基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題本質(zhì)研究

嚴(yán)天珍

摘要：凹凸性是刻畫連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一.文章從高中學(xué)生認(rèn)知水平的實(shí)際出發(fā)，在介紹了函數(shù)凹凸性相關(guān)定義和定理的基礎(chǔ)上，對近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行示例分析和解題本質(zhì)研究，以期為一線教師的解題教學(xué)和高考備考提供參考和啟示.

關(guān)鍵詞：凹凸性；高考數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；試題本質(zhì)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2023）33-0069-03

美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos）曾說：問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問題和解[1]；數(shù)學(xué)作為一門研究規(guī)律的學(xué)科，毫無疑問數(shù)學(xué)解題教學(xué)有其內(nèi)在的屬性和規(guī)律，而這個(gè)屬性與規(guī)律就是數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)[2].

凹凸性是刻畫連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的重要工具之一，不僅在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也是高考數(shù)學(xué)試題命制的熱點(diǎn)[3].回顧近年高考試題發(fā)現(xiàn)，基于函數(shù)凹凸性命制的高考數(shù)學(xué)試題頻頻出現(xiàn)，但由于普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有對函數(shù)的凹凸性做具體要求，相關(guān)性質(zhì)在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中又分布得較為隱蔽和零散，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)以整體的視野去統(tǒng)整相關(guān)的內(nèi)容，更難將該思想方法順利遷移到相關(guān)的解題中去.因此，函數(shù)凹凸性的“學(xué)考分離”現(xiàn)象成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)和高考備考中一個(gè)不容忽視的問題.

為此，筆者從高中學(xué)生認(rèn)知水平的前提出發(fā)，在介紹函數(shù)凹凸性相關(guān)定義和定理的基礎(chǔ)上，對近年基于函數(shù)凹凸性的高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行示例分析和解題本質(zhì)研究，以期為一線教師的解題教學(xué)和高考備考提供參考和啟示.

1 預(yù)備知識

定義設(shè)f（x）為定義在a，b上的連續(xù)函數(shù)，若對a，b中任意兩點(diǎn)x1，x2和任意實(shí)數(shù)λ∈（0，1）總有f（λx1+（1-λ）x2）≤λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f（x）為a，b上的凸函數(shù)；反之，如果總有f（λx1+（1-λ）x2）≥λf（x1）+（1-λ）f（x2），則稱f（x）為a，b上的凹函數(shù).

定理[4]設(shè)f（x）為定義在a，b上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在a，b上f（x）為凸（凹）函數(shù)的充要條件是f ″（x）≥0（f ″（x）≤0）.

2 “ f（x）≤kx+b（或≥）”型導(dǎo)數(shù)試題的分析與結(jié)論

例1（2017年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤ax+1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析（1）略；（2）因?yàn)閒（x）=（1-x2）ex，所以f ′x=ex（-x2-2x+1），

進(jìn)而有f ″x=-ex（x2+4x+1）<0在［0，+

SymboleB@

）上恒成立。

由定理可知fx在［0，+

SymboleB@

）上為凹函數(shù)，

又因?yàn)閒x過點(diǎn)（0，1），所以fx在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為y=x+1，

因?yàn)閒（x）為［0，+

SymboleB@

）上的凹函數(shù)，易知曲線y=f（x）總是在它的任一切線的下方，即fx≤x+1，

又因?yàn)椋?dāng)x≥0時(shí)f（x）≤ax+1，所以a的取值范圍為［1，+

SymboleB@

）.

評析含參不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題是高考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn).解決的方法主要有分類討論和分離參數(shù)，分類討論由于分類標(biāo)準(zhǔn)的復(fù)雜多樣往往不被一線師生所使用，而分離參數(shù)因其思想簡單而易于被學(xué)生接收，但解題過程往往因?yàn)闃?gòu)造函數(shù)復(fù)雜、用到洛必達(dá)法則等困難而半途而廢.因此在解決“f（x）≤kx+b型”函數(shù)問題時(shí)，利用函數(shù)的凹凸性并考慮相切的臨界狀態(tài)，無疑是一種簡潔有效的辦法.

