基于物理模型的BaZrO3鈣鈦礦機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)

趙 亮, 牛宏偉, 荊宇航

（1.中國(guó)航發(fā)北京航空材料研究院，北京 100095；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001）

高性能航空發(fā)動(dòng)機(jī)往往要承受更高的渦輪進(jìn)口溫度。目前，推重比10一級(jí)的航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪前溫度已經(jīng)超過(guò)1800 K，推重比的提高將進(jìn)一步提升渦輪前溫度。鎳基高溫合金作為當(dāng)前渦輪葉片的主要材料，其耐高溫能力只有1373 K，因此為了保證長(zhǎng)期可靠工作，渦輪葉片普遍由鎳基單晶基體、熱障涂層（TBC）以及復(fù)雜氣冷結(jié)構(gòu)組成。其中，熱障涂層在提高渦輪前溫度和延長(zhǎng)葉片使用壽命方面成效顯著，已成為高性能發(fā)動(dòng)機(jī)研制的關(guān)鍵技術(shù)之一。20世紀(jì)，美、英、法、日、俄等國(guó)家都在積極研究熱障涂層的設(shè)計(jì)與制備技術(shù)，并大量應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)熱端部件。進(jìn)入21世紀(jì)，熱障涂層技術(shù)逐漸成熟并得到廣泛應(yīng)用。俄羅斯的蘇-30和蘇-35戰(zhàn)斗機(jī)的噴管都使用了熱障涂層材料，而美國(guó)目前幾乎所有的軍用和民用航空發(fā)動(dòng)機(jī)都采用了熱障涂層技術(shù)[1-4]。

鈣鈦礦[5-8]結(jié)構(gòu)化合物具有高熔點(diǎn)、低熱導(dǎo)率以及高膨脹系數(shù)等特點(diǎn)，是熱障涂層陶瓷的備選材料之一，典型的包括BaZrO3（BZO）等。很多學(xué)者對(duì)BZO進(jìn)行了大量的密度泛函理論（DFT）計(jì)算研究，例如其結(jié)構(gòu)、熱力學(xué)和質(zhì)子傳輸方面，特別是在摻雜狀態(tài)下[9]，因?yàn)閾诫s物會(huì)引起結(jié)構(gòu)畸變并影響質(zhì)子傳輸能力。BZO基態(tài)結(jié)構(gòu)的中子散射實(shí)驗(yàn)和第一原理計(jì)算[10]揭示了不穩(wěn)定的聲子模式是一種過(guò)渡現(xiàn)象，這與ZrO6八面體的旋轉(zhuǎn)有關(guān)，這些依賴(lài)于交換相關(guān)函數(shù)的計(jì)算表明了BZO的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定立方鈣鈦礦氧化物。BZO作為一種脆性材料，它的力學(xué)行為受到其自身固有微觀結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈影響[11-12]，如晶界、預(yù)先存在的微裂紋、晶粒和孔隙。這些微結(jié)構(gòu)的取向、尺寸、形狀和空間分布控制著材料的開(kāi)裂、延伸、相互作用和最終失效[13-14]。因此，這些微觀結(jié)構(gòu)的變化可以改變裂紋的發(fā)生和擴(kuò)展行為，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)最終的失效，從而改變材料中韌性和斷裂強(qiáng)度的分散性。然而，為了更深入地理解BZO力學(xué)行為的本質(zhì)，需要原子尺度模擬來(lái)獲取必要的微觀信息[15]。DFT[16-17]計(jì)算通常用于研究小系統(tǒng)的靜態(tài)特性，而分子動(dòng)力學(xué)（MD）模擬[18-19]已被廣泛用于研究更大系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性。力場(chǎng)對(duì)分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果起決定性作用，力場(chǎng)的精確度決定了分子動(dòng)力學(xué)模擬的精確度。BZO體系目前已考慮兩體短程作用和庫(kù)侖靜電作用的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)，但力場(chǎng)的計(jì)算精度有待提高。

