象與x軸的另一個交點坐標為（－1，0）.

結(jié)合圖象可知，

不等式ax2+bx+c＜0的解集即是y<0的解集.

因此，不等式ax2+bx+c＜0的解集是－1＜x＜3.

點評：利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解不等式，可以有效降低解題難度，也可以減少計算量.

2.3 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應用

函數(shù)是初中學生新接觸的內(nèi)容，無論從理解，還是接受方面都比較困難，所以找對解題方法十分關鍵.在函數(shù)問題中應用數(shù)形結(jié)合思想，可提升解題效率，保證解題正確率.

例3 周末上午，小紅從家出發(fā)跑步去公園，之后在公園停留了一會，并在疲憊時選擇打車回家.圖3中折線表示小紅離家的距離y（單位：m）和所用時間x（單位：min）之間的函數(shù)關系，則下列說法中錯誤的是（）.

A.小紅在公園停留了5 min.

B.小紅乘出租車用了17 min.

C.小紅跑步的速度為180 m/min.

D.出租車的平均速度是900 m/min.

解析：為準確快速解答問題，首先要明確圖中橫坐標和縱坐標分別代表的實際意義——橫坐標代表的是小紅所用的時間，縱坐標代表的是小紅離家的距離.其次，要明確該折線圖由三部分構(gòu)成.其中第一段表示“小紅從家出發(fā)跑步去公園”，且離家的距離越來越遠，到10 min時，小紅距離家的距離為1 800 m，這說明小紅家到公園的距離為1 800 m，且小紅的跑步速度為1 800÷10=180（m/min）;第二段表示“小紅在公園停留了一會”，因此該段中，只有時間在增加，而小紅家離家距離并沒有增加，且小紅停留的時間為5 min.第三段表示“小紅在打車回家”，因此，小紅離家的距離越來越近，到17 min時，小紅與家的距離為0 m，說明小紅已經(jīng)到家，且花費的時間為17-15=2（min），可以得出出租車的平均速度為1 800÷2=900（m/min）.故該題的正確答案為選項B.

點評：數(shù)形結(jié)合思想把實際問題和圖象緊密地結(jié)合在了一起，不僅使學生的解題思路更加明確，縮短了學生做題時間，也提高了解題準確率.

2.4 數(shù)形結(jié)合思想在幾何中的應用

初中幾何知識具有抽象性特點，是學生需要掌握的重點知識和難點知識.切實強化數(shù)形結(jié)合思想在幾何問題中的應用，不僅可以幫助學生以簡單的方式快速解答幾何問題，還可以有效培養(yǎng)學生的抽象思維能力.

例4 如圖4所示，當菱形ABCD的面積為120 cm2時，正方形AECF的面積為50 cm2，則菱形的邊長為[CD#3]cm.

分析：該題是求解長度的問題，其解題關鍵在于菱形和正方形都是軸對稱圖形，且二者都具有對角線相互垂直的性質(zhì).因此，可依托數(shù)形結(jié)合思想，用設未知數(shù)的方法，解答出正確答案.

解：設AC=2a，BD=2b，則

點評：以數(shù)解形的解題方法既可以降低習題難度，也能夠為學生提供更加便捷的解題方法，有利于提高解題效率.

數(shù)形結(jié)合思想可以將形象直觀的圖形與抽象的數(shù)學知識進行有機結(jié)合，進而實現(xiàn)教學內(nèi)容具體化、復雜關系簡單化.因此，教師應當加強數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中的應用，并圍繞學生實際學習情況和學習特點，為學生總結(jié)出更多數(shù)形結(jié)合思想的應用思路.

參考文獻：

[1]陳小紅.初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學研究與案例研究[J].讀與寫，2021，18（4）：157.

[2]許瑞光.基于初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學研究與案例分析[J].文淵（中學版），2020（6）：456-457.

[3]高成榮.初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合思想教學研究與案例分析[J].數(shù)理化解題研究，2020（29）：14-15.