基于分布式壓電片的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動功率流主動控制研究

金全洲，李天勻，趙 耀，劉敬喜

（華中科技大學(xué)交通學(xué)院，武漢 430074）

1 引 言

圓柱殼是許多工業(yè)和國防領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)形式，受到激勵時會產(chǎn)生結(jié)構(gòu)振動并輻射噪聲。結(jié)構(gòu)振動功率流是研究結(jié)構(gòu)振動，進行減振降噪的有效方法。對結(jié)構(gòu)振動功率流的主動控制方法進行研究分析，具有重要的現(xiàn)實意義。

壓電驅(qū)動器在汽車、船舶、飛機和土木工程結(jié)構(gòu)的減振、降噪和超精密微位移控制等領(lǐng)域展現(xiàn)出良好的應(yīng)用前景。其頻響范圍寬、響應(yīng)速度快、承載能力高、能耗底、組合靈活，是一種比較理想的智能驅(qū)動材料，受到國內(nèi)外研究者的普遍重視。Wang和Vaicaitis[1]對粘貼壓電片的雙層圓柱殼振動及聲輻射進行了研究，采用速度反饋及聲壓反饋兩種方式對殼體振動進行控制，控制目標函數(shù)為殼體位移。Jha和Inman[2]對環(huán)形殼表面粘貼壓電片的模型進行了詳細的論述，并給出了兩種不同的壓電片粘貼形式（單面壓電片粘貼及雙壓電片對貼）下殼體振動方程，建模過程考慮了壓電片質(zhì)量及剛度影響，計算得出了模態(tài)力和模態(tài)感應(yīng)電壓。Wang和Liew[3]用波傳播的方法研究了附著壓電層圓柱殼的振動情況，得出殼體散射特性曲線并討論了壓電層對散射特性的影響。Sun和Tong[4]討論了任意殼體附著分布式壓電激振及感應(yīng)片時的殼體振動情況，使用準模態(tài)感應(yīng)器估測殼體模態(tài)坐標，利用使估測誤差最小的原則得到壓電感應(yīng)片的最佳尺寸及粘貼位置。同樣使用準模態(tài)激振器，將估測得到的模態(tài)坐標經(jīng)補償后作為反饋信號進行控制。Lam和Ng[5]討論了復(fù)合壓電感應(yīng)層及激振層平板的主動控制方法，以感應(yīng)層的感應(yīng)電壓作為反饋信號對平板中點的位移進行主動控制。

在圓柱殼結(jié)構(gòu)的功率流研究及其控制方面，張小銘[6]分別研究了無限長圓柱殼、周期加肋殼、周期粘彈性復(fù)合殼的輸入與傳播功率流。徐慕冰[7]研究了充液圓柱殼功率流的輸入和傳播特性。Pan等[8]分別以殼體徑向位移和結(jié)構(gòu)在傳感器處的傳播功率流為控制目標求取最優(yōu)控制力。朱宏平[9]提出了三種基于功率流的結(jié)構(gòu)控制策略，并在簡化的單自由度建筑結(jié)構(gòu)模型上加以運用。Brennan[10]對于梁中的彎曲振動提出了不同的控制策略，其算法相對較為簡單，利用導(dǎo)納函數(shù)構(gòu)造目標函數(shù)為哈密爾頓二次型并求取最優(yōu)控制力。Brévart等[11]研究了充液圓柱殼的頻散特性，取其徑向模態(tài)響應(yīng)的平方作為控制目標函數(shù)，同樣使用文獻[10]中的方法進行傳播波的全局最優(yōu)控制，并通過能量傳輸損失對控制效果進行了描述。

本文以附著壓電片的無限長真空光殼為結(jié)構(gòu)模型，對殼體輸入功率流主動控制方法進行了研究。以輸入殼體的總功率流為控制目標函數(shù)，利用位移導(dǎo)納函數(shù)將其表示成外加電壓的二次型函數(shù)形式求解最優(yōu)控制電壓。討論壓電片與原始激勵的軸向間距及周向粘貼位置的變化對殼體結(jié)構(gòu)振動功率流主動控制效果的影響。

2 壓電片激勵下的殼體響應(yīng)

