內(nèi)容結(jié)構(gòu)化重組，讓學習深度發(fā)生

丁偉

【摘 要】 當下，結(jié)構(gòu)化教學受到普遍關(guān)注，力圖解決教材分課時推進帶來的碎片化問題。結(jié)構(gòu)化教學的可行性策略有哪些？具體策略在結(jié)構(gòu)化課堂又該怎么落實？本文立足整體視角解析教材編排結(jié)構(gòu)，在學生認知基礎(chǔ)上，通過內(nèi)容重組重構(gòu)教學策略，厘清結(jié)構(gòu)化教學路徑，力圖讓學生的認知思維由離散型向結(jié)構(gòu)化邁進。

【關(guān)鍵詞】內(nèi)容重組 結(jié)構(gòu)化教學 三角形面積 梯形面積

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》強調(diào)對數(shù)學內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合以解決碎片化學習的問題，但在實際教學中，教師缺少整體觀念，更多地關(guān)注一個課時或者具體的知識點。長此以往，學生結(jié)構(gòu)化思維的形成與發(fā)展只能淪為空談。基于對這種矛盾現(xiàn)象的思考，筆者對人教版數(shù)學“三角形的面積”和“梯形的面積”兩節(jié)課的學科邏輯及學生學情進行深度思考，通過重組教學內(nèi)容重構(gòu)教學策略，厘清結(jié)構(gòu)化教學的一般路徑，力圖讓學生的認知由單一邁向多維，思維由離散型走向結(jié)構(gòu)化。

一、解析教材—學科邏輯提供教學載體

人教版數(shù)學“多邊形的面積”單元教材的編排路徑為：平行四邊形的面積—三角形的面積—梯形的面積—組合圖形的面積，且每個課時配備相應的練習課。教材的分冊編寫與分課時推進容易讓整體性變得隱蔽，從而增加學生認識平面圖形面積的難度，同時弱化部分與部分的關(guān)聯(lián)，不利于感悟知識的內(nèi)在聯(lián)系與認知方式上的共性。那么，“三角形的面積”與“梯形的面積”兩節(jié)課能否進行整合教學呢？筆者將從學科邏輯的視角分兩個方面進行闡述。

1. 基于學習方法的類似性

在求平行四邊形的面積時，學生將平行四邊形沿著高割補拼成長方形，從而得到面積計算公式。在面對三角形的面積和梯形的面積時，研究方法和平行四邊形的面積類似，也是運用割補等方法。鑒于這種高度的相似性，將這兩節(jié)內(nèi)容相近、方法類似的探究課進行整合教學，可以大大加強學生的整體認知。

2. 基于轉(zhuǎn)化思想的一致性

平面圖形的面積，從平行四邊形到圓都圍繞著同一種數(shù)學思想方法—轉(zhuǎn)化。圖形特征不一樣，轉(zhuǎn)化路徑不同，但內(nèi)在的轉(zhuǎn)化原理并沒有改變。因此，將“三角形的面積”和“梯形的面積”兩節(jié)課進行整合教學，更有利于學生體驗知識內(nèi)在原理的一致性，助力結(jié)構(gòu)化思維的形成。

二、實證分析—學情需求決定教學走向

如何將“三角形的面積”和“梯形的面積”兩節(jié)課更好地整合？這就需要對學生學情有一個清晰的了解，特別是學生在掌握了三角形的面積之后，面對梯形的面積時處于一個怎樣的思維狀態(tài)，以便更好地將兩節(jié)課進行無縫銜接。