廣義來(lái)講，MD力場(chǎng)分為基于物理模型的“純物理”的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)[20-24]和基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的“純數(shù)學(xué)”的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)[25-30]。在機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)出現(xiàn)之前，經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)是分子動(dòng)力學(xué)模擬的主導(dǎo)。針對(duì)各種不同的體系和不同的科學(xué)問(wèn)題，研究者已經(jīng)開(kāi)發(fā)出各種各樣的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)，這些經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)凝結(jié)了前人對(duì)于模擬體系和科學(xué)問(wèn)題的物理理解。經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)的優(yōu)勢(shì)是可移植性較好，因?yàn)槠渲邪藢?duì)體系的物理描述。但這些經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)中的物理假設(shè)缺陷在于沒(méi)有完全描述體系中的所有物理本質(zhì)，例如有的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)僅考慮了體系的兩體作用和三體作用，而忽略了體系的其他多體作用，勢(shì)能面計(jì)算精度較低?！凹償?shù)學(xué)”的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)不含有任何對(duì)體系的物理假設(shè)[31-34]，通過(guò)大量的擬合參數(shù)和靈活的函數(shù)形式實(shí)現(xiàn)了極強(qiáng)的表示能力，因此勢(shì)能面計(jì)算精度較高。但機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)最大的缺陷在于可移植性較差：對(duì)于和訓(xùn)練集描述的構(gòu)象空間相差較大的構(gòu)象，機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)可能會(huì)給出誤差較大的結(jié)果。所以，一個(gè)自然的想法是，能否將“純物理”的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和“純數(shù)學(xué)”的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合，即實(shí)現(xiàn)高精度的勢(shì)能面，又實(shí)現(xiàn)較好的可移植性。

本研究以BZO體系為例提出了一般的基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)開(kāi)發(fā)方法。對(duì)于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)沒(méi)有考慮到的物理作用，采用機(jī)器學(xué)習(xí)的方法進(jìn)行學(xué)習(xí)，總的力場(chǎng)就包含了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和機(jī)器學(xué)習(xí)修正項(xiàng)兩部分。經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)考慮了體系主要的物理作用，并且使模型具有了較好的可移植性。機(jī)器學(xué)習(xí)修正項(xiàng)考慮了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)沒(méi)有考慮到的其他多體作用，提高了模型的計(jì)算精度。這樣就集合“純物理”的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和“純數(shù)學(xué)”的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)高精度高可移植性的力場(chǎng)模型開(kāi)發(fā)，最后從靜態(tài)性質(zhì)、相穩(wěn)定相和力學(xué)性質(zhì)三方面對(duì)基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)集及方法

以BaZrO3體系的靜態(tài)性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)為研究目標(biāo)，構(gòu)造了和靜態(tài)性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)密切相關(guān)的數(shù)據(jù)集，包括應(yīng)變下的BaZrO3構(gòu)象和沿不同方向單軸拉伸的構(gòu)象。所有構(gòu)象均來(lái)自于從頭算分子動(dòng)力學(xué)（AIMD）[35]模擬或者基于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)的MD模擬。詳細(xì)的數(shù)據(jù)集如表1所示，該數(shù)據(jù)集共包含60000個(gè)構(gòu)象。其中，（δ，δ，δ，0，0，0）應(yīng)變的BaZrO3構(gòu)象包含了無(wú)應(yīng)變、±1%應(yīng)變、±3%應(yīng)變和±5%應(yīng)變等不同類(lèi)型，這些構(gòu)象將用于學(xué)習(xí)如晶格常數(shù)、結(jié)合能以及彈性常數(shù)等靜態(tài)性質(zhì)；沿不同晶向單軸拉伸的構(gòu)象將用于學(xué)習(xí)不同晶向的楊氏模量等力學(xué)性質(zhì)。

本工作使用的經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)來(lái)源于參考文獻(xiàn)[36]，考慮了兩體短程作用和庫(kù)侖靜電作用。經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)表達(dá)式為：

式中：Uij是原子i和原子j之間的勢(shì)能；rij是原子i和原子j之間的距離；qi和qj是原子i和原子j的電荷數(shù)；?0為真空介電常數(shù)；Aij，ρij和Cij為原子i和原子j之間的Buckingham力場(chǎng)參數(shù)。

BaZrO3體系中不同類(lèi)型原子之間的Buckingham力場(chǎng)參數(shù)如表2所示。長(zhǎng)程的庫(kù)侖靜電作用采用Particle-Particle Particle-Mesh（PPPM）算法[37]求解。

表2 BaZrO3體系中不同類(lèi)型原子之間的Buckingham力場(chǎng)參數(shù)Table 2 Interatomic potentials parameters for BaZrO3

對(duì)于數(shù)據(jù)集中的構(gòu)象，分別使用DFT和經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)[36]計(jì)算每個(gè)構(gòu)象的體系勢(shì)能和原子受力，兩者的差值被用做機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)集。最終的力場(chǎng)模型由經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)修正項(xiàng)構(gòu)成。使用VASP軟件包[38-40]進(jìn)行DFT計(jì)算，計(jì)算采用增強(qiáng)投影波方法和Perdew-Burke-Ernzerhof泛函[41]。平面波基組的截?cái)嗄茉O(shè)置為400 eV。所有AIMD模擬均使用了2×2×2的Monkhorst-Pack K點(diǎn)網(wǎng)格。圖1給出了構(gòu)建基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的流程。