結(jié)論1設(shè)f（x）為定義在a，b上的二階可導(dǎo)函數(shù)，對a，b中任意兩點(diǎn)x，x0，則有：

（1）f（x）為a，b上的凸函數(shù)f（x）≥f（x0）+f ′（x0）（x-x0）；

（2）f（x）為a，b上的凹函數(shù)f（x）≤f（x0）+f ′（x0）（x-x0）.

不難理解，該定理的幾何意義是：若f（x）為a，b上的凸函數(shù)，則曲線y=f（x）總是在它的任一切線的上方；若f（x）為a，b上的凹函數(shù)，則曲線y=f（x）總是在它的任一切線的下方.

回望近年高考，2018年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第21（2）題、2018年高考全國Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)第21（2）題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20（2）題、2019年高考全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)第20（2）題、2020年高考全國Ⅰ卷文科數(shù)學(xué)第20（2）題、2020年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21（1）題等，都是基于函數(shù)凹凸性命制的，且均可以借助結(jié)論1的思想方法解答.限于篇幅，此處不再做示例分析.

3 “f（x）-f（a）x-a”型函數(shù)單調(diào)性的探究及結(jié)論

例2（2020年高考全國Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1［4］.

（1）若fx≤2x+c，求c的取值范圍；

（2）設(shè)a>0，討論函數(shù)g（x）=f（x）-f（a）x-a的單調(diào)性.

分析從問題本身來看，本題第一問主要考查的是含參不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，第二問主要考查函數(shù)單調(diào)性的討論問題，利用第一問的結(jié)論容易得到其單調(diào)性.但是從構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-f（a）x-a的結(jié)構(gòu)來看，其幾何本質(zhì)為過函數(shù)f（x）圖像上動(dòng)點(diǎn)（x，f（x））和定點(diǎn)（a，f（a））兩點(diǎn)直線的斜率.聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)，g（x）的單調(diào)性可能與f ′（x）的單調(diào)性有關(guān)，即與f（x）的凹凸性有關(guān).為此，我們先從形式函數(shù)g（x）=f（x）-f（a）x-a入手考查其單調(diào)性.

解析（1）略；（2）因?yàn)間（x）=f（x）-f（a）x-a，x∈（0，a）∪（a，+

SymboleB@

），

易得g′（x）=f ′（x）（x-a）-f（x）-f（a）（x-a）2

構(gòu)造m（x）=f ′（x）（x-a）-f（x）-f（a），則m′（x）=f ″（x）（x-a）

因?yàn)閒 ″（x）=-2x2<0，所以 m（x）在（0，a）上是增函數(shù)，在（a，+

SymboleB@

）上是減函數(shù)

所以m（x）max=m（a）=0，即g′（x）=m（x）（x-a）2≤0在（0，a）和（a，+

SymboleB@

）上恒成立

所以g（x）在（0，a）和（a，+

SymboleB@

）上是減函數(shù).

評析與高考標(biāo)準(zhǔn)答案相比，上述解題過程避開了具體函數(shù)單調(diào)性的討論，先從形式函數(shù)g（x）=f（x）-f（a）x-a入手考查其單調(diào)性，這不僅降低了思維難度、簡化了解題過程，而且使這道高考題的本質(zhì)和內(nèi)涵也就真正顯現(xiàn)出來了.

