基于數學抽象素養(yǎng)的概念課案例及其思考

王偉

［摘? 要］ 以“函數”的教學為例，在數學抽象的基礎上進行課堂教學過程的構思，促進教師對概念課教學如何培養(yǎng)學生數學抽象素養(yǎng)的深入思考.

［關鍵詞］ 數學的眼光；數學抽象素養(yǎng)；抽象能力；概念教學；函數

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)（“三會”），其中“會用數學的眼光觀察現實世界”的核心就是數學抽象素養(yǎng). 所謂數學抽象素養(yǎng)，是指通過對數量與數量關系、圖形與圖形關系兩方面抽象出數學概念及概念之間的聯系，從事物與事物之間的聯系、事物內部之間的聯系抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學語言加以表征的素養(yǎng). 在現階段初中數學實際教學中，教師大多重視學生解題，很少關注學生數學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng). 在一次寧波市課堂教學評比活動中，對“函數（1）”（浙教版《數學》八年級上冊第5章第2節(jié)）這節(jié)課，筆者從“數學抽象素養(yǎng)”的角度進行教學，讓學生經歷層次清晰、完整的抽象過程（從具體的數學情境中抽象出數學概念 →從數學概念與概念之間抽象出數學關系→從數學問題解決過程中抽象出數學思想方法），取得良好的效果. 現將具體設計與思考整理成文，供同仁參考研討.

教學過程

1. 經歷從現實情境中抽象出函數的過程——明確研究對象

情境1? 電影《我和我的家鄉(xiāng)》為祖國71周年華誕獻禮，定于10月1日8點在全國各大電影院上映.

（1）象山時代金球影城，票價35元一張，請問電影院每場的收入相同嗎？為什么？

（2）若10月1日12：00場賣出60張票，收入是多少元？

（3）12：45場賣出80張票，收入是多少？

（4）若活動價定于20元/張，請同學們完成下表（見表1）.

師追問：

問題1.1計算的過程中，哪些量是常量？哪些量是變量？

問題1.2哪個量隨著哪個量的變化而變化？

問題1.3用x表示銷售票數，y表示每場收入，可以用關于x的代數式表示y嗎？

問題1.4當x的值確定后，y的值確定嗎？有幾個？

情境2? 電影院每場次電影播出需要固定成本171元，國慶期間又推出一張電影票送一枚中國心吊墜活動.

問題2.1電影院每場的成本與哪些量有關？

問題2.2每個中國心吊墜成本6.6元，銷售票數x張，每場成本m元，m與x之間的等量關系是什么？

問題2.3你可以輸入計算的EXCEL表格程序來解決成本的運算嗎？

問題2.4輸入幾個x的值，觀察m的值的變化. 當x的值確定后，m的值確定嗎？有幾個？

情境3? 在等候電影期間，小明了解到工作人員小聰的工資報酬按16元/時計算，設小聰這個月工作的時間為t小時，應得報酬為m元，填寫下表（見表3）：

問題3.1在這個變化的過程中，有幾個變量？分別是什么？

問題3.2哪個量隨著哪個量的變化而變化？

問題3.3給定一個t的值，我們可以得到幾個對應的m的值？怎樣用關于t的代數式表示m？

問題3.4y與x，m與x，m與t的這種關系相同嗎？是怎樣的關系？

設計意圖? 以國慶節(jié)電影票、中國心吊墜、工作報酬引入，不僅使學生感受到新知與生活的聯系，認識到研究新知的必要性，而且激發(fā)了學生的學習興趣和愛國主義情懷. 對于情境中的所有信息，學生通過觀察、識別、比較等認知行為提取出與概念相關的關鍵信息，再進行計算、分析、比較等思考后確定抽象的對象是變量之間的關系，對函數的本質屬性有了初步的認識. 函數的本質屬性過于抽象，Excel表格的動態(tài)功能可以突破課本中x，y的人為預設、靜態(tài)、單一的缺陷，它像一個函數轉化器讓學生直觀、生動地看到函數概念的內涵.

2. 參與定義函數的活動——形成函數的概念

根據上述分析，進行歸納概括.

問題4.1? 拋開實際背景，上述三個情境中的變量和變量關系都有哪些共同特征？

問題4.2? 這些特征是否適用于一般的同類的變量關系？

教師在傾聽學生觀點的基礎上進行總結性講解：它們的共同特征是，每組關系都涉及兩個變量；對于一個變量的每一個確定的值，另一個變量都有唯一確定的值與之對應. 這樣的變量關系在數學上稱為函數.

問題5嘗試用文字語言給函數下個定義.

通過對問題5的分析，抽象得到：一般地，在某個變化過程中，設有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應，那么就說y是x的函數，x叫作自變量. 例如：上述變量關系中，m是x的函數，x是自變量……

設計意圖? 根據學生的思維特征，在概念教學中，必須遵循從具體到抽象的原則，必須經歷對學習材料進行“觀察比較—感知辨認—加工提取—建立表象”的概念“再創(chuàng)造”過程. 在明確研究的對象是變量的關系時，學生通過比較、歸納、概括等復雜思考提取共性（變量的規(guī)律及變量之間的關系）后建立清晰的函數概念表象，這使學生感受到了更高層次的數學抽象，積累了抽象概括的活動經驗. 在用數學語言對函數概念加以表征時，八年級的學生還缺乏相關的經驗和能力，此時需教師價值引導.