圖1 構(gòu)建基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的流程Fig. 1 Workflow for constructing a machine learning force field based on a physical model

基于上述數(shù)據(jù)集，使用DeePMD[42]人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架訓(xùn)練了機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)。訓(xùn)練的截?cái)喟霃綖?.6 nm，批次大小設(shè)置為4，訓(xùn)練迭代了10萬(wàn)個(gè)批次。起始和終止的學(xué)習(xí)率分別設(shè)置為5×10-3和5×10-8，學(xué)習(xí)率在訓(xùn)練過(guò)程中指數(shù)衰減。最后，使用一個(gè)隱藏層結(jié)構(gòu)為240×240×240的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將局部原子環(huán)境映射到原子對(duì)體系勢(shì)能的貢獻(xiàn)。訓(xùn)練完成后將獲得基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)勢(shì)。

2 結(jié)果與討論

訓(xùn)練過(guò)程中訓(xùn)練集體系勢(shì)能和原子受力的均方根誤差（RMSE）隨訓(xùn)練批次的變化如圖2所示，可以看出在訓(xùn)練結(jié)束時(shí)體系勢(shì)能和原子受力的RMSE均達(dá)到收斂狀態(tài)。

圖2 訓(xùn)練過(guò)程中訓(xùn)練集體系勢(shì)能和原子受力的RMSE隨訓(xùn)練批次的變化Fig. 2 Variation of RMSE of potential energy and atomic forces on training set against training batches during training

圖3為數(shù)據(jù)庫(kù)和機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的體系勢(shì)能和原子受力之間的比較。訓(xùn)練集和測(cè)試集的體系勢(shì)能RMSE分別為2.09 meV/atom和1.99 meV/atom。對(duì)于原子受力，訓(xùn)練集和測(cè)試集的RMSE分別為1182.99 meV/nm和1180.99 meV/nm。機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的RMSE值與機(jī)器學(xué)習(xí)模型的典型RMSE值一致[43]。

圖3 機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)計(jì)算結(jié)果和密度泛函理論參考數(shù)據(jù)的比較 （a）訓(xùn)練集每個(gè)原子平均能量的比較；（b）測(cè)試集每個(gè)原子平均能量的比較；（c）訓(xùn)練集上各個(gè)原子受力的比較；（d）測(cè)試集上各個(gè)原子受力的比較；（e）訓(xùn)練集每個(gè)原子的平均能量和各個(gè)原子受力的分布；（f）測(cè)試集每個(gè)原子的平均能量和各個(gè)原子受力的分布Fig. 3 Comparisons of machine learning potential results with respect to the references of DFT data （a） comparison of average energy per atom for training set；（b） comparison of average energy per atom for test set；（c）comparison of forces on individual atoms on a training set；（d）comparison of forces on individual atoms on test set；（e） error distributions for energies and forces for training set；（f）error distributions for energies and forces for test set

為了驗(yàn)證基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的準(zhǔn)確性，計(jì)算了靜態(tài)性質(zhì)，并和DFT理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。這里的靜態(tài)性質(zhì)包括晶格常數(shù)a，彈性常數(shù)C11、C12和C44。詳細(xì)的結(jié)果如表3所示。同時(shí)，還給出了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和直接學(xué)習(xí)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)得到的純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的結(jié)果。

表3 基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的靜態(tài)性質(zhì)和DFT理論計(jì)算結(jié)果的比較Table 3 Comparison of static properties based on empirical force field with machine learning corrections and DFT references

從表3可知，本研究的DFT計(jì)算結(jié)果與其他DFT工作結(jié)果一致。另外，無(wú)論是基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)還是純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)，靜態(tài)性質(zhì)結(jié)果都接近DFT參考數(shù)據(jù)，遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)。最后，對(duì)于靜態(tài)性質(zhì)，基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)獲得了和純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)接近的結(jié)果，說(shuō)明機(jī)器學(xué)習(xí)修正項(xiàng)可以提高經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)計(jì)算精度，使其具有類(lèi)似于純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的精度。