統(tǒng)計對象：全班45個學生。

提供材料：每人三個大小完全相同的梯形。

統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

所選材料 操作方法 人數(shù) 百分率 推導出公式的人數(shù) 百分率

兩個完全相同的梯形 拼成平行四邊形 25 55.6% 7 15.6%

1個梯形 分成2個三角形 11 24.5% 2 4.4%

分成1個三角形和1個平行四邊形 4 8.9% 1 2.2%

補成長方形 1 2.2% 0 0%

補成平行四邊形 2 4.4% 0 0%

沿中間剪開，拼成平行四邊形 0 0% 0 0%

其他 2 4.4% 0 0%

從上表中可以看出，有95.6%的學生都能主動運用轉(zhuǎn)化策略推導梯形的面積計算公式。筆者通過對操作方法的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，有55.6%的學生想到了用兩個完全相同的梯形拼成平行四邊形，這個結(jié)果表明，三角形的面積公式推導直接影響學生后續(xù)的思維方式，學生能夠主動進行遷移。利用一個梯形通過分割、等積變化等方法來研究的也有少數(shù)學生，但是能夠通過一個梯形正確推導出面積公式的僅有6.6%，而利用兩個完全相同的梯形推導出面積公式的也只有15.6%。因此，在面積度量教學中，教師可以借助方格紙將抽象幾何轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^幾何，讓學生思維的轉(zhuǎn)化有具體材料支撐，進而引導學生發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的聯(lián)系，克服真正的認知難點，為概念的深化建構(gòu)夯實基礎(chǔ)。

綜上所述，將“三角形的面積”和“梯形的面積”兩節(jié)內(nèi)容相近、方法類似的課進行整合教學，不僅讓學生進行整體性建構(gòu)、開展系統(tǒng)化認知，更重要的是引導學生形成主動關(guān)聯(lián)、前連后延的結(jié)構(gòu)化思維。

三、內(nèi)容重組—立足整體系統(tǒng)推進

環(huán)節(jié)一：遷移沖突—促轉(zhuǎn)化策略萌芽

師：我們已經(jīng)知道平行四邊形的面積是通過剪拼成長方形進行探究的了，猜一猜三角形的面積應怎樣研究呢。

生：跟平行四邊形面積的研究方法一樣，也是沿著高剪拼。

師：你說的有一定道理，但有道理不代表是真理。實踐是檢驗真理的好方法，同學們可以動手進行驗證。

（學生動手操作，沿著高剪拼三角形，教師巡視）

師：為什么研究平行四邊形的方法，到了三角形這里就不行了呢？

生1：因為剪開的兩個三角形邊的長短不一樣。

生2：剪出來的兩個三角形大小不一樣。

生3：剪出來的兩個三角形形狀也不一樣。

【設(shè)計意圖】概念的重建需要建立在學生自我否定的基礎(chǔ)之上，在學生平行四邊形的面積研究經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，利用負遷移探究三角形的面積，學生經(jīng)歷自我否定之后開始反思：剪出來的兩個三角形邊長不同、大小不同、形狀不同。正是有了這樣的思考，轉(zhuǎn)化的種子才開始在學生心里萌芽。

環(huán)節(jié)二：實踐操作—促轉(zhuǎn)化策略生成

師：每位同學有一個印有三角形和梯形（形狀、大小都不同）的透明卡片，請借助方格紙測量它們的面積（一格是1平方厘米），看看在探究的過程中有什么發(fā)現(xiàn)。

（學生度量三角形的面積和梯形的面積，教師巡視）

第一種方法：數(shù)方格度量

第二種方法：等積變換度量

第三種方法：翻倍度量

師：通過剛才的研究，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：數(shù)方格的方法是先數(shù)完整的，再把不完整的拼成完整的數(shù)。第二種方法和第三種方法都是把圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的長方形或平行四邊形。

生2：我發(fā)現(xiàn)，求面積其實就是看里面有幾個面積單位，三種方法都是在數(shù)面積單位的個數(shù)，只是第一種方法是一格一格拼湊完整的，第二、第三種方法是整塊拼湊完整的。

【設(shè)計意圖】以方格紙作為教學的“支點”，有助于在探究三角形的面積和梯形的面積時，將抽象幾何轉(zhuǎn)化為直觀幾何。學生通過數(shù)方格、等積變換、翻倍等方法探究圖形的面積，探究的生成性資源具有典型性，這種豐富感知可以幫助學生在接下來的抽象提煉中找到思維的具體支撐，也便于學生多維度、整體性地把握度量本質(zhì)。