以圖1所示粘貼壓電片的無限長殼體為研究對象，殼體壁厚為h，中面半徑R，材料密度ρ，泊松比μ，彈性模量E，殼體軸向、周向和徑向分別用x，θ，r表示，u，v，w分別表示殼體中面軸向、周向和徑向位移。壓電片軸向長度L，周向?qū)挾?φR。本文壓電片長寬尺寸及厚度相對圓柱殼半徑假設(shè)為小量。對于多片壓電片鋪設(shè)情況，可以利用本文所述方法計算單片小面積壓電片作用下的響應(yīng)，并通過疊加原理得出最終的等效結(jié)果。設(shè)壓電片粘貼中心處的殼體坐標為：x=0，θ=0。

壓電片施加電壓后將產(chǎn)生如圖1所示等效軸向和周向面內(nèi)分布力qs、qθ及力矩ms、mθ，可用單位階躍函數(shù)表示為[4]：

其中 qs0、qθ0、ms0、mθ0為壓電片產(chǎn)生的激勵力幅值，s=x/R 為無量綱軸向坐標，ω 為圓頻率，Ls=L/（2R）為壓電片軸向的無量綱半長，n為周向波數(shù)，kn為周向模態(tài)n下的軸向波數(shù)。H（·）為單位階躍函數(shù)，可表示成delta函數(shù)的積分：

根據(jù)殼體單元的平衡方程（附錄A）并將內(nèi)力、內(nèi)矩用中面變形分量表示[12]，可得到殼體表面粘貼壓電片時的運動方程：

將（1）、（2）、（4）式代入（3）式得：

式中［I3×3］為［L3×3］的逆矩陣，qs0、qθ0、ms0、mθ0同（1）所述。

將（6）式所得波數(shù)域幅值解代入（4）式，省去時間項eiωt，則可得到某一周向模態(tài)n下，軸向、周向和徑向的響應(yīng)幅值 Un、Vn、Wn：

（7）式所示結(jié)果為壓電片粘貼在周向位置θ=0時的情況，當壓電片粘貼在周向位置θ=θpzt時，只需將（7）式中的 θ替換成（θ-θpzt）即可。

設(shè)在壓電片厚度方向上施加電壓Ve，依照文獻[2]，則有：

將（8）式代入（7）式即得到當外加電壓為Ve時，圖1所示殼體模型n階周向模態(tài)響應(yīng)幅值。

3 殼體輸入功率流主動控制算法

設(shè)殼體所受的原始激勵載荷為周向余弦分布簡諧載荷F，作用在x=xp處：

Fst為原始激勵力幅值。

當殼體結(jié)構(gòu)受到（9）式形式的外力激勵時，其任意位置的響應(yīng)幅值可用與上節(jié)類似的方法得到，具體求解方法及響應(yīng)表達式可參閱文獻[13]。

下面考慮外載荷輸入殼體的功率流。由參考文獻[6]可知，當結(jié)構(gòu)上某點承受簡諧力Feiωt作用，而在該點產(chǎn)生速度響應(yīng)Veiωt時，可按時間平均求得該點的輸入功率流：

對壓電片施加電壓后，將產(chǎn)生圖1所示的面內(nèi)力及力矩qs、qθ、ms、mθ。由板殼理論可知，與上述四個分布力、力矩對應(yīng)的位移及轉(zhuǎn)角變化率為：

當激勵力（周向線力）與控制力（面力）同時作用于殼體時，各力的輸入功率流為相應(yīng)位置輸入功率流的線積分和面積分：

其中，Pst為激勵力輸入功率流，Pqs、Pqθ、Pms、Pmθ分別為 qs、qθ、ms、mθ的輸入功率流。 面積分區(qū)域 S 為壓電片所覆蓋的殼體表面。

為實現(xiàn)基于輸入功率流的能量控制，將控制目標函數(shù)選取為原始激勵力與壓電片輸入殼體的總功率流Pt：

將（10）、（13）式代入（14）式，可以將（14）式表示成為如下形式：

式中App、Aps、Ass由前述導(dǎo)納矩陣及矩陣B中元素構(gòu)成，雖然形式較為復(fù)雜，但當殼體及壓電片參數(shù)不變、壓電片與激勵力相對位置確定的情況下為定值，具體表達式在附錄C中給出。至此，便將Pt表示成為外加電壓Ve的二次型函數(shù)形式。