合理的力場(chǎng)可以使結(jié)構(gòu)從不穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)。例如，將不穩(wěn)定的無(wú)序結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的有序結(jié)構(gòu)，抑或?qū)δM盒子施加形變后結(jié)構(gòu)可以恢復(fù)原狀。為了驗(yàn)證基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的準(zhǔn)確性，還進(jìn)行了如下測(cè)試：（1）對(duì)BaZrO3體系所有原子施加一個(gè)隨機(jī)的位移，構(gòu)造出無(wú)序結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行能量最小化，觀察結(jié)構(gòu)能否轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)定的有序結(jié)構(gòu)恢復(fù)原狀；（2）對(duì)模擬盒子施加不同的應(yīng)變，然后進(jìn)行能量最小化，觀察結(jié)構(gòu)能否恢復(fù)原狀。同時(shí)，還給出了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和直接學(xué)習(xí)訓(xùn)練集數(shù)據(jù)得到的純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的結(jié)果。

分子動(dòng)力學(xué)模擬采用LAMMPS軟件包[14]，三邊均采用周期性邊界條件，能量最小化采用共軛梯度算法。使用徑向分布函數(shù)（radial distribution function，RDF）表征結(jié)構(gòu)的有序性。RDF通常指的是給定某個(gè)粒子的坐標(biāo)，其他粒子在空間的分布幾率，因此RDF既可以用來(lái)研究物質(zhì)的有序性，也可以用來(lái)描述電子的相關(guān)性。

RDF的定義為：

式中：g(r)是徑向分布函數(shù)；n(r)是半徑r處，寬度為Δr內(nèi)的原子總數(shù)；ρ是平均原子密度。

對(duì)原子數(shù)目為625的BaZrO3體系所有原子施加一個(gè)大小為0.053 nm（25%的O—Ba鍵長(zhǎng)）的隨機(jī)位移構(gòu)造無(wú)序結(jié)構(gòu)。圖4為使用基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)能量最小化過(guò)程中結(jié)構(gòu)和RDF的變化（圖中紅色為O原子，藍(lán)色為Ba原子，黃色為Zr原子）?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著能量最小化的進(jìn)行，結(jié)構(gòu)逐漸從無(wú)序轉(zhuǎn)變?yōu)橛行?，RDF的峰由低變高、由寬變窄。能量最小化結(jié)束后，體系恢復(fù)為完美的結(jié)構(gòu)。

對(duì)原子數(shù)目為625的BaZrO3體系所有原子施加了從5%到30%的O—Ba鍵長(zhǎng)的隨機(jī)位移，分別使用經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)、機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)進(jìn)行能量最小化，結(jié)果如表4所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，對(duì)于20%及以?xún)?nèi)的O—Ba鍵長(zhǎng)的隨機(jī)位移，所有三個(gè)模型均可以使無(wú)序結(jié)構(gòu)恢復(fù)到完美有序結(jié)構(gòu)。但施加25%的O—Ba鍵長(zhǎng)的隨機(jī)位移時(shí)，機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)無(wú)法使無(wú)序結(jié)構(gòu)恢復(fù)到完美有序結(jié)構(gòu)。最后施加30%的O—Ba鍵長(zhǎng)的隨機(jī)位移時(shí)，所有三個(gè)模型均無(wú)法使無(wú)序結(jié)構(gòu)恢復(fù)到完美有序結(jié)構(gòu)。由于訓(xùn)練集多數(shù)構(gòu)象均位于平衡位置附近，所以機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)在描述遠(yuǎn)離平衡位置的構(gòu)象時(shí)可能產(chǎn)生較大誤差，比如計(jì)算施加很大隨機(jī)位移的無(wú)序構(gòu)象時(shí)。但經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)由于具有物理模型，對(duì)于這種遠(yuǎn)離平衡位置的構(gòu)象仍然具有一定的有效性，因此在處理無(wú)序構(gòu)象恢復(fù)為完美有序結(jié)構(gòu)時(shí)具有優(yōu)勢(shì)?；谖锢砟Ｐ偷臋C(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)繼承了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)的這一優(yōu)勢(shì)，在這一場(chǎng)景中展示出了相似的結(jié)果，好于純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)。

表4 基于不同模型的無(wú)序結(jié)構(gòu)能量最小化結(jié)果Table 4 Energy minimization results for disordered structures based on different models

另外，對(duì)原子數(shù)目為625的BaZrO3體系模擬盒子施加應(yīng)變，分別使用經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)、純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)進(jìn)行能量最小化，結(jié)果如表5所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，當(dāng)同時(shí)壓縮模型，并且改變夾角時(shí)，純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)無(wú)法使施加應(yīng)變結(jié)構(gòu)恢復(fù)到完美有序結(jié)構(gòu)。此時(shí)經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)仍然有效。這一測(cè)試再次說(shuō)明基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)繼承了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)中含有物理模型的優(yōu)勢(shì)，能使遠(yuǎn)離平衡位置的結(jié)構(gòu)恢復(fù)到平衡位置，效果好于純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)。