環(huán)節(jié)三：概括提煉—促轉(zhuǎn)化策略生長

師：觀察轉(zhuǎn)化后的圖形與原來的圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：兩個完全相同的三角形拼成的平行四邊形的底就是原來三角形的底，拼成的平行四邊形的高就是原來三角形的高，面積是原來三角形的兩倍。

生2：兩個完全相同的梯形拼成的平行四邊形的底就是原來梯形的上底與下底的和，拼成的平行四邊形的高就是原來梯形的高，面積是原來梯形的兩倍。

師：現(xiàn)在你知道三角形的面積和梯形的面積分別怎樣計算嗎？

生1：三角形的面積就是平行四邊形面積的一半，所以，三角形的面積＝底×高÷2。

生2：梯形的面積也是平行四邊形面積的一半，所以，梯形的面積＝（上底＋下底）×高÷2。

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)學生在運用轉(zhuǎn)化方法的基礎(chǔ)上進行抽象提煉，教師引導學生明白轉(zhuǎn)化是為了更好地度量面積，面積度量的基本方法是“每行單位面積的個數(shù)×行數(shù)”。理解平面圖形面積度量的本質(zhì)就是計算面積單位的個數(shù)，計算面積是數(shù)方格的一種簡便表達。學生從無意識應用到有意識注意，積累轉(zhuǎn)化活動經(jīng)驗，感受面積度量本質(zhì)。

四、整體認知—厘清結(jié)構(gòu)化建構(gòu)路徑

所謂結(jié)構(gòu)化，實質(zhì)上是對結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程，落實在課堂教學中，要遵循知識的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，通過結(jié)構(gòu)化的整體設(shè)計，將學科邏輯結(jié)構(gòu)高效地轉(zhuǎn)化為學生的認知結(jié)構(gòu)，引導學生體驗知識內(nèi)容背后的一致性原理，形成主動關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)化思維。

1. 縱向結(jié)構(gòu)化—還原過程結(jié)構(gòu)

縱向結(jié)構(gòu)化，是指教師依據(jù)知識發(fā)生發(fā)展的邏輯順序，讓學生對教學內(nèi)容載體形成整體性認知，幫助學生建立清晰的知識板塊。

教材的分冊編排和教學的分課時推進讓概念的整體性“斷裂且隱蔽”，所以，教師在教學時需要解析知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，引導學生形成整體性的認知結(jié)構(gòu)。例如，在教學“多邊形的面積”單元時，教師需要對知識結(jié)構(gòu)進行分析?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”是“多邊形的面積”的起始課，更是思維方法的種子課，起到奠基性作用。教師需要精準發(fā)力，將“平行四邊形的面積”定位于教學結(jié)構(gòu)，學生通過“數(shù)方格—方法探究—歸納公式—運用公式”等過程的學習，掌握平行四邊形的面積，形成完整的認知結(jié)構(gòu)。然后，學生對三角形的面積、梯形的面積甚至圓的面積都可以主動遷移，理解推導過程，掌握面積公式。這樣的縱向結(jié)構(gòu)化教學，能夠還原知識的過程結(jié)構(gòu)。

2. 橫向結(jié)構(gòu)化—展現(xiàn)關(guān)系結(jié)構(gòu)

橫向結(jié)構(gòu)化，是指教師基于數(shù)學學科本身的特點，引導學生將新知納入原有認知結(jié)構(gòu)，在系統(tǒng)化認知、整體性建構(gòu)的基礎(chǔ)上形成更強的結(jié)構(gòu)。

教師在教學中不僅要關(guān)注知識的縱向結(jié)構(gòu)，而且要關(guān)注知識點之間的橫向結(jié)構(gòu)。例如，人教版教材的編排是按照邏輯結(jié)構(gòu)，由平行四邊形的面積到三角形的面積再到梯形的面積，然而僅關(guān)注這種單向的邏輯結(jié)構(gòu)顯然是不夠的，教師應該突破由于先后次序編排所形成的邏輯束縛，從更為廣泛的角度解釋概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正建構(gòu)起概念的整體性。