3. 了解函數的三種表達形式——感悟數形結合思想

解析法：像m=6.6x+171這樣表示函數關系的等式叫作函數表達式，簡稱函數式，用函數表達式表示函數關系的方法也叫作解析法.

女生跑800米，成績與時間成函數關系，見表4：

把自變量的一系列值和函數的對應值列成一個表，這種表示函數關系的方法叫作列表法.

如圖1，這種用圖象表示函數關系的方法叫圖象法.

歸納總結：同一個函數問題可以用三種不同的形式來表示（如圖2），這三種形式如何轉化我們要留著以后探索. 這三種表達形式各有什么優(yōu)點呢？

設計意圖? 結合實例了解函數的三種表示方法，即列表法、解析法、圖象法. 通過計算、查表、圖象找點感受“一個變量確定，另一個變量隨之唯一確定”，突出函數的本質屬性，剝離“用公式表示變量關系”這一非本質屬性. 從函數定義的文字敘述到三種表達形式：符號、表格、圖象，從文字到符號，這是數學抽象的重要環(huán)節(jié)，從符號到圖表，這是從抽象到具體，符合學生的認知規(guī)律. 舉例同一個函數問題可以用三種不同的形式表達，滲透了數形結合思想. 這樣的數學活動加深了學生對函數本質的理解，有助于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，能讓學生體會到數量關系和幾何圖形的聯系，加強了數與形對應關系的意識.

4. 參與知識與技能的應用的活動——解答有代表性問題

（一）辨一辨

y是關于x的函數的是______.

（二）舉例：

請舉一個生活中的函數的實例.

（三）實際應用

某汽車油箱有20升油，它在高速公路上行駛，耗油量為0.07升/千米，汽車行駛的里程為x千米，油箱中剩下的汽油量為y升 .

①寫出y與x之間的函數解析式；

②求當x=20時的函數值，并說明它的實際意義；

③象山距離上海293千米，可以到達嗎？為什么？

設計意圖? 形成函數的概念后，及時進行函數概念的辨析，通過正例和反例讓學生明確概念的外延. 追問為什么，進一步加深學生對函數內涵的理解. 通過學生舉例，體會函數是刻畫現實世界重要的工具，促進學生對概念外延的進一步把握. 實際問題的解決讓學生經歷概念的“具體—一般—具體”的過程，形成用數學的眼光（函數的觀點）認識現實世界的意識，體會蘊含在應用過程中的函數思想和方法. 在實際問題的解決過程中概括出解題的一般步驟，感悟到模型思想，學生在這一過程中發(fā)展了數學抽象素養(yǎng).

5. 參與回顧與梳理的活動——提煉內化分享

教師出示問題清單，學生圍繞問題清單進行思考：

（1）學習了函數的哪些知識？

（2）我們是如何學習函數的，后續(xù)還要學習什么？

（3）梳理這節(jié)課的研究思路，并繪制相應的知識框圖.

設計意圖? 以“問題清單”式的反思性問題引導學生回顧與思考，在此基礎上師生共同繪制知識框圖（如圖3），促進學生函數概念的系統化與結構化，增強了學生的反思意識，發(fā)展了學生的語言表達、抽象等多種能力，從而有利于學生理解數學、學好數學. “函數”的研究路徑為今后學習類似的問題提供了方向引領和方法指導.

教學反思

1. 培養(yǎng)學生數學抽象素養(yǎng)，教師需創(chuàng)設情境型問題鏈

史寧中教授認為抽象有兩個層次：一是從感性具體到理性具體；二是符號化. 具體來說就是將現實的問題數學化，從數學要素中發(fā)現數學關系、概念、命題等. 基于此，教師需創(chuàng)設有效的情境型問題鏈. 有效的情境型問題鏈首先情境不僅真實，有內涵，而且包含學生所不熟悉的新知識；其次它能引發(fā)學生進行分析、比較、概括等復雜思考. 本文中情境1、情境2、情境3分別是關于電影院里的電影票、電影院每場成本、營業(yè)員工作報酬的生活情境，為函數的學習提供真實性的生長點，引出函數學習的必要性. 情境1中追問的問題1.1以舊憶新，提供函數概念的生長點：變量；問題1.2引出研究對象是變量之間的關系；問題1.3將變量之間的關系符號化，隱含函數的單值對應關系；問題1.4進一步探討變量之間的單值對應關系；問題3.4探討三組變量關系的共性特征.上述問題鏈的問題層次清晰、有梯度，為學生抽象概念搭好了“腳手架”，最終達成了數學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng).

2. 培養(yǎng)學生數學抽象素養(yǎng)，學生需經歷完整的數學抽象過程

學生的數學抽象素養(yǎng)是在抽象過程中逐步孕育的，并且只有完整的抽象過程才能培養(yǎng)出抽象能力，并最終發(fā)展為數學抽象素養(yǎng). 因此，數學教學應再現抽象的過程，強化抽象的過程. 本文中學生經歷了以下四方面的抽象過程：一是從具體的生活情境中抽象出數學問題；二是從變量與變量之間的關系抽象出函數的概念；三是從數學問題的解決過程中抽象出“一般到具體”、函數等數學思想；四是在歸納總結中形成函數概念的系統化與結構化. 學生在層次清晰的抽象過程中參與抽象、嘗試抽象，積累了概況抽象的活動經驗，數學抽象素養(yǎng)也在抽象經驗的積淀與升華中養(yǎng)成.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中. 數學基本思想18講［M］.北京：北京師范大學出版社，2016.

［3］李昌官. 數學抽象及其教學［J］.數學教育學報，2017，26（04）.