結(jié)論2設(shè)f（x）為定義在［a，b］上的二階可導(dǎo)函數(shù)，x0∈（a，b），則有：

（1）若f（x）為［a，b］上的凸函數(shù)（或f ″（x）≥0），則g（x）=f（x）-f（x0）x-x0在［a，x0）和（x0，b］上是增函數(shù)；

（2）若f（x）為［a，b］上的凹函數(shù)（或f ″（x）≤0），則g（x）=f（x）-f（x0）x-x0在［a，x0）和（x0，b］上是減函數(shù)；

4 一個(gè)“f（x2）-f（x1）x2-x1≤*（或≥）”型函數(shù)不等式的探究與結(jié)論

例3（2020年高考天津卷數(shù)學(xué)第20題）已知函數(shù)f（x）=x3+klnx（k∈R），f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）（第一問略）；

（2）當(dāng)k≥-3時(shí)，求證：對任意的x1，x2∈［1，+

SymboleB@

），且x1>x2，有f ′x1+f ′x22>fx1-fx2x1-x2.

分析首先將證明結(jié)論的分式轉(zhuǎn)化成整式，利用作差法證明；再令x1x2=t，將差轉(zhuǎn)化為與t有關(guān)的函數(shù)；最后構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；

設(shè)f（x）為［a，b］上的三階可導(dǎo)函數(shù)，x0∈a，b，試比較f ′x+f ′x02和fx-fx0x-x0的大小，其中x0為常數(shù).

解析構(gòu)造g（x）=f ′x+f ′x02-fx-fx0x-x0，x∈［a，x0）∪（x0，b］.

則g′（x）=12f ″x（x-x0）2-f ′x（x-x0）+fx-f（x0）］（x-x0）2，x∈［a，x0）∪（x0，b］，

再構(gòu)造m（x）=12f ″x（x-x0）2-f ′x（x-x0）+fx-f（x0），x∈［a，x0）∪（x0，b］，

則m′（x）=12f x（x-x0）2.

①當(dāng)f （x）≥0時(shí)，則m′（x）≥0在［a，x0）和（x0，b］上恒成立，則m（x）在［a，x0）和（x0，b］上為增函數(shù)，

而m（x0）=0，所以當(dāng)x∈［a，x0）時(shí)，g′（x）=m（x）（x-x0）2<0，當(dāng)x∈（x0，b］時(shí)，g′（x）=m（x）（x-x0）2>0，

所以，g（x）在［a，x0）上是減函數(shù)，在（x0，b］上是增函數(shù)，

由導(dǎo)數(shù)的定義易得：x→x0時(shí)，g（x）→0，

所以g（x）>0在［a，x0）∪（x0，b］上恒成立，即f ′x+f ′x02>fx-fx0x-x0.

②當(dāng)f （x）≤0時(shí)，同理可得f ′x+f ′x02

綜上所述，可以得到如下結(jié)論：

結(jié)論3設(shè)f（x）為［a，b］上的三階可導(dǎo)函數(shù)，x0∈a，b，則有：

（1）若f （x）≥0（或f ′（x）為［a，b］上的凸函數(shù)），則f ′x+f ′x02>fx-fx0x-x0；

（2）若f （x）≤0（或f ′（x）為［a，b］上的凹函數(shù)），則f ′x+f ′x02

解題研究一直是中國數(shù)學(xué)教育研究的一個(gè)基本課題［5］.解題不僅僅是給出試題的一種或幾種解答，更應(yīng)探求解題本質(zhì)，即不斷深究問題，參透題目本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)以題會(huì)類，真正把解題教學(xué)與“四基四能”的提升、核心素養(yǎng)的形成有機(jī)地統(tǒng)一起來.

參考文獻(xiàn)：

［1］?P.R.Halmos，彌靜.數(shù)學(xué)的心臟[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1982（04）：27-31.

[2] 鄭花青.回歸本質(zhì)：從解題教學(xué)談高考復(fù)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2017（10）：56-59.

[3] 紀(jì)定春.函數(shù)凹凸性在高考數(shù)學(xué)中的命題分析[J].數(shù)理化解題研究，2020（28）：82-84.

[4] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析·上冊[M].北京：高等教育出版社，2001.

[5] 呂世虎，等.從高等數(shù)學(xué)看中學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，1995.

［責(zé)任編輯：李璟］