從數(shù)學本質(zhì)來說，梯形的面積公式S = （a＋b）×h÷2同樣適用于平行四邊形和三角形。從梯形到平行四邊形，圖形的變化經(jīng)歷上底和下底相同，兩條腰平行的過程，因此，利用梯形的面積公式可以推導出平行四邊形的面積公式：S =（a＋a）×h÷2＝a×h；從梯形到三角形，圖形的變化經(jīng)歷上底不斷變小直至為0的過程，可以推導出三角形的面積公式：S =（0＋a）×h÷2 ＝a×h÷2。

因此，從本質(zhì)上來講，梯形的面積公式是本單元學習的三種圖形（平行四邊形、三角形、梯形）面積計算的一般公式。有了這樣的橫向結(jié)構(gòu)化教學，學生的數(shù)學視角才能更加廣闊。

3. 融通結(jié)構(gòu)化—深化認知結(jié)構(gòu)

融通結(jié)構(gòu)化，是指跳出知識點的局限，形成縱橫交互的學科結(jié)構(gòu)體系，引導學生在遷移、生長和應用中展開學習。帶著這樣的視角審視轉(zhuǎn)化思想，可以發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想貫穿小學階段的學習全過程，在圖形轉(zhuǎn)化、計算轉(zhuǎn)化、解決問題轉(zhuǎn)化中均有體現(xiàn)。

（1）圖形轉(zhuǎn)化

在平面圖形的面積度量領(lǐng)域，平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積、圓的面積，乃至立體圖形的表面積（長方體、正方體、圓柱、圓錐），都是將未知的、不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為已知的、規(guī)則的圖形，從而度量面積。這個道理同樣適用于立體圖形的體積，內(nèi)涵不斷豐富，轉(zhuǎn)化思想?yún)s是一脈相承的。

（2）計算轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化思想在計算教學中也是隨處可見。例如，小數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法，分數(shù)加減法通過通分將異分母分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)加減法，分數(shù)除法轉(zhuǎn)化為分數(shù)乘法……在計算教學領(lǐng)域，轉(zhuǎn)化是為了更便捷地計算計數(shù)單位的個數(shù)。

（3）解決問題轉(zhuǎn)化

在解決問題的教學中也貫穿著轉(zhuǎn)化思想。例如，甲、乙兩個數(shù)的比是3∶2，乙、丙兩個數(shù)的比是7∶6，求甲、乙、丙三個數(shù)的比。解決此類問題，可以根據(jù)2和7兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，將乙轉(zhuǎn)化成相同的份數(shù)，從而得出甲、乙、丙三個數(shù)的比。

教師有了這樣整體融通的思維，各個學段的教學就不會被一葉障目，而是可以上串下聯(lián)、整體關(guān)照。這樣的教學基于知識本質(zhì)，幫助學生打通課時、單元、年級的局限，深化認知結(jié)構(gòu)與思維結(jié)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)化教學需要打破教材固有的編排格局，重建數(shù)學教學的優(yōu)化狀態(tài)；需要對知識的邏輯結(jié)構(gòu)、對學生的認知結(jié)構(gòu)有深入分析，并以此為生長點，突破教材的課時、單元、年級的局限。通過結(jié)構(gòu)化教學，“縱向結(jié)構(gòu)化”還原過程結(jié)構(gòu)，“橫向結(jié)構(gòu)化”展現(xiàn)關(guān)系結(jié)構(gòu)，“融通結(jié)構(gòu)化”深化認知結(jié)構(gòu)，幫助學生形成結(jié)構(gòu)化思維。結(jié)構(gòu)化思維的形成并不是通過一兩節(jié)課可以實現(xiàn)的，而是一個長期的、不斷積累進而由量變到質(zhì)變的過程，需要師生共同努力。

（作者單位：浙江省湖州市愛山小學教育集團）

責任編輯：趙繼瑩