以Pt為目標函數(shù)，利用二次型函數(shù)極值理論，則可得到當輸入結(jié)構(gòu)總功率流取極值時所需施加的最優(yōu)控制電壓表達式：

由于三角函數(shù)的正交性，壓電片激勵產(chǎn)生的第n階模態(tài)將對原始激勵力輸入功率流產(chǎn)生影響，其它模態(tài)振動在原始激勵作用處不輸入功率流，而通過大量的數(shù)值計算表明，在本算法下壓電片粘貼處的輸入功率流相對原始激勵處為小量，故下文重點考慮圖1所示模型在某一周向模態(tài)n下輸入功率流的變化情況。

利用（16）式便可根據(jù)原始激勵力的大小設(shè)計一個開環(huán)前饋控制系統(tǒng)，通過改變施加在壓電片上的電壓對圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率流進行有效控制。

4 數(shù)值計算與討論

參數(shù)選?。簹んw彈性模量E=2.0×1011N/m2，泊松比μ=0.3，殼體密度ρ=7800kg/m3，殼體半徑R=1m，周向模態(tài)n=1，殼厚比h/R=0.05；壓電片彈性模量Ep=0.63×1011N/m2，泊松比μp=0.3，壓電片密度ρp=7600kg/m3，壓電片厚度比 hp/R=0.0004，壓電應(yīng)變常數(shù) d31=2.74×10-10m/V,Ls=0.02，φ＝π/96。

為便于比較，將圓頻率ω和總的輸入功率流Pt分別無量綱化為Ω，Pt′：

4.1 壓電片與原始激勵力軸向間距對控制效果的影響

圖2以無量綱頻率為橫坐標，輸入殼體總的無量綱功率流為縱坐標，給出了周向模態(tài) n=1，壓電片與原始激勵力軸向間距不同時，控制效果隨頻率變化的曲線。圖中壓電片與原始激勵力軸向間距用無量綱量xp′=xp/R表示（以下稱其為軸向控制距離），周向粘貼位置θpzt=0。通過計算分析發(fā)現(xiàn)，原始激勵力與壓電片軸向距離越近，總的輸入功率流在較寬頻段上就相對越小。隨著軸向控制距離的增加，控制效果會產(chǎn)生波動現(xiàn)象。圖中所示無量綱頻率Ω=0，Ω=1，Ω=1.5附近出現(xiàn)的波動現(xiàn)象，可由圓柱殼輸入功率流特性解釋[6]：Ω=1是殼體環(huán)頻率，波動頻率大于此頻率時，由于殼體曲率而產(chǎn)生的鋼化效應(yīng)凸顯，未加控制時在此頻率附近會存在輸入功率流峰值，施加控制后的輸入功率流有所減小，但相對其它頻率仍然較大；對每一周向模態(tài)n，都存在一截至頻率，在這個頻率以下，外載荷不向殼體輸入功率流，而剛剛超過截至頻率時，殼體彎曲振動占主要成分，輸入功率流會在截至頻率附近取得一個峰值，當n=1時，截至頻率趨近于零；Ω=1.5對應(yīng)殼環(huán)的伸縮振動占主要成分，此頻率附近也會出現(xiàn)輸入功率流的一個波動。對于Ω=0附近的波動，本文所用方法控制效果相對較好，施控后輸入功率流很小，說明表面粘貼壓電片對殼體的彎曲振動抑制作用相對較強。隨著控制距離的增大，另外兩頻率處的波動現(xiàn)象越為明顯，這說明當軸向控制距離較遠時，控制效果在一些頻段上不會很好。由此可見，對于殼體輸入功率流的前饋最優(yōu)控制，軸向控制距離會對控制效果產(chǎn)生極大的影響，在實際工程應(yīng)用中應(yīng)慎重選擇。

為進一步深入了解軸向控制距離對控制效果的影響，圖3以xp′為橫坐標，給出了某些頻率下控制后總的輸入功率流隨軸向控制距離變化的曲線。

通過計算分析發(fā)現(xiàn)，施控后輸入殼體的總功率流呈周期性變化。當Ω=0.3時，控制效果曲線的波動幅值小、周期長，且此頻率下輸入功率流相對其它頻率較?。ㄒ妶D3）。隨著無量綱頻率Ω的增大，控制效果曲線的周期不斷減小，同時，波動幅值也不斷增大。當Ω=1.2時，曲線波動已非常劇烈。由此可知，隨著軸向控制距離的增加，某些頻率下，尤其是高頻下的總輸入功率流對壓電片與原始激勵力的軸向間距將會變得極端靈敏。對于其它周向模態(tài)下的輸入功率流主動控制，經(jīng)計算分析證明，軸向控制距離與控制效果間亦有類似結(jié)論。