表5 基于不同模型的施加應(yīng)變結(jié)構(gòu)能量最小化結(jié)果（其中 為施加應(yīng)變后的晶格參數(shù)，為施加應(yīng)變前的晶格參數(shù)）a，b，c，α，βandγ a0，b0，c0，α0，β0andγ0 a、b、c、α、β和γa0、b0、c0、α0、β0和γ0Table 5 Energy minimization results for structures under strain based on different models（ are lattice parameters after applying strain， are lattice parameters before applying strain）

針對(duì)BaZrO3體系，研究了沿不同晶向的線(xiàn)彈性階段的力學(xué)性質(zhì)。表6給出了模擬體系的參數(shù)。

表6 BaZrO3模擬體系參數(shù)Table 6 Parameters of different BaZrO3 systems

分子動(dòng)力學(xué)模擬采用LAMMPS軟件包[14]。三邊均采用周期性邊界條件模擬宏觀材料在單軸拉伸條件下的線(xiàn)彈性階段的力學(xué)性質(zhì)。拉伸過(guò)程采用NPT系綜，控溫算法使用Nose-Hoover熱浴法[45-46]，控壓算法使用Parrinello-Rahman算法[47]。時(shí)間步長(zhǎng)取0.5 fs。體系首先使用NVT系綜弛豫在300 K下弛豫50 ps，然后每10000步加載0.5%應(yīng)變。

圖5展示了BaZrO3模型沿不同晶向的線(xiàn)彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。表7所示為使用線(xiàn)彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)擬合得到的楊氏模量。圖5（a）為模型A在300 K下沿著 [100] 方向的線(xiàn)彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)。圖5（b）、（c）和（d）分別為模型B在300 K下沿著方向的線(xiàn)彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)?？梢园l(fā)現(xiàn)對(duì)于所有4個(gè)單軸拉伸晶向，機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)結(jié)果非常接近，而兩者和基于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)的結(jié)果存在差異。

圖5 BaZrO3模型沿不同晶向的線(xiàn)彈性階段應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)Fig. 5 Stress-strain curves of BaZrO3 in linear elastic region along different crystal directions

表7 BaZrO3模型沿不同晶向的楊氏模量Table 7 Young’s modulus of BaZrO3 along different crystal directions

由表7可知，純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)計(jì)算得到的楊氏模量和實(shí)驗(yàn)結(jié)果更接近，優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)計(jì)算結(jié)果。

3 結(jié)論

（1）開(kāi)發(fā)了基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)。首先構(gòu)建了數(shù)據(jù)庫(kù)，其中包含了與靜態(tài)性質(zhì)和力學(xué)性質(zhì)相關(guān)的構(gòu)象。然后對(duì)于數(shù)據(jù)集中的構(gòu)象，分別使用DFT和經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)計(jì)算了體系勢(shì)能和原子受力信息。最后，使用機(jī)器學(xué)習(xí)方法來(lái)學(xué)習(xí)DFT和經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)之間的差值。最終的模型由經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)修正項(xiàng)構(gòu)成。

（2）分別使用經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)、純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)計(jì)算了BaZrO3的靜態(tài)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果和DFT一致，遠(yuǎn)好于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)。從彈性常數(shù)C11、C12和C44的計(jì)算來(lái)看，純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)與DFT的計(jì)算結(jié)果誤差為0.34%、8.75%和10.71%，基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)與DFT的計(jì)算結(jié)果誤差為0.34%、2.5%和7.14%。后者的誤差略低于前者，說(shuō)明機(jī)器學(xué)習(xí)修正項(xiàng)可以提高經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)計(jì)算精度，使其具有類(lèi)似于純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)的精度。

（3）分別使用經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)、純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)研究了BaZrO3的相穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)在處理無(wú)序構(gòu)象恢復(fù)為完美有序結(jié)構(gòu)時(shí)具有優(yōu)勢(shì)，基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)繼承了經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)的這一優(yōu)勢(shì)，好于純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)。

（4）分別使用經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)、純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)計(jì)算了BaZrO3的四個(gè)不同晶向的楊氏模量，發(fā)現(xiàn)純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)結(jié)果非常接近。純機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)、基于物理模型的機(jī)器學(xué)習(xí)力場(chǎng)和經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的誤差分別為9.22%、1.6%和29.06%，前兩者的誤差要遠(yuǎn)低于經(jīng)驗(yàn)力場(chǎng)。