4.2 壓電片周向粘貼位置對控制效果的影響

4.1節(jié)討論了壓電片與原始激勵力的軸向間距對控制效果的影響，相關(guān)結(jié)論都是在壓電片的周向位置θpzt=0的情況下得出的。在某一周向模態(tài)下，殼體不同方向的響應(yīng)沿周向是以簡諧函數(shù)的形式波動分布的。不難想象，壓電片周向的粘貼位置必然會對控制效果帶來一定影響。

為具體討論周向位置對控制效果的影響，圖4所示為周向模態(tài)n=1，相同的軸向控制距離（xp′=0.05）、不同周向粘貼位置時，輸入殼體總的無量綱功率流隨頻率變化的曲線。從圖中可以看出，壓電片的周向粘貼位置對控制效果的影響比較明顯。通過計算分析得出，周向粘貼位置變化時，輸入殼體總功率流曲線只是大小不同，而線形基本相似（如圖4），這有別于軸向控制距離對控制效果的影響。為進一步了解周向粘貼位置對控制效果影響，需討論控制效果隨周向粘貼位置的變化情況。

圖5以壓電片的周向粘貼位置為橫坐標，輸入殼體的總功率流為縱坐標，給出了某兩個頻率、兩個周向模態(tài)下、相同軸向控制距離時，控制效果隨周向粘貼位置的變化曲線。圖中顯示的計算結(jié)果表明，輸入殼體總功率流隨壓電片的周向粘貼位置是以弦函數(shù)的形式周期波動變化的。在不同頻率，相同周向模態(tài)下，曲線只有波動幅值的區(qū)別，沒有波動周期的變化。這說明周向粘貼位置對頻率的敏感程度相同，與圖4中描述的輸入總功率流特性（不同周向位置時，pt′隨頻率變化曲線的線形相似）相吻合。相同頻率不同周向模態(tài)下的輸入功率流曲線的振蕩周期不同，這與殼體周向模態(tài)的振型有關(guān)。不同周向模態(tài)下，在周向振型的駐點位置控制效果最差（圖5中曲線峰值點對應(yīng)的θpzt）。對于其它周向模態(tài)下的輸入功率流主動控制，經(jīng)計算分析證明，壓電片周向粘貼位置與控制效果間亦有類似結(jié)論。實際工程運用時，可根據(jù)需要選擇適當?shù)奈恢谜迟N壓電片對輸入結(jié)構(gòu)的總功率流進行主動控制。

5 結(jié) 論

本文對基于壓電片作用的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動功率流主動控制進行了研究，構(gòu)造目標函數(shù)（輸入殼體的總功率流）為二次型函數(shù)的形式，求解最優(yōu)控制電壓。分析討論了壓電片與原始激勵力的軸向間距及周向粘貼位置對控制效果的影響，對實際工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

通過數(shù)值計算和分析比較可得出以下結(jié)論：

（1）輸入殼體的總功率流隨軸向控制距離是周期變化的，且不同頻率下控制效果曲線的周期、幅值都不相同。不同頻率對軸向控制距離的敏感程度不同。

（2）軸向控制距離較小（如當n=1時，xp′＜0.05）進行主動控制時，能在較寬的頻段取得較好的控制效果。隨著控制距離的增加，控制效果整體下降且出現(xiàn)波動現(xiàn)象。

（3）壓電片周向粘貼位置變化時，輸入殼體總功率流隨θpzt周期振蕩變化，振蕩周期與相應(yīng)周向模態(tài)下的周向振型有關(guān)。不同頻率下控制效果曲線的幅值不同但周期相同。

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附錄A 殼體單元平衡方程

式中:Ns、Nθ、Nθs、Nsθ、Qs、Qθ以及 Ms、Mθ、Mθs、Msθ為內(nèi)力和內(nèi)矩，其它符號同文中所述。 利用（A.4）、（A.5）寫出Qs、Qθ的表達式并代入（A.2）、（A.3），用中面變形分量表示內(nèi)力和內(nèi)矩，可得到表面粘貼壓電片時的殼體運動方程。

附錄B導(dǎo)納矩陣元素

本附錄給出（10）式中各導(dǎo)納矩陣元素如下：

附錄C 目標函數(shù)系數